概率論與數理統計課件3.3協方差、相關系數

§3.3協方差、相關系數一、協方差對于二維隨機變量

來說，若已知

可以唯一確定,

的聯合分布,的邊際分布,反之,由邊際分布不能確定聯合分布.這說明對于二維隨機變量,

除了每個隨機變量各

自的概率特性外,相互之間還有某種聯系.

各分量的數學期

望和方差不能反映各分量之間的相互關系.描述這種相關

程度的一個特征數就是協方差.1.定義定義3.3.1若

為一個二維隨機變量，又

稱為

的協方差，記作特別地有，對于離散型隨機變量,對連續(xù)型隨機變量,.從協方差的定義可以看出,它是的偏差

與

的偏差

乘積的數學期望.由于偏差可正可負,故協方差也可正可負,也可為零.

當

0時,稱

與

正相關,這時兩個偏差與

同時增加或同時減少.由于

與

都是常數,故等價于與

同時增加或同時減少,這就是正相關的含義．當0時,稱與負相關,這時增加而減少,或之間可能存在其它的函數注意協方差是反映隨機變量增加而減少,這就是負相關的含義．當=0時,稱與不相關．之間不不相關是指與關系，避如平方關系、對數關系等．數量指標.存在線性關系，但之間是否存在線性關系的2.計算公式由期望的性質可推出：.例3.3.1已知隨機變量η

ξ

1010p00q求.η

ξ

注意在求協方差時經常用上述公式進行計算．的聯合分布為解:由題意，ξ的邊際分布為ξ10ppqη的邊際分布為η10ppqξη的邊際分布為ξη10ppq所以，例3.3.2設二維隨機變量,

故的聯合密度為求解:由的聯合密度函數求得其邊際密度函數分別為，,于是，從而，注意，從上述例子可以發(fā)現，求協方差關鍵是與3.性質由協方差的定義，易驗證，協方差具有如下性質:1)

4)若相互獨立，則;2）若為常數，則

除了上述性質外，協方差還具有如下性質：證明因為與相互獨立，所以，從而，

注意此結論反過來不一定成立,即不相關不一定相互獨立.由此說明不相關是比獨立更弱的一個概念.5);

證明由方差的定義知注意在相關的條件下,和的方差不等于方差的和.或者說在與不相關的條件下,和的方差等于方差的和.這可將方差的性質若與互獨立，則中條件”獨立”降弱為”不相關”.性質5)還可以推廣到多個隨機變量的情形.6)（施瓦茨不等式）證明對任意，由積分的性質=

上面關于t的二次三項式≥0的充要條件是判別式,即

.例3.3.3設隨機變量令，則與不獨立，此時，與的協方差為這個例子說明，獨立必導致不相關，而不相關不一定導致獨立.例3.3.4設二維隨機變量的聯合密度函數為求。解:由的聯合密度函數求得其邊際密度函數為，

由此得，，，于是，協方差為.由

相關系數從上面的討論看，協方差在一定程度上反映了兩本身數值大小各自增大倍，它們之間的相

的影響。比如，若令互關系應該不變，但其協方差卻增大倍，為此，實際中常用的是標準化協方差——相關系數.隨機變量之間的關系，但因它要受1.定義定義3.3.2

若為一個二維隨機變量，且稱為的相關系數，用或表示.的相關系數就是它們各自的標準化隨機變量的協方差.即注意相關系數仍是隨機變量之間的線性關系強弱的的值越接近于1,說明與的線性相關程度越高;

的值越接近于0,說明與的線性相關程度越弱;=1時,說明與的變化可完全由的線性函數一個度量，因而說得更確切些，應該稱為線性相關系數.當當當給出.與為完全負相關.當,稱與為不相關.

與為不相關,只能說明與之間沒有線

性關系,并不能說明與之間沒有其與獨立.它函數關系,從而不能推出,稱與為完全正相關.,稱與為完全負相關.

