數(shù)列的性質(zhì)-2023年高考數(shù)學(xué)核心壓軸題（新高考地區(qū)專用）

專題51數(shù)列的性質(zhì)

【方法點(diǎn)撥】

1.數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)，數(shù)列的函數(shù)性主要涉及數(shù)列的單調(diào)

性(判斷數(shù)列的增減性和確定數(shù)列中最大(小)項(xiàng)，求數(shù)列最值等)等；

2.數(shù)列中的恒成立問(wèn)題較函數(shù)中恒成立問(wèn)題更難，但方法是想通的，一般都要分離參數(shù),

一般都要轉(zhuǎn)化為研究單調(diào)性，但由于數(shù)列定義域是離散型變量，不連續(xù)，這給研究數(shù)列的單

調(diào)性帶來(lái)了難度，其一般解決方法是作差或作商.

【典型題示例】

例1若不等式工+工+…+丁上7>。一7對(duì)一切正整數(shù)”都成立，則正整數(shù)。的最大

n-r1〃十23〃十1

值為.

【答案】8

【分析】要求正整數(shù)。的最大值，應(yīng)先求a的取值范圍，關(guān)鍵是求出代數(shù)式-7+士+…

〃十I〃十2

十丁\的最小值，可將其視為關(guān)于〃的函數(shù)，通過(guò)單調(diào)性求解.

3〃十1

【解析】令危)=Ai+力+.”+JHSGN*),

對(duì)任意的“eN*,加+1)-&)=/%+—+得%一擊=

_________2_________

3(〃+1)(3〃+2)(3"+4)>'

所以加0在N*上是增函數(shù).

又11)=胃13，對(duì)一切正整數(shù)",火〃)>“一7都成立的充要條件是號(hào)13>a—7,

所以。甫97，故所求正整數(shù)”的最大值是8.

點(diǎn)評(píng)：

本題是構(gòu)造函數(shù)法解題的很好的例證.如果對(duì)數(shù)列求和，那就會(huì)誤入歧途.本題構(gòu)造函

數(shù)f(n),通過(guò)單調(diào)性求其最小值解決了不等式恒成立的問(wèn)題.利用函數(shù)思想解題必須從不

等式或等式中構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系并研究其性質(zhì)，才能使解題思路靈活變通.

例2已知常數(shù)220,設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S”,滿足：％=1,

Saw=%45"+”.3"+1)。,向(〃eN*).若%+|<1勺對(duì)一切“eN*恒成立，則實(shí)數(shù)4的

'2

取值范圍是.

【答案】2>-

3

【分析】已知條件5,用=%45“+（，3"+1）〃用中含“項(xiàng)、和”，需抓住特征，實(shí)施消和.

【解析】..?5,向=也5,,+（九3"+1卜~??>0,

%

巳"一以=/1-3"+1

a

%+1n

則叢一色=丸.3+1,邑_*=丸.32+1,=(n>2)

aaa

2%。32n%

c

相力口，得j—l=X(3+32+...3"T)+〃一l

則S,,=b?+〃q（〃22）

上式對(duì)〃=1也成立，

...S〃=+nq(nNN)③

、2)

'q〃+l_Q\

S=2-----+n+l?〃/"NN').?

I，7

?Z2>0,/.2-+n>0,2^^+/i>0.

22

；a"+1<對(duì)一切neN*恒成立，

3〃_3]3〃+i-3

?\2----+n<—(2------+〃)對(duì)一切〃eN*恒成立.

222

即2>上一對(duì)-切〃eN*恒成立.

3"+3

.,,2n.,,InIn+2（4?-2）-3"-6

,>h—n[illh—h—_____________=_1_____L_______

"3"+3'",,+l3"+33,,+1+3（3n+3）（3n+l+3）

當(dāng)〃=1時(shí)-，bn-bll+]=0；

當(dāng)〃22時(shí)，bn-bn+]>0

/.4=%=g是｛〃J中的最大項(xiàng).

