高等數學 2013-2014第二學期期末考試考點

地點：6樓107時間：6月9號(周一)

7:30-11:00

時間：6月18號(周三)

7:30-17:00時間：6月19號(周四)

7:30-11:00答疑安排：Email:dongxingtang@163.com二元函數在某點處連續(xù)，偏導數存在的判定；多元數值函數的梯度；二元函數的極值；多元函數隱函數求偏導；二重積分的比較；交換二重積分累次積分次序；二重積分在直角坐標系下的計算三重積分的計算；求立體體積；重積分對稱性；2013-2014高等數學第二學期期末考試考點第一類曲線積分的計算；第二類曲線積分的計算；第一類曲面積分的計算；第二類曲面積分計算；高斯公式，向量函數的散度；斯托克斯公式；數項級數斂散性判斷（含絕對收斂和條件收斂）；冪級數的收斂半徑，收斂域及和函數；函數的冪級數展開；將函數展成以

為周期的傅里葉級數；周期2l的傅里葉級數的和函數。二元函數在某點處連續(xù)，偏導數存在的判定1)函數或有的極限不存在.證明函數極限不存在:

以不同方式函數趨于不同值(常用的趨近方式為直線式)證明函數極限存在:

換元或夾逼準則先代后求:先求后代:利用定義:例如：分段函數分段點例如：初等函數定義區(qū)域的內點例如：上述兩種例子情況均可、函數式復雜2)某點處偏導數存在的判定:應該用法一和法三提示:

利用故f

在(0,0)連續(xù);知在點(0,0)處連續(xù)性及偏導數存在性.例.討論法一:偏導存在性:法二:（A）連續(xù),偏導數存在,例：二元函數在點(0,0)處（）（B）連續(xù),偏導數不存在,（C）不連續(xù),偏導數存在,（D）不連續(xù),偏導數不存在,答案：C2.多元數值函數的梯度?三元函數在點?二元函數在點梯度為:梯度為:例.函數在點處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對稱性(92考研)15.向量場的散度設散度:則例:設矢量場23.二元函數的極值（1）具體二元函數求極值（2）實際問題求二元函數的條件極值可以結合變力做功等第二類的曲線積分綜合考察（1）具體二元函數求極值第一步利用必要條件在定義域內找駐點.第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.時,具有極值定理

(充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數,且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數例.求

的極值。解：先求函數的駐點.解得函數為駐點為

在取極大值在取極小值（2012考研題）例.求

的極值。（2013考研題）答案:（2）實際問題求二元函數的條件極值(a)簡單問題用代入法轉化為無條件極值問題.(b)一般問題用拉格朗日乘數法求一元函數的無條件極值問題引入輔助函數一定要合理轉換目標函數:非負可平方、可取倒數等要注意解方程組的技巧：一般先得出自變量的關系再代入約束條件隱函數求導方法：方法1.利用復合函數求導法則方程兩邊直接關于自變量求導,要把因變量看成自變量的函數方法2.利用隱函數定理的求導公式4．多元函數隱函數求偏導注：兩種求導方法中方程所確立的隱函數中因變量的地位是不一樣的例.設解法1利用隱函數求導再對x

求導解法2

利用公式設則兩邊對x求偏導設求

解法1利用隱函數求導解法2

利用公式例：5．二重積分的比較被積函數相同,且非負,解:

由它們的積分域范圍可知例.

比較下列積分值的大小關系:例.設D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有例.若則的大小順序為:分析:

6．交換二重積分累次積分次序方法：要根據原積分限正確的畫出積分區(qū)域D的草圖，再按照新積分次序配置積分限注：要寫成最簡形式

交換積分次序時要正確的寫出反函數

交換積分次序時要判斷里層積分的積分上下限的大小關系例.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則若D為

X–型區(qū)域

則若D為Y–型區(qū)域則7.二重積分在直角坐標系下的計算例.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:不能處理的二次積分一定要想到交換積分順序.分區(qū)域積分:非簡單域、被積函數為分段函數、含絕對值、最值、取整函數時區(qū)域要分塊。將積分區(qū)域分為幾個子區(qū)域的目的是：使被積函數在每個子區(qū)域上有唯一的表達式，然后利用積分對區(qū)域的可加性。例.計算解:兩部分,則把與D分成作輔助線8.三重積分的計算投影法(“先單后重”)截面法(“先重后單”)柱坐標球坐標關鍵：正確的判斷上、下曲面;找對投影區(qū)域.(1)、投影法

(“先單后重”“先一后二”)截面法所對應的被積函數典型形式為：(2)、截面法(“先重后單”“先二后一”)截面法所對應的圖形典型特點：(1):介于兩個平行于坐標面的平面之間例:包括球體、半球體、圓心不在原點的……例:例:例:的公共部分.的公共部分.例:例.計算其中解:利用對稱性①柱面坐標本質：投影法中的二重積分利用了極坐標計算(3)、柱坐標代換②柱面坐標適用范圍：例.

