一次函數(shù)綜合（解析版）-蘇科版2022年初三數(shù)學(xué)一模（期末）壓軸題匯編30題

【玩轉(zhuǎn)壓軸題】類型六：一次函數(shù)綜合（解析版）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.如圖，一次函數(shù)X=x+1的圖像與反比例函數(shù)％=:的圖像交于4（1，，〃），研〃,-1）兩

點(diǎn)，過點(diǎn)A作ACJ_x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D,連接AO,80.得出以下

結(jié)論：

①點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線y=-X對(duì)稱；

②當(dāng)x<l時(shí)，%>%；

③以A0C?4BOD；

④當(dāng)x>0時(shí)，，,，％都隨x的增大而增大.

C.①③D.①②③④

【答案】A

【分析】

①先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用直線與直線的關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式即可驗(yàn)證;

②由①中A、B的坐標(biāo)和函數(shù)圖象可知；③由三角形面積公式即可驗(yàn)證；④觀察宜角坐

標(biāo)系和函數(shù)圖象可知.

【詳解】

①將兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立，2解得：〈J，,

y=-1乂=2〔％=T

lx

/.A(l,2),B(-2,-l),

???AB所在直線％=x+i的系數(shù)為i,直線y=-x的系數(shù)為-i,

.-.lx（-1）=-1即直線x=x+l與直線〉=一刀垂直,

=|(-l)xl+(-l)x2|=J__述

又點(diǎn)A到直線>=-％的距離為：：而立廠正F

|(-l)x(-l)+(-l)x(-2)|33&

點(diǎn)B到直線y=-x的距離為：J――-飛=丁,

即點(diǎn)A、B到直線V=f的距離相等，

:.A、B關(guān)于直線>'=-苫對(duì)稱，故本項(xiàng)正確；

②由①中A、B的坐標(biāo)和函數(shù)圖象可知，當(dāng)-2<x<0或x>l時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比

例函數(shù)的上面，則yi>y2,故本項(xiàng)正確；

③；SAAOC——x1x2=1,SABOD=-X|-2|X|-1|=1,

?'?SABOD=SAAOC>故本項(xiàng)正確；

④當(dāng)x>0時(shí)?，yi隨x的增大而增大，yz隨x的增大而減小，故本項(xiàng)錯(cuò)誤；

綜上，正確的是①②③.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題是一道考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象及其性質(zhì)的綜合題，涉及到直線與直線的關(guān)

系、點(diǎn)到直線的距離公式、函數(shù)的單調(diào)性、三角形面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合

函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象，熟練掌握所學(xué)知識(shí).

2.在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，已知直線

y=rx+2r+2(f>0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域(不含邊界)中有且只有四個(gè)整點(diǎn)，

則t的取值范圍是()

A.-4，<2B.—

22

C.1</<2D.gvrV2且rwl

【答案】D

【分析】

畫出函數(shù)圖象，利用圖象可得t的取值范圍.

【詳解】

*.*y=fx+2/+2,

2

?，?當(dāng)y=0時(shí),x=-2--；當(dāng)x=0時(shí),y=2t+2,

2

???直線y=fx+2f+2與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2-7,0),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2t+2),

Vt>0,

2l+2>2,

當(dāng)t=；時(shí)，，2t+2=3,此時(shí)，-2-2=_6,由圖象知：直線y=rx+2r+2(r>0)與兩坐標(biāo)

2t

試卷第2頁(yè)，共63頁(yè)

軸圍成的三角形區(qū)域(不含邊界)中有且只有四個(gè)整點(diǎn)，如圖I,

2

當(dāng)t=2時(shí),2t+2=6,此時(shí)-2--=-3,由圖象知：直線y=a+2f+2(/>0)與兩坐標(biāo)

t

軸圍成的三角形區(qū)域(不含邊界)中有且只有四個(gè)整點(diǎn)，如圖2,

2

當(dāng)t=l時(shí)，2t+2=4,-2--=-4,由圖象知：直線y=2f+2(f>0)與兩坐標(biāo)軸圍

/

成的三角形區(qū)域(不含邊界)中有且只有三個(gè)整點(diǎn)，如圖3,

.彳VY2且"1,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)t的值正確畫

出圖象理解題意是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)A、B分別在x軸上和函數(shù)y=x的圖像上，AB=