綜上所述，2的取值范圍是幾>,.

3

例3已知數(shù)列｛4｝滿足4=0,。,用="一、，則生?！?

J3%+1

A.0B.一石C.百D.—

2

【答案】A

【分析】通過(guò)“列數(shù)”，發(fā)現(xiàn)其周期性求解.

[解析]q=0,a~,=----=一6,=一出,a-,=----=布,

'島+1''島+1

生=6，4=>=0,…由上述可知，數(shù)列｛4｝是每三項(xiàng)一次循環(huán)的數(shù)列,

43a3+1

則有“2023=4=°故選A.

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知數(shù)列｛%｝中，則在數(shù)列4=匕圾(〃6雙*)則數(shù)列｛g｝的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)為

V8O

第______項(xiàng)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng).

2.等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=1000,公比q=；,設(shè)p“=q?生?%…一%(〃eN*),則

6,2，A，…,匕,…(〃eN*)中第項(xiàng)最大.

3.已知可二式？(〃GN"),則在數(shù)列｛4｝的最大項(xiàng)為第項(xiàng).

4.若不等式4T+出+…+就>。一7對(duì)一切正整數(shù)"都成立,則正整數(shù)a的最大值為

5.數(shù)列｛a"｝滿足/=l,?n+,—7+4=1,記S”=a：+a；H-若S2?+1—Sn<—對(duì)

"''30

任意nGN*恒成立，則正整數(shù)m的最小值為.

6.已知數(shù)列｛?,｝的前〃項(xiàng)和S,=3"Q—〃)一6,若數(shù)列｛a“｝單調(diào)遞減，則2的取值范圍是

A.(—oo,2)B.(—oo,3)C.(—co,4)D.(—oo,5)

7.己知數(shù)列｛勺｝的前〃項(xiàng)和S”滿足S“=2%-1.若對(duì)任意正整數(shù)n都有2S,+「S,,<0恒

成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為()

A.(-oo,l)B.^-00--JC.「0°，§JD.8，］

8.已知數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式為4=總)仔)-1,則數(shù)列｛a,｝中的最小項(xiàng)為().

A.4B.a2C.%D.a4

9.己知數(shù)列｛%｝滿足：q=a,a“+i=eN*),若對(duì)任意的正整數(shù)”，都有%>3,

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍()

A.(0,3)B.(3,+00)C.[3,4)D.[4,+00)

10.已知數(shù)列｛a,J滿足q=3,*=3(〃+l)4(〃€N*),若m〃wN*，使得

nv7

。〃一3入4〃>0成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.[-ooqjB.（9,0]C,D.「oo，xj

11.數(shù)列｛《,｝中，4=1,%=3,??+i=??-??_i（n>2,neN'）,那么出。身=

A.1B.2C.3D.-3

12.在數(shù)列｛%｝中，若q=1,g=2,并有4=。,+遮,1對(duì)〃>1且〃eN*恒成立；則

。2020+“2021=-----------------------------------------

13.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足％=2,且對(duì)任意正整數(shù)“，總有（令用一1）（1一q）=2。,,成立，則數(shù)列

｛2｝的前2019項(xiàng)的乘積為（）

A.—B.1C.2D..3

2

【答案與提示】

I.【答案】8、9

【提示】q"您二病+i,類比一次分式函數(shù)性質(zhì).

n-y/SO〃-癡

2.【答案】10

【提示】q=1000x（口，=?=1000xW,令4=1000*?]>1

⑴q⑶Pn_x⑶

解得〃211.

3.【答案】4、5

【提示】4利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì).