計算三重積分解:

在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=確定r,,的變化范圍的方法:(4)、球坐標代換例.例.所圍立體.與球面例.由球面x2+y2+z22Rz=0和圓錐面cot2(x2+y2)=z2圍成的立體。0yzxx2+y2+z22Rz=0:

r=2Rcoscot2(x2+y2)=z2:

=.0r2Rcos02，0例.解:兩球面方程分別為:r=b和r=a,(a<b).0ar=azyxbr=b9.

求立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為例.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:

設由對稱性可知10.重積分的對稱性當區(qū)域關于yoz軸對稱,函數關于x有奇偶性時,當區(qū)域關于xoz軸對稱,函數關于y有奇偶性時,仍有類似結果.例.計算其中解:利用對稱性11.第一類曲線積分的計算（對稱性）?對光滑曲線弧(1)利用參數方程化為定積分?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧推廣:

設空間曲線弧的參數方程為則(2)要結合利用第一類曲線積分的性質簡化計算曲線L方程可帶入被積函數可使用對稱性與輪換對稱性例.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)第一類曲線積分對稱性與輪換對稱性當區(qū)域關于x軸對稱,函數關于y

有奇偶性時,仍有類似結果.例.計算其中為曲線解:

利用輪換對稱性,有12．第二類曲線積分的計算（應該指平面曲線）(1)利用參數方程化為定積分(3)曲線積分與路徑無關的等價條件(2)格林公式函數及路徑簡單易算函數或路徑復雜難算，偏導相減后函數簡單函數或路徑復雜難算，偏導相等?對有向光滑弧(1)利用參數方程化為定積分?

對有向光滑弧?

對有向光滑弧例.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數,則解法2取y

為參數,則從點的一段.(2)格林公式應用格林公式注意事項：格林公式三個條件曲線封閉性曲線正向偏導連續(xù)性加邊法考慮反方向挖洞法當被積函數或積分曲線比較復雜時考慮用格林公式

例.

設L是第一象限從點計算解:

添加利用格林公式.原式=的曲線段,2012考研數學一在某單連通區(qū)域內注：計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;(3)曲線積分與路徑無關的等價條件-----------折線、圓周、拋物線等例.設質點在力場作用下沿曲線L:由移動到求力場所作的功W解:令則有可見,在不含原點的單連通區(qū)域內積分與路徑無關.思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點的單連通區(qū)域內積分與路徑無關!(1)根據曲面方程化為二重積分13.

第一類曲面積分的計算當時，當時，當時，注：要根據曲面方程的形式選擇恰當的公式(2)要結合利用第一類曲面積分的性質簡化計算曲面方程可帶入被積函數可使用對稱性與輪換對稱性例.

計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:14.第二類曲面積分的計算（應指方法1）(1)根據曲面方程化為二重積分(2)根據曲面積分的聯(lián)系化為第一類曲面積分(3)高斯公式只求一個對坐標的曲面積分;高斯公式不方便求三個對坐標的曲面積分;高斯公式不行求三個對坐標的曲面積分;曲面封閉或補一個平行于坐標面的平面后封閉根據曲面方程化為二重積分注：要根據所求為dxdy、dydz、dzdx選擇曲面方程的形式代入公式15.高斯公式公式:由閉曲面所圍成,的方向取外側,高斯公式條件曲面封閉性曲面外側偏導連續(xù)性加面法考慮反方向挖洞法注:有時候帶入曲面方程后也可以把奇點去掉例.設為曲面取上側,求解:

作取下側的輔助面用柱坐標用極坐標例.計算曲面積分其中,解:思考:

本題改為橢球面時,應如何計算?提示:在橢球面內作輔助小球面內側,然后用高斯公式.例.設是曲面解:

取足夠小的正數,

作曲面取下側

使其包在內,為xoy

平面上夾于之間的部分,且取下側,取上側,計算則第二項添加輔助面,再用高斯公式計算,得16.斯托克斯公式個空間域內具有連續(xù)一階偏導數的側與

的正向符合右手法則,在包含在內的一選擇：（1）兩曲面的選擇：一般選方程較簡單的曲面，特別是有平面時應選擇平面（2）兩公式的選擇：若曲面選平面時則一般用第一類的曲面積分；否則一般用第二類的曲面積分閉曲線方向：從上往下看的方向和平面圖形的看法一致；從下往上看的方向和平面圖形的看法相反例.

