函數(shù)的奇偶性精品

在日常生活中，有非常多的軸對(duì)稱現(xiàn)象，如人與鏡中的影關(guān)于鏡面對(duì)稱，請(qǐng)同學(xué)們舉幾個(gè)例子。

除了軸對(duì)稱外，有些是關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，如風(fēng)扇的葉子，如圖：它關(guān)于什么對(duì)稱？

而我們所學(xué)習(xí)的函數(shù)圖像也有類似的對(duì)稱現(xiàn)象，請(qǐng)看下面的函數(shù)圖像。第一頁，共十七頁，2022年，8月28日觀察下面兩組圖像，它們是否也有對(duì)稱性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxOx0-x0第二頁，共十七頁，2022年，8月28日例如：對(duì)于函數(shù)f(x)=x3有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8

f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx結(jié)論:當(dāng)自變量任取定義域中的兩個(gè)相反數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也互為相反數(shù),即f(-x)=-f(x)第三頁，共十七頁，2022年，8月28日-xxf(-2)=(-2)2=4f(2)=4而函數(shù)f(x)=x2

，卻是另一種情況，如下：f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2

f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)結(jié)論:當(dāng)自變量x任取定義域中的一對(duì)相反數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，即f(-x)=f(x)而函數(shù)f(x)=x2

，卻是另一種情況，如下：第四頁，共十七頁，2022年，8月28日函數(shù)奇偶性的定義:

偶函數(shù)定義:

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù).奇函數(shù)定義:

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,

都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù).第五頁，共十七頁，2022年，8月28日對(duì)于奇、偶函數(shù)定義的幾點(diǎn)說明:(2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的先決條件。

（3）奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即：若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=－f(x)成立。若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)成立。（1）如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就是說函數(shù)f(x)具有奇偶性。第六頁，共十七頁，2022年，8月28日練習(xí):說出下列函數(shù)的奇偶性:①f(x)=x4________③f(x)=x

________④f(x)=x-2__________⑤f(x)=x5

__________⑥f(x)=x-3

_______________②f(x)=x-1__________奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

對(duì)于形如f(x)=xn

()

的函數(shù)，在定義域R內(nèi):

若n為偶數(shù)，則它為偶函數(shù)。若n為奇數(shù)，則它為奇函數(shù)。第七頁，共十七頁，2022年，8月28日例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a解:定義域?yàn)镽∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)

即f(-x)=-f(x)∴f(x)為奇函數(shù)解:定義域?yàn)镽∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a

即f(-x)=f(x)∴f(x)為偶函數(shù)

說明：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:⑴先求出定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.⑵再判斷f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.第八頁，共十七頁，2022年，8月28日第九頁，共十七頁，2022年，8月28日思考1：函數(shù)f(x)=2x+1是奇函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？xy012f(x)=2x+1-1分析：函數(shù)的定義域?yàn)镽

但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1

∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（也稱為非奇非偶函數(shù)）如右圖所示：圖像既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也不關(guān)于y軸對(duì)稱。第十頁，共十七頁，2022年，8月28日

(1)f(x)=(2)f(x)=x2x∈[-4,4)

解:∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或∵

f(-4)=(-4)2=16;

f(4)在定義域里沒有意義.∴f(x)為非奇非偶函數(shù)解:定義域?yàn)閇0,+∞)∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴f(x)為非奇非偶函數(shù)思考2：以下兩個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日思考3：在前面的幾個(gè)函數(shù)中有的是奇函數(shù)，有的是偶函數(shù)，也有非奇非偶函數(shù)。那么有沒有這樣的函數(shù)，它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)呢？有。例如：函數(shù)

f(x)=0是不是只有這一個(gè)呢？若不是，請(qǐng)舉例說明。xy01f(x)=0-1第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日奇函數(shù)偶函數(shù)既奇又偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

根據(jù)奇偶性,函數(shù)可劃分為四類:第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日本課小結(jié):

兩個(gè)定義:

對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x

兩個(gè)步驟:（判斷函數(shù)的奇偶性）如果都有f(-x)=-f(x)f(x)為奇函數(shù)。如果都有f(-x)=f(x)f(x)為偶函數(shù)。（1）先求出定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（2）再判斷f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日練一練：判斷函數(shù)的奇偶性:點(diǎn)此播放講課視頻第十五頁，共十七頁，2022年，8月28日作業(yè):課本P44頁A組10.課外思考題:1.設(shè)y=f(x)為R上的任一函數(shù),判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(-x)(2).F(x)=f(x)-f(-x)2.判斷函數(shù)的奇偶性:第十六頁，共十七頁，2022年，8月28日3.

已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x(1+x);當(dāng)x<0,f(x)等于().–x(1-x)B.x(1-x)C.-x(1+x)D.x(1+x)4.已知函數(shù)f(x),g(x)均奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=af(x)+bg(x),(a,b不為0的常數(shù))則F(X)為()A.奇函數(shù)