第4講數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則

第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級數(shù)本章學(xué)習(xí)要求：第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級數(shù)第二節(jié)數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則第三節(jié)數(shù)列極限的運(yùn)算一、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則二、無窮小量與無窮大量三、極限的運(yùn)算四、施篤茲定理及其應(yīng)用請點(diǎn)擊一、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則1.單調(diào)收斂準(zhǔn)則2.數(shù)列極限的夾逼定理3.柯西收斂準(zhǔn)則請點(diǎn)擊1.單調(diào)收斂準(zhǔn)則

單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.

單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限.

通常說成：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限.由中學(xué)的牛頓二項(xiàng)式展開公式例1證類似地,有又

等比數(shù)列求和

放大不等式每個(gè)括號小于1.

綜上所述,數(shù)列{xn}是單調(diào)增加且有上界的,由極限存在準(zhǔn)則可知,該數(shù)列的極限存在,通常將它紀(jì)為e,即e

稱為歐拉常數(shù).點(diǎn)擊此處可了解歐拉

歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞爾，20年后卻永遠(yuǎn)離開了祖國。在他76年的生命歷程中，還有25年住在德國柏林（1741－1766年），其余時(shí)間則留在俄國彼得堡。歐拉31歲時(shí)右眼失明，59歲時(shí)雙目失明。他的寓所和財(cái)產(chǎn)曾被烈火燒盡（1771年），與他共同生活40年的結(jié)發(fā)之妻先他10年去世。

歐拉聲譽(yù)顯赫。12次獲巴黎科學(xué)院大獎(jiǎng)（1738－1772年）曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會(huì)、巴塞爾物理數(shù)學(xué)會(huì)、巴黎科學(xué)院等科學(xué)團(tuán)體的成員。

歐拉成就卓著。生前就出版了560種論著，另有更多未出版的論著。僅僅雙目失明后的17年間，還口述了幾本書和約400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。歐拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué)士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué)了一段時(shí)期的神學(xué)和語言學(xué)。從18歲開始就一直從事數(shù)學(xué)研究工作。歐拉具有超人的計(jì)算能力。法國天文學(xué)家、物理學(xué)家阿拉哥（D.F.J.Arago，1786－1853）說：“歐拉計(jì)算一點(diǎn)也不費(fèi)勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風(fēng)飛翔一樣?！?/p>

有一次，歐拉的兩個(gè)學(xué)生計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的收斂級數(shù)的和，加到第17項(xiàng)時(shí)兩人發(fā)現(xiàn)在第50位數(shù)字相差一個(gè)單位。為了確定究竟誰對，歐拉用心算進(jìn)行了全部運(yùn)算，準(zhǔn)確地找出了錯(cuò)誤。特別是在他雙目失明后，運(yùn)用心算解決了使牛頓頭疼的月球運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜分析運(yùn)算。歐拉創(chuàng)用a，b，c

表示三角形的三條邊，用A，B，C表示對應(yīng)的三個(gè)角(1748)；創(chuàng)用表示求和符號(1755)；提倡用表示圓周率（1736）；1727年用e表示自然對數(shù)的底；還用y表示差分等等。十八世紀(jì)四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國，如他在1748年出版的《無窮分析引論》。2.數(shù)列極限的夾逼定理設(shè)數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足下列關(guān)系:(2)則(1)ynxnzn,nZ+(或從某一項(xiàng)開始);想想：如何證明夾逼定理?由于想得通吧？例2解例3解

夾逼定理例4解

夾逼定理請自己做!例5解有界數(shù)列的重要性質(zhì)由任何有界數(shù)列必能選出收斂的子數(shù)列.定理左端點(diǎn)構(gòu)成單調(diào)增加的數(shù)列右端點(diǎn)構(gòu)成單調(diào)減少的數(shù)列上面所用到的方法歸結(jié)起來稱為“區(qū)間套定理”.(區(qū)間套定理)定理3.柯西收斂準(zhǔn)則

滿足此條件的數(shù)列,稱為“柯西列”.柯西準(zhǔn)則可寫為:點(diǎn)擊此處可了解柯西由柯西收斂準(zhǔn)則可知,該數(shù)列是發(fā)散的.例6證

柯西

A.L.Cauchy(1789－1857)業(yè)績永存的數(shù)學(xué)大師

柯西1789年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學(xué)的律師，與當(dāng)時(shí)法國的大數(shù)學(xué)家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年時(shí)代柯西的數(shù)學(xué)才華就頗受這兩位大數(shù)學(xué)家的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建議下，其父親加強(qiáng)了對柯西文學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，使得后來柯西在詩歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。