4,CB1AB,BC=2,則OC的最大值為()

A.25/2+2B.272+4C.275D.2石+2

【答案】A

【分析】

作以B為圓心，以2為半徑的圓，當(dāng)OC〃AB時(shí)最大，此時(shí)0C與圓B相切，過B作

BEJ_x軸于E,過A作ADJ_OC于D,可證四邊形ABCD為矩形，可得AD=BC=2,

CD=AB=4,由點(diǎn)B在y=x上，點(diǎn)A在x軸上，設(shè)A(n,O),B(m,m),可證△AOD^ABAE,

由性質(zhì)工=二，即，加=8,由勾股定理得：(m-n)2+m2=16,聯(lián)立『由+"消去

m4'，[mn=8

n可得，加4—16〃F+32=0,解方程求出加2=8±4，由2Vm<4,可確定*=8+4行，

在RsOAD中，由勾股定理OD==J〃2一4=j32_2W_4=J(2&-2『=2五-2，由

OC=OD+DC=2>/2+2.

【詳解】

解：作以B為圓心，以2為半徑的圓，

當(dāng)OC〃AB時(shí)最大，此時(shí)OC與圓B相切，

過B作BE±x軸于E,過A作AD±OC于D,

VBC±AB,OC_LBC,

六四邊形ABCD為矩形，

；.AD=BC=2,CD=AB=4,

點(diǎn)B在y=x上，點(diǎn)A在x軸上，

設(shè)A(n,0),B(m,m),

VZOAD+ZBAE=90°,ZBAE+ZABE=90°,

.\ZOAD=ZABE,

又NODA=NAEB=90°,

/.△AOD^ABAE,

.?.處=空即2」,

BEABm4

inn=8

在RtABE中，

AE=m-n,

由勾股定理得：(m-n)，+m?=16,

2m2-2mn+/?2=16,

試卷第4頁(yè)，共63頁(yè)

2m2+“2=32,

2m2+n2=32

mn=8

2mo=32，

2〃/+64=32〉，

m4-16m2+32=0,

8）=32,

T??2=8±4^2，

V2<m<4,

/.4<m2<16,

加2=8+4&，

在RSOAD中，

OD=VOA2-AD2=>/n2-4，

=，28-2",

力12-8五,

=J（2V2-2）2,

=20-2，

.?.OD=2&-2，

OC=OD+DC=2>/2-2+4=2五+2，

故選擇：A.

本題考查圓的切線，矩形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定

理的應(yīng)用，二元二次方程組解法，一元四次方程，完全平方公式，線段的和差等知識(shí),

難度大，解題方法難找，既要掌握幾何的圖形處理能力，又要代數(shù)解題能力，還要掌握

數(shù)形結(jié)合的能力，是訓(xùn)練思維的好題.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+4&與x軸交于B點(diǎn)，

與y軸交于A點(diǎn)，點(diǎn)C,。在線段43上，且CZ）=2AC=23D,若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，

則滿足PC+PD=7的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)。，根據(jù)直線y=-x+4&與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于A

點(diǎn)，求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求得C￡>=標(biāo)，^CD<PC+PD,可判

斷點(diǎn)P在x軸上，使得PC+PD=7的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是兩個(gè);作點(diǎn)。關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)D,,

同理可判斷點(diǎn)P在y軸上，使得尸。+電>=7的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是兩個(gè)，據(jù)此求解即可.