2.性質由施瓦茨不等式易得到1）設二維隨機變量()的兩個分量與的相關系，則有；數為這個性質表明：相關系數介于-1與1之間.對相關系數為1時,有另一重要性質.2）的充要條是以概率為1線性相關，即存在常

數a,b使得其中當時,有0;當時,有0證明充分性若，則將帶入相關系數的定義中得必要性因為

故當時，有

由此得或這就證明了當時，與幾乎處處線性正相關，時，與幾乎處處線性負相關.類似可證明當3)若相互獨立，則（由即得）（逆之不真）.例3.3.5設為上的均勻分布，又求之間的相關系數.解：

在該例中不相關，但顯然有,也就是說，之間顯然沒有線性關系，卻有另外的函數關系.由此可知,當時與可能獨立也可能不獨立.設,例3.3.6證明證明（1）做變量代換：

于是有，進一步有，

（2）由二維正態(tài)分布的性質可知相互獨立的充要，從而相互獨立的充要條件是與不相關.條件為就二維正態(tài)分布而言，聯合密度中的參數就是與的相關系數.因此,二維正態(tài)隨機變量的分布完全可由各自的數學期望、方差以及相關系數所確定.

注意對于二維正態(tài)分布不相關與獨立性是兩個等價的概念.例3.3.7已知，且的相關系數是

若，求及.

解因為且所以，又因

故

矩是隨機變量最廣泛的數字特征.均值、方差、協方矩差實際上都是某種矩，現向大家介紹最常用——原點矩、中心矩及混合矩.

的幾種矩1.原點矩定義3.3.3

設為隨機變量，k為正整數，

若存在，

記，

稱為的k階原點矩.2.中心矩（期望）就是一階原點矩.定義3.3.4設為隨機變量，若（k為正整數）存在,記稱為的k階中心矩.(方差)為二階中心矩.注意原點矩和中心矩可以互相換算，

定理3.3.1

若存在，

則對任意，

也存在.證僅對連續(xù)型證明，且設,因如果此定理說明，隨機變量的高階矩存在，則低階矩一定存在.關于矩，有更一般地，若a為一常數，p為任一正數，存在

則稱是關于點a的p階矩

3.混合矩設為二維隨機變量，稱為k+混合矩.

稱為k+階的中心混合矩.

特別的當k==1時，1+1階中心混合矩就是協方差.

四、協方差矩陣對于n維隨機變量，最常用的也是一階原點矩（）和二階中心矩：，，稱

為的協方差矩陣，由協方差的性質知B為對稱的非負定矩陣.矩陣為二維隨機變量的協方差矩陣.例3.3.8設，求其協方差陣.解:因為=,=,,所以,協方差陣為.五、n維正態(tài)分布的概率密度

記，，若的聯合密度形如：

，

．

則稱為n維（元）正態(tài)變量，簡記其分布為N（A，B），

稱之為n維正態(tài)分布.這里B是的協方差陣,它是一個正定陣.

是它的行列式,

是的轉置.表示的逆矩陣,

若取數學期望向量和協方差矩陣分別為代入n維正態(tài)分布的密度中,則可得到二元正態(tài)分布的密度函數.n維正態(tài)分布是一種最重要的多維分布,它在概率論、數理統計和隨機過程中都占有重要地位.習題3.31．設服從參數為的泊松分布，

試求，及2．設隨機變量的方差隨機變量的方差又與相關系數，求及

3．設二維隨機變量的聯合分布列為求與的協方差．

4.把一顆骰子獨立地擲次.求出現的次數與點出現的次數的協方差及相關系數．5．設二維隨機變量的聯合密度函數為求6．設二維隨機變量的聯合密度函數為求與相關系數

7．設二維隨機變量服從區(qū)域的均勻分布，

求與協方差與相關系數．8．設隨機變量與相關系數為

求與的相關系數，

其中為常數．

9．設與獨立分布，其共同分布試求與的相關系數，其中為常數．10．設隨機變量與的聯合分布在以點

為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機變量的方差11．設隨機變量的聯合分布列為證明與不相關，且與不相互獨立．12．設服從二維正態(tài)分布，且~~相關系數

試寫出與的聯合概率密度．

13．設是兩個隨機事件，隨機變量；

試證明隨機變量和不相關的充要條件是相互獨立．14．一顆骰子連續(xù)擲4次，總數總和記為，估計

15．設隨機變量與的數學期望分別為方差分別為，而相關系數為試用契貝曉夫不等式估計

16．設二維隨機變量的聯合密度函數為求的協方差矩陣．17．設隨機變量的概率密度為

(1)求的數學期望與方差

(2)求與的協方差，并問與是否不相關？(3)求與是否相互獨立？為什么？18．以知隨機變量服從二維正態(tài)分布，

和分別服從正態(tài)分布與的相關系數設，

(1)求