2J0

"n+20n+——

n

4.【答案】8

【分析】要求正整數(shù)a的最大值,應(yīng)先求a的取值范圍，關(guān)鍵是求出代數(shù)式士+一義-

〃十1〃十2

+*y的最小值，可將其視為關(guān)于”的函數(shù)，通過(guò)單調(diào)性求解-

【解析】令人〃尸Wr+表+…+-TT（〃GN*）,

對(duì)任意的〃GN*,火"+D-A〃）=高+—+就一共7

_________2_______

3〃+13〃+23〃+4>'

所以人”）在N*上是增函數(shù).

1313

又貝1）=與，對(duì)一切正整數(shù)〃，<〃）>。一7都成立的充要條件是冷”一7,

所以。韋，故所求正整數(shù)“的最大值是8.

5.【答案】10

-1+4=1得工--1=4,」=4"-3,42=」_

【提示】VT

an+laja3%2*4/7-3

111

§2"+1—S“=a“+J+a?2+-??+。2"+：------1F…H仿上題求最大值.

+24n+l4〃+5-----8〃+1

6.【答案】A

11

［解析］an=S?-Sn_y=3'-(2A-2n-l),n>2,a,=32-9,

因?yàn)椋鸻,,｝單調(diào)遞減，所以%-a,i<0,(〃22),

所以a”—a”_1=3"——1)<0,"23,且4—4=34—6<(),

所以只需％—〃一1<0，〃23,且?guī)?lt;2,

所以4<2,故選A.

7.【答案】C

【解析】當(dāng)〃=1時(shí),5=2《-1,即4=2%-1,得4=1：

當(dāng)〃》2時(shí)，由S.=24-1,得S,i=2a,i-1,兩式相減得見(jiàn)=2an-2a,一，得4=2%,

/匚=2,所以，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公比為2，...a“=lx2"T=2"T.

an-\

S?=2%-1=2X2"-1-1=2"-1,

.1

由”f<0，W<A_2"-1獷T)2=11

2=

+1,,+1

S〃+I2"-122(2-1)

S,2-111

所以，數(shù)列單調(diào)遞增，其最小項(xiàng)為T=所以，幾<二，

，一1J3

因此，實(shí)數(shù);I的取值范圍是(—8,；),故選C.

8.【答案】C

H-171-1

【解析】因?yàn)榉?140,(〃”)

BM-IH1)

所以一〃“=>0.

(7+1Y

所以—a“4Cr

24

7

當(dāng)且僅當(dāng)(1)

=1-=>n=log3-+1取

r42

乂因?yàn)?<log3：+l<4.

63

當(dāng)〃=3時(shí),。3

256

999

4096

所以數(shù)列｛4｝中的最小項(xiàng)為火?故選：C.

9.【答案】B

5u—85(tz—1)—33

【解析］4,+1=------=------：-=5------70>3),

an-\4,-1

3

又y=5-一二；在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞增，

x-1

???。向>4"->4=">3，二實(shí)數(shù)4的取值范圍(3,+8),故選：B.

10.【答案】D

【解析】???〃川=式”1旦?.也=32

n)川十1n

記々=?,則｛2｝是以4=3.g=3的等比數(shù)列,

b"=3",二an=n-3",

,/Bn^N*,an-3k-4">0.

等價(jià)于三〃eN*,即女<

1

閡max

⑶〃3丫3-n

力+1)-n一

<4?、4,

；?〃<3時(shí),c,用>cn；n>4時(shí)，c?+l<cn.

：.c]<c2<c3=c4>c5>C6---,

(⑶"181

IUJI64

\/max

27(27

.?.女〈二,實(shí)數(shù)上的取值范圍為一叫二，故選：D

64I64J

11.【答案】B

由此發(fā)現(xiàn)數(shù)列

【解析】由題意，得%=2，%=-1，%=-3,?6=-2,%=1,｛4｝

是以6為周期的數(shù)列，乂2019=336x6+3,所以%(H9=%=2,故正確答案為B.

3

12.【答案】三

2

(解析】由條件凡=??+1??-1及an+l=all+2an,得an+2=—="+=——

aaaa

nn+\n-ln-\

=%(neN"),從而知6是