【詳解】

解：如圖示，作點(diǎn)c關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C',

試卷第6頁(yè)，共63頁(yè)

直線y=-x+4V5與x軸交于B點(diǎn)，與V軸交于A點(diǎn)，

則當(dāng)x=0時(shí)，y=40,即A點(diǎn)坐標(biāo)是：（0,4&），

當(dāng)y=0時(shí)，》=4啦，即B點(diǎn)坐標(biāo)是：（4忘，0）,

OA=OB=4y/2,

：.AB=Jol+O牙="4何+卜何=8,

VCD=2AC=2BD,AB^CD+AC+BD

：.CD=4,AC=BD=2,

由勾股定理可得：CE=AE=y/2,DF=AF=3五,

???OE=3夜，OF=五

，C點(diǎn)坐標(biāo)是：（后，3后），D點(diǎn)坐標(biāo)是：（3亞，后）,

則。點(diǎn)坐標(biāo)是:（一己,3拒），

CD="3拒-可+13垃-（-閭,=J（2回+（4&丫=屈<屈，

CD<7,

即：CD<PC+PD,

如下圖示，

如圖示，作點(diǎn)。關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)

即：CD'<PC+PD,

???點(diǎn)P在y軸上，使得PC+PD=I的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是兩個(gè)，

綜上所述，點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，滿足尸。+叨=7的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的

試卷第8頁(yè)，共63頁(yè)

關(guān)鍵.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,4）,點(diǎn)P

是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP交線段OB于點(diǎn)Q,若AOPQ是等腰三角形，則點(diǎn)P

4

B.（0,一）

3

416

C.（0,一）或（0,—）D.（0,；）或（0,—）

3333

【答案】C

【分析】

4

利用待定系數(shù)法分別求出OB、PA的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)尸（0,6），并由P、Q點(diǎn)

坐標(biāo)，可表示出OP、OQ和PQ,根據(jù)AOPQ是等腰三角形，可得OP=OQ或。?=尸。

或OQ=PQ,則可得到關(guān)于m的方程，求得m的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

解：設(shè)OB的關(guān)系式為y=

4

將3（3,4）代入得：k=-f

?,_4

??yoB一§尤，

4

設(shè)?（0,加）,Q（n,-n）,

5

/.OP=m,OQ==-n，PQ=一加）2,

3

設(shè)PA的關(guān)系式為了=依+"將?（0,加），44,0）代入得:

b—m

4Z+b=0'

h=m

解得“m>

kz=-----

4

m

??ypA=~—x+m1

JTI4

將機(jī)，坨8=3》聯(lián)立方程組得:

m

ypA=--x+rn

4

加=鏟

a〃/日12〃2

解得q=1^1藐=〃'

若△OPQ是等腰三角形，則有OP=OQ或OP=PQ或OQ=PQ,

當(dāng)OP=OQ時(shí)，m=-n,〃=⑵'

316+3，”

即瓶=gx12m

16+3m

A4

解得，"=5則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,?）,

nJ

I412772

當(dāng)。P=P。時(shí)，m=An2+（-n-m）2,?=-........

V316+3加

解得加=-二17，不合題意，舍去，

當(dāng)OQ=PQ時(shí)，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得：點(diǎn)Q在OP的垂直平分線上，

.4112,77

??一〃=一"?,\\n=---------,

3216+3加

口“412m1

即一X------=—m,

316+3m2

解得加=與，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,y）

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為（0，：4）或（0，y16）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題是一次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握待定

系數(shù)法與兩點(diǎn)間的距離公式并注意分類討論思想及方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，綜合

性較強(qiáng).

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0,3）、（t,3）、

（t,0）,點(diǎn)D是直線y=kx+l與y軸的交點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于直線y=kx+l的對(duì)稱點(diǎn)4恰好

落在四邊形OABC內(nèi)部（不包括正好落在邊上），則t的取值范圍為（）

試卷第10頁(yè)，共63頁(yè)

A.-2<t<2B.-273<1<273C.-2也<t<-2或2ct<26D.以上

答案都不對(duì)

【答案】C

【分析】

根據(jù)條件，可以求得點(diǎn)A關(guān)于一直線8。的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)E在圖形中的位置,

得到關(guān)于f的方程組.

【詳解】

解：?.?點(diǎn)3。,3）在直線y="+l上，

，3=h+l,得到笈=：,于是直線3。的表達(dá)式是y=；x+l.

