概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件 5-113大數(shù)定律

第五章極限定理

一、大數(shù)定律二、中心極限定理下頁

大數(shù)定律和中心極限定理就是使用極限方法研

究大量隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的.

闡明大量重復(fù)試驗(yàn)的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性的一系列定律都稱為大數(shù)定律．論證隨機(jī)變量（試驗(yàn)結(jié)果）之和漸進(jìn)服從某一分布的定理稱為中心極限定理．本章概述下頁§5.1大數(shù)定律一、切比雪夫不等式(ε是任一正數(shù))1.對于任何具有有限方差的隨機(jī)變量X，都有則證明：(以連續(xù)型隨機(jī)變量為例)設(shè)X的概率密度為f(x)，下頁2.不等式的等價形式例1．估計(jì)的概率．解:作用：（1）證明大數(shù)定律；（2）估計(jì)事件的概率．下頁例2．若在每次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率為0.5，進(jìn)行1000次獨(dú)立試驗(yàn)，估計(jì)A發(fā)生400～600次之間的概率．解：因X～B（1000，0.5），E（X）=500，D（X）=250所以P{400<X<600}=P{|X-500|<100}e2)(1}|)({|eXDXEXP-≥<-由得，P{|X-500|<100}下頁二、大數(shù)定律即，對于任意ε＞0，當(dāng)n充分大時，不等式定理1(切貝雪夫大數(shù)定律)如果X1，X2…，Xn，…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，每一個Xi都有數(shù)學(xué)期望E(Xi）和有限的方差D(Xi),且方差有公共的上界，即則對于任意ε＞0，有依概率1成立．下頁

證:

因相互獨(dú)立，所以又因，由切貝雪夫不等式可得所以切貝雪夫大數(shù)定律表明,相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值與其數(shù)學(xué)期望的差,在n充分大時以概率1是一個無窮小量.這意味著在n充分大時，的值將比較緊密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望附近．下頁推論：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3,…,Xn

,…獨(dú)立同分布，且有E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2，

k=1，2，…說明：（1）在不變的條件下，重復(fù)測量n次得到n個觀察值，x1,x2,…，xn,可看作服從同一分布的n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的試驗(yàn)值．（2）n充分大時，x1,x2,…，xn的算術(shù)平均值與真值的誤差依概率1任意?。畡t在時對任意ε＞0，有下頁證明:直接可由推論得出(略).這就是以頻率定義概率的合理性依據(jù)．定理2（貝努里大數(shù)定律）設(shè)n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生nA次,每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率p，則對任意ε＞0有定義

(依概率收斂)設(shè)是一個互相獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，

a是一個常數(shù)，若對于任意正數(shù)，

有則稱序列依概率收斂于a.下頁定理3設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3,…,Xn

,…獨(dú)立同分布，具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ，k=1，2，…則在時對任意ε＞0，有作業(yè)：

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1，2

結(jié)束例3.

設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7，假定燈的開、關(guān)是相互立的，使用切貝雪夫不等式估計(jì)夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200盞之間的概率．解:

令X表示在夜晚同時開著的燈數(shù)目，則