1805－1810年，柯西考入巴黎理工學(xué)校，兩年后以第一名的成績被巴黎橋梁公路學(xué)院錄取，畢業(yè)時(shí)獲該校會(huì)考大獎(jiǎng)。1810年成為工程師。1815年獲科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)，1816年3月被任命為巴黎科學(xué)院院士，同年9月，被任命為巴黎理工學(xué)校分析學(xué)和力學(xué)教授。

由于身體欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師工作，致力于純數(shù)學(xué)研究。柯西在數(shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的一個(gè)重大事件，也是柯西對人類科學(xué)發(fā)展所作的巨大貢獻(xiàn)。1821年柯西提出了極限定義的ε方法，把極限過程用不等式刻劃出來，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進(jìn)為現(xiàn)在教科書上所說的極限定義或ε－δ定義。當(dāng)今所有微積分教科書都還（至少在本質(zhì)上）沿用柯西關(guān)于極限、連續(xù)、收斂等概念?？挛鲗Χǚe分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性的工作。他把定積分定義為和的極限，并強(qiáng)調(diào)在作定積分運(yùn)算前，應(yīng)判斷定積分的存在性。

他首先利用中值定理證明了微積分基本定理。通過柯西以及后來維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴(yán)格化處理，從而結(jié)束了200年來微積分在思想上的混亂局面，并使微積分發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)、最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作一開始就產(chǎn)生了很大的影響。在一次學(xué)術(shù)會(huì)議上柯西提出了級數(shù)收斂理論，會(huì)后，拉普拉斯急忙回家，關(guān)起門來，避不見人，直到將他所發(fā)表和未發(fā)表的與級數(shù)有關(guān)的論文和著作全部檢查一遍，確認(rèn)無誤為止。

柯西一生撰寫的數(shù)學(xué)論著有800多種。他是19個(gè)科學(xué)院或著名學(xué)術(shù)團(tuán)體的成員。1838年他還被授予男爵封號。他在學(xué)術(shù)上的貢獻(xiàn)涉及到分析學(xué)、復(fù)變函數(shù)論、彈性力學(xué)、微分方程、群論、行列式、數(shù)論、解析幾何、數(shù)值分析、微分幾何、光學(xué)、天體力學(xué)等學(xué)科或?qū)W科分支?？挛饕簧畲蟮腻e(cuò)誤是“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學(xué)家伽羅華與阿貝爾的開創(chuàng)性的論文手稿，致使群論晚問世近半個(gè)世紀(jì)。

1857年5月23日柯西病逝于巴黎。他的臨終遺言：

“人總是要死的，但他們的業(yè)績永存?！?/p>

二、無窮小量與無窮大量1.無窮小量2.無窮大量請點(diǎn)擊3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系1.無窮小量

對數(shù)列極限的描述,實(shí)際上,就是對整序變量極限的描述.(1)無窮小量的定義

簡言之：以零為極限的量,為該極限過程中的無窮小量.

無窮小量描述的是變量的變化趨勢,

不是指一個(gè)很小的數(shù).(2)無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)兩個(gè)無窮小量的商的情況比較復(fù)雜,以后會(huì)專門討論.(推廣：常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量.)幾個(gè)問題結(jié)論2.無窮大量

首先要注意到是,無窮大量與無窮小量一樣,無窮大量不是指的一個(gè)很大的數(shù),也是描述的變量的變化趨勢.(1)無窮大量的定義定義無窮大量時(shí),用的是絕對值

去掉絕對值符號,則可以定義正無窮大量和負(fù)無窮大量.去掉絕對值符號會(huì)怎么樣？3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系

無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)關(guān)系？

分母不能為零

利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系可以將一些無窮大量的運(yùn)算歸結(jié)為相應(yīng)的無窮小量運(yùn)算,并可得到有關(guān)無窮大量的運(yùn)算性質(zhì).幾個(gè)問題結(jié)論考察例題利用這里提供的數(shù)列可以得出上面的結(jié)論.無窮大量的運(yùn)算性質(zhì)請同學(xué)自己證明.三、極限的運(yùn)算1.無窮小量與極限的關(guān)系2.數(shù)列(整序變量)極限的運(yùn)算請點(diǎn)擊1.無窮小量與極限的關(guān)系上述過程顯然可以反推過去,于是就可得出下面的重要定理：定理怎么寫？定理或?qū)憺?.數(shù)列(整序變量