于是過點(diǎn)40,3）與直線8。垂直的直線解析式為y=-；x+3.

2,4t

y=-x+\X=~~2-

聯(lián)立方程組二，解得，;則交點(diǎn)”（工,？^）.

廣+12廠+4廠+4

「x+3y=-j.--

〃+4

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以得到點(diǎn)勺*窘）,

??,點(diǎn)E在長(zhǎng)方形ABCO的內(nèi)部

I光1<“

2，解得-2右</<-2或者2<fv2G.

本題答案：v-2或者2<r<2G.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明白該題涉及直線垂直時(shí)“人”之間的

關(guān)系；直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)方程組的解之間的關(guān)系；中點(diǎn)坐標(biāo)公式需要熟悉.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的。0與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B

3

是。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=7x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、

【答案】C

【分析】

連接0C,得到乙4co=90。，確定點(diǎn)C在以0A為直徑的圓上(點(diǎn)0、A除外)，以0A

為直徑作。P,過P點(diǎn)作直線PHJ-OE于H,交。P于M、N,求出點(diǎn)E(0,-3),D

9

(4,0),利用勾股定理求出。E=5,證明△O/V/SAOE。，求出p4=W，得到SANM

I4124

=]X5x]=2,SA,WAZ>=]*5*彳=7,設(shè)△(7￡)￡面積為S,由此得到當(dāng)C點(diǎn)馬M點(diǎn)重

合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小，由此確定答案

【詳解】

解：連接。C,如圖，

?.?點(diǎn)C為弦的中點(diǎn)，

：.OCLAB,

：.ZACO=90°,

...點(diǎn)C在以04為直徑的圓上(點(diǎn)。、A除外)，

以04為直徑作。P,過P點(diǎn)作直線尸”_LOE于H,交。P于M、N,

3

當(dāng)x=0時(shí)，3=-3,則E(0,-3),

3

當(dāng)y=0時(shí)，—X-3=0,

解得x=4,則。(4,0),

試卷第12頁(yè)，共63頁(yè)

0D=4,

:?DE=73^=5，

VA(2,0),

：.P(1,0),

：.OP=1,

：.PD=OD-OP=39

?:NPDH=NEDO,/PHD=NEOD,

:?△DPHsADEO,

:?PH：OE=DP：DE,

即PH：3=3：5,

9

解得戶”=不，

144

；.MP=PH+1=《,NH=PH-1=m,

14124

???SANED=—X5Xy=2,SAMED=—x5x—=7,

設(shè)△COE面積為5,

當(dāng)。點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小,

???S的范圍為2WSS7,

:?△CDE面積的最小值為2.

【點(diǎn)睛】

此題考查垂徑定理，勾股定理，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，相似三角形的判定

及性質(zhì)，這是一道圖形類的綜合題，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)并熟練應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)

鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=-gx+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P（l,

0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)Q',連接則。Q'的最小值為（）

Q,

A.芷B.石C.巫D.述

535

【答案】B

【分析】

利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后Q'的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理并利

用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】

解：作QM_Lx軸于點(diǎn)M,QNLx軸于N,

ZPMQ=ZPNQ'=ZQPQ,=90°,

/.ZQPM+ZNPQ^ZPQTJ+ZNPQ',

NQPM=/PQ，N,

在小PQM和4Q，PN中,

'4PMQ=NPNQ，=90。

<NQPM=NPQ'N

PQ=Q'P

：.△PQM絲△Q'PN(AAS),

.?.PN=QM=-；〃？+2,QrN=PM=/n-l,

.".0N=1+PN=3--ZT?,

2

0Q,2=(3—m)2+(1-m)2=-m2-5m+10=—(m-2)2+5,

244

當(dāng)m=2時(shí)，OQ'2有最小值為5,

試卷第14頁(yè)，共63頁(yè)

，0Q'的最小值為右,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì),

坐標(biāo)與圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，一次函數(shù)丫=犬+&的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,把直線A5繞點(diǎn)B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點(diǎn)C,則線段4c長(zhǎng)為（）

C.2+6D.73+72

【答案】A

【分析】

根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長(zhǎng),

過點(diǎn)C作CO_L48,垂足為。，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)田AO=x,結(jié)合旋

轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出8。，得到關(guān)于x的方程，解之即可.