利用斯托克斯公式計算積分其中為平面x+y+z=1被三坐標面所截三角形的整解:記：x+y+z=1,取上側,個邊界,方向與三角形上側符合右手法則.利用輪換對稱性注：本題用第一類的曲面積分更好算例.

為柱面與平面y=z

的交線,從

z

軸正向看為順時針,計算解:設：z=y，且取下側,利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦例.設L是平面與柱面的交線從z

軸正向看去,L為逆時針方向,計算解:

記：取上側,定積分、二重、三重積分3.可把方程代入被積函數化簡的為曲線積分曲面積分注：1.可利用對稱性的為第一類曲線積分第一類曲面積分2.多元函數積分學均可運用坐標輪換對稱性質注:特別是上述積分中的被積函數含有奇函數時注:特別當積分區(qū)域中所含變量地位是一樣；并且變量放在一起更容易計算注:

二重、三重積分被積函數一定不能改變注：半徑R到底是多少一定要根據方程解出來！4.根據幾何意義可簡化計算:5.一定要畫對圖形,然后根據圖形正確找出所求積分區(qū)域,積分曲線或積分曲面及其方向6.幾何和物理應用一定要正確寫出公式,要讀懂題意,分清到底應該是哪類積分問題

17.數項級數斂散性判斷（含絕對收斂和條件收斂）(1)利用部分和數列的極限（定義法）(2)利用級數的基本性質（特別是線性性質）(3)利用級數收斂的必要條件(4)正項級數的判別法(5)利用正項級數的一些常用的結論(6)交錯級數的判別法(1)利用部分和數列的極限(定義法):注:此法不僅能判斷斂散性,若收斂還能求出和函數特別當級數是非特殊級數(正項和交錯)時要想到此法級數去掉、加上、改變有限項收斂性不變。收斂級數任意加括號仍收斂，且和不變。注：若加括弧后的級數發(fā)散,則原級數必發(fā)散若加括弧后的級數收斂,則原級數不一定收斂.(2)利用級數的基本性質但若二級數都發(fā)散,不一定發(fā)散.

答案：2和3(3)利用級數收斂的必要條件:級數收斂的必要條件：注:若級數的一般項不趨于0,則級數必發(fā)散;(4)正項級數及其審斂法:基本定理：比較判別法：比較法的極限形式：比值判別法根值判別法積分判別法注:只有基本定理是充分必要條件,其它均為收斂的充分條件必要條件不滿足發(fā)散滿足比值判別法根值判別法比較判別法具體級數的做題思路：滿足抽象級數的做題思路：一般用比較判別法比值判別法:含有階乘的根值判別法:含有n次方的比較判別法或極限形式：有n的初等函數極限形式例.判別下列級數的斂散性:提示:(1)據比較判別法,原級數發(fā)散.因調和級數發(fā)散,利用比值判別法,可知原級數發(fā)散.用比值法,可判斷級數因n充分大時∴原級數發(fā)散.用比值判別法可知:時收斂;時,與p

級數比較可知時收斂;時發(fā)散.再由比較法可知原級數收斂.時發(fā)散.發(fā)散,收斂,例.

若級數均收斂,且證明級數收斂.證:

則由題設收斂收斂收斂例.

設正項級數和也收斂.提示:

因存在N>0,又因利用收斂級數的性質及比較判斂法易知結論正確.都收斂,證明級數當n>N時(5)利用正項級數的一些常用的結論

答案：B的級數稱為交錯級數.Leibniz判別法:若且則交錯級數收斂,概念:形如且余項(6)交錯級數答案：C收斂2.條件收斂、絕對收斂若收斂,稱絕對收斂若發(fā)散,但收斂稱條件收斂a.先驗證一下必要條件：b.若滿足必要條件再驗證正項級數斂散性c.若不是絕對收斂，再驗證斂散性判斷絕對收斂、條件收斂的步驟：例.

則級數(A)發(fā)散;(B)條件收斂;(C)絕對收斂;(D)收斂性和k有關.分析:C例.

