高等數(shù)學（MOOC）課件34 函數(shù)的單調性與凹凸性

-224-112-2-424-2-4-2-112-5010050-100150200-2-1123研究多項式函數(shù)的圖形-100-5050100150200-2-1123-100-5050100150200-2-1123-100-5050100150200-2-1123-100-5050100150200-2-1123函數(shù)單調性的判定函數(shù)的凹凸性及其判定注意：定理1對于開區(qū)間也成立.函數(shù)單調性的判定

定理1設函數(shù)在上連續(xù)，內可導.（2）如果在內,那么在上嚴格單調減少.（1）如果在內,那么在上嚴格單調增加;（2*）如果在內,那么在內嚴格單調減少.（1*）如果在內,那么在內嚴格單調增加;

設函數(shù)在內可導.如果在內,那么在內單調減少.如果在內,那么在內單調增加;注（1）如果函數(shù)在內可導,且（)，若在內的任何子區(qū)間均不恒等于零，則函數(shù)

在內嚴格單調增加（嚴格單調減少）.（2）

yxO

例1討論函數(shù)在內的單調性.yx

-2

O最小值例2討論函數(shù)在內的單調性.函數(shù)極值的判定

函數(shù)的可能極值點

駐點

不可導點定理2(極值第一充分條件)設函數(shù)在處連續(xù)，在的某個去心鄰域內可導.（1）如果當時，；當時，

，那么在處取極大值.（2）如果當時，；當時，

，那么在處取極小值.（3）如果在和內符號相同，則函

數(shù)在處不取極值.定理2的直觀含義：Oxx0y取極大左正右負Oxx0y取極小左負右正左右同號不取極值Oxx0yOxx0y例3求函數(shù)

的單調區(qū)間和極值.不存在不存在非極值點極大值點極小值點例3求函數(shù)

的單調區(qū)間和極值.極大值極小值不存在不存在非極值點極大值點極小值點yx

O

不可導點，取極小值可導點，取極大值不可導點，不取極值例3求函數(shù)

的單調區(qū)間和極值.求函數(shù)單調區(qū)間與極值的一般步驟

（1）求函數(shù)

的定義域；（2）求函數(shù)

的表達式，并求得的駐點及不可導點，它們是所有可能的極值點；（3）以這些點為分點將函數(shù)的定義域劃分為若干區(qū)間，在各劃分區(qū)間上，依據的符號確定函數(shù)的單調區(qū)間，并判定這些點是否取極值.設函數(shù)f(x)在x0

處具有二階導數(shù)，

且那么定理3(極值第二充分條件)(1)當時,函數(shù)f(x)在x0

處取得極大值.(2)當時,函數(shù)f(x)在x0

處取得極小值.(3)當時,無法確定函數(shù)f(x)在x0

處是否取得極值.例如：,函數(shù)f(x)在x=0處不取極值.,函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值.例4求函數(shù)的極值.函數(shù)在取極大值函數(shù)在取極小值凸函數(shù)考慮曲線的彎曲方向向下凸向上凸204060-60-40-20-2-424凸曲線的幾何特征分析特點:連接圖形上任意兩點的弦總位于這兩點間弧段的上方.弦AB的方程：

xOyABx1xx2xOyABx1xx2函數(shù)f(x)在[x1,x2]上的曲線弧位于弦AB的下方可表示為整理得弦AB的方程：

定義1設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義,如果對于任意x1,x2∈I,及任意實數(shù)λ∈[0,1]，恒有則稱f(x)

為區(qū)間I上的向下凸函數(shù)（簡稱凸函數(shù)）.如果對于任意x1,x2∈I,x1≠x2,及任意實數(shù)λ∈(0,1)，恒有則稱f(x)為區(qū)間I

上的嚴格向下凸函數(shù)（簡稱嚴格凸函數(shù)）.定義1*

設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義,如果對于任意x1,x2∈I,及任意實數(shù)λ∈[0,1]，恒有則稱f(x)

為區(qū)間I上的向上凸函數(shù).如果對于任意x1,x2∈I,x1≠x2,及任意實數(shù)λ∈(0,1)，恒有則稱f(x)為區(qū)間I

上的嚴格向上凸函數(shù).xOyABx1xx2xOyABx1xx2向下凸函數(shù)（凸函數(shù)）向上凸函數(shù)注：直觀上，我們將向下凸函數(shù)的圖形稱為凹曲線（或者凹?。蛏贤购瘮?shù)的圖形稱為凸曲線（或者凸?。?凸曲線與其切線的位置關系向下凸函數(shù)的圖形（凹曲線）位于切線上方，向上凸函數(shù)的圖形（凸曲線）位于切線下方．xOyx0xT(x)f(x)xxx0T(x)Oyf(x)定理4設函數(shù)f(x)在(a,b)內可導，則

（1）

函數(shù)

f(x)為(a,b)內的向下凸函數(shù)的充分必要條件是：對任意x1,x2∈(a,b)都有（2）函數(shù)f(x)為(a,b)內的嚴格向下凸函數(shù)的充分必要條件是對任意x1,x2∈(a,b),x1≠x2,

都有凸函數(shù)的判定OyxOyx向下凸函數(shù)其導函數(shù)

單調增加；隨著x增大,向下凸函數(shù)圖形的切線斜率增大，向上凸函數(shù)其導函數(shù)

單調減少.隨著x增大,向上凸函數(shù)圖形的切線斜率減少，如果(a,b)內

則f(x)為向上凸函數(shù).定理5設函數(shù)f(x)在(a,b)內具有二階導數(shù),(1)如果(a,b)內

則f(x)為嚴格向下凸函數(shù);如果(a,b)內

則f(x)為向下凸函數(shù);(2)如果(a,b)內

則f(x)為嚴格向上凸函數(shù).注：一般地，

曲線的拐點連續(xù)曲線凹弧和凸弧的分界點稱為曲線的拐點．204060-60-40-20-2-424凸弧凹弧凹弧與凸弧的分界點定理7（拐點第一充分條件）設函數(shù)

f(x)在(a,b)內有二階導數(shù).若在x0的左、右兩側附近異號,則點

(x0,f(x0))為曲線

y=f(x)的一個拐點.定理8（拐點第二充分條件）設函數(shù)f(x)在(a,b)內具有三階導數(shù)，且