則級數(A)發(fā)散;(B)絕對收斂;(C)條件收斂;(D)收斂性根據條件不能確定.分析:∴(B)錯;又C

18.冪級數的收斂半徑，收斂域及和函數發(fā)散發(fā)散絕對收斂收斂發(fā)散阿貝爾定理：設冪級數(2)已知處條件收斂,該級數收斂半徑是注:(1)已知處收斂,則該級數收斂半徑為例:設數列

單調遞減,無界，則冪級數的收斂域為（）A

(-1,1]

B

[-1,1)

C

[0,2)

D

(0,2]分析：單減2011考研數學一(A)條件收斂；(B)絕對收斂；(C)發(fā)散；(D)不能確定斂散性.

答案：B分析：根據Abel定理可知收斂半徑為2.

求冪級數收斂域的方法:1)對標準型冪級數先求收斂半徑：

2)對缺無窮項的冪級數類似于上述定理的證明直接用比值法或根值法注意：看清題目到底是讓求收斂域還是收斂區(qū)間。

再討論端點的收斂性.例.的收斂域.解:

令級數變?yōu)楫攖=2

時,級數為此級數發(fā)散;當t=–2時,級數為此級數條件收斂;因此級數的收斂域為故原級數的收斂域為即解:

因故收斂域為級數收斂;一般項不趨于0,級數發(fā)散;例:求下列級數的收斂域:性質：若冪級數的收斂半徑則其和函數在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:求冪級數的和函數先求收斂域然后在收斂區(qū)間上可逐項求導或逐項求積分轉化為已知和函數的冪級數，再求積分或求導求出原冪級數的和函數最后要寫出整個收斂域上的和函數表達式求冪級數的和函數步驟：有時要對先提取或乘X后再逐項求導或逐項積分才能達到上述目標.例如注：逐項求導或逐項積分的目標是消掉若非等比項為n的二次有理分式：方法二：兩次運用逐項求導或逐項積分方法一：可拆成兩項（特別是有分母的）目標應消n,但應同乘x后再逐項求導例.的和函數解:

易求出冪級數的收斂域為例:作業(yè):

P288題2.求和函數：當x=0

時,s(0)=

0;根據和函數的連續(xù)性,有當x=1時,得當x=-1時,例:求冪級數的收斂域及和函數.2012考研數學一19.

函數的冪級數展開（1）直接展開法（3）間接展開法之——函數求導或積分；再用已知函數的冪級數展開式；然后再在收斂區(qū)間上逐項積分、逐項求導；最后再討論端點（2）間接展開法之——利用已知函數的冪級數展開式（一般考法2）（2）間接展開法之——利用已知函數的冪級數展開式步驟：首先將f(x)化為a(x-x0)因式然后把a(x-x0)看成一個整體直接利用已知函數的展開式即可若結果為兩個冪級數的線性組合則能必須合并，即結果應是冪級數的標準形式：最后再根據已知函數展開式的收斂域求新收斂域常用函數的冪級數展開式：例：例:級數的和為(

).例.

將展成x－1的冪級數.解:

例:將函數展開成

x

的冪級數.解:情況一：設

f(x)是周期為2的周期函數20.將函數展成以

為周期的傅里葉級數；情況二：設

f(x)是定義在[–,]上的函數情況三：設

f(x)是定義在[0,]上的函數(可展成正弦或余弦級數)情況一：設

f(x)是周期為2的周期函數

f(x)的傅里葉級數在收斂,且有

x

為間斷點其中為f(x)

的傅里葉系數

.

x

為連續(xù)點的傅里葉展開式為即：的間斷點連續(xù)的點以及滿足結論：例.

設的表達式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數.是周期為2的周期函數,它在解:滿足收斂定理的條件.(-,

)的奇函數,因此根據收斂定理可得f(x)

的傅里葉展開式為:故f(x)

的傅里葉級數為:周期延拓收斂定理其它

x

間斷

x

為連續(xù)點注：有相同的傅里葉級數x

為間斷點

x

為連續(xù)點情況二：設

f(x)是定義在[–,]上的函數傅里葉展開式為：即：的間斷點以及中連續(xù)的點以及中滿足的使等號成立的端點例.

將函數展成傅里葉級數.并求解:

先求傅里葉系數根據收斂定理可得f(x)

的傅里葉展開式為:故f(x)

的傅里葉級數為:注：正弦級數和余弦級數

對奇函數f(x),其傅里葉級數為對偶函數f(x),其傅里葉級數為余弦級數,它的傅里葉系數為正弦級數,它的傅里葉系數為傅里葉級數f(x)在[0,]上展成傅里葉級數余弦級數奇延拓偶延拓正弦級數f(x)在[0,]上展成情況三：設

f(x)是定義在[0,]上的函數將則有作偶延拓,