【詳解】

解：；一次函數(shù)丫=》+五的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4B,

令x=0,貝!]y=41，令y=0,貝!Ix=->j2>

則A(_&,0),B(0,72),

則4OAB為等腰直角三角形，/480=45。,

.M8=J=2,

過點(diǎn)C作垂足為/）,

,/ZCAD=ZOAB=45°,

：.△AC。為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x,

'-AC=y]AD2+CD2=y/2x,

:旋轉(zhuǎn),

：.NA8C=30°,

：.BC^2CD=1x,

BD=1BC2-CD2=Gs

又BD=AB+AD=2+x,

2+x=&x,

解得：戶6+1,

'.AC=42x=y[2(\/3+1)=A/6+>/2>

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形

的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)

造特殊三角形.

10.如圖，已知點(diǎn)A(1,4),點(diǎn)B(3,5),在y軸上取一點(diǎn)C,連接AC,將線段AC

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到CD,連接AD,BD,則AD+BD的最小值是()

A.25/5B.3有C.472D.5

【答案】D

【分析】

首先證明點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=-x+3,作點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x+3的對(duì)稱點(diǎn)M(-

1,2),連接BM交直線y=-x+3于D，，連接AD，，此時(shí)AD+BD，的值最小，最小值

試卷第16頁(yè)，共63頁(yè)

為線段BM的長(zhǎng).

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)A作4E_Ly軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作。尸，丫軸于點(diǎn)E設(shè)C(0,m),

由題意A(l,4),線段CD是由線段CA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，

貝IJAAECMACFZ),

AE=CF=\,EC=FD=4-m,

：.OF=m-\,

?'.D(4-m,m-1),

設(shè)4-m=x,m-1=y,可得y=-x+3,

.?.點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y--x+3,

作點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x+3的對(duì)稱點(diǎn)M(-1,2),連接BM交直線y=-x+3于D\

連接AD，，此時(shí)AD，+BD，的值最小，最小值為線段BM的長(zhǎng)，

VB(3,5),M(-I,2),

^42+32=5，

...AD+BD的最小值為5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是分析出動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)

求出線段和的最小值.

二、填空題

11.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)(。⑼在直線)=2次+°2+2(00)上，且滿足

a2+Z?2-2(1+2Z?c)+4?+Z?=0,則。=.

【答案】V3-1

【分析】

}Eb=2ca+c2+2Aa2+b2-2(l+2bc)+4c2+b=0,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì),求出a、b(用c

表示)，再代入b=2ca+c2+2解方程即可解決問題.

【詳解】

解：二?點(diǎn)(a,b)在直線y=2cx+c?+2(c>0)上，

b=2ca+c2+2,代入a?+b2-2(1+2bc)+4c2+b=0,

整理得到(b-2c)2+(a+c)2=0,

V(b-2c)2>0,(a+c)2>0,

a=-c,b=2c代入b=2ca+c2+2得至ij,

2c=-2c2+c2+2,

.,.C2+2C-2=0,

c=-l±5/3,

Vc>0,

??C—-1+5/3,

故答案為：-1+6.

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是熟練應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

12.如圖，直線y=^x上有點(diǎn)A、4、4、…、Ae，且。4=1，A4=2,44=4,

…，4A,川=2"分別過點(diǎn)A、4、4、…、4M作直線y=的垂線，交y軸于點(diǎn)片、

邑、B、、…、紇…依次連接4田2、4居、4紜、…、A%,得到AAB也，刈瑪線,

AA,,紇8向，則AA,紇紇+1的面積為.(用含有正整數(shù)”的式子表示)

試卷第18頁(yè)，共63頁(yè)

【答案】(22"T—2"T)K

【分析】

由直線OAn的解析式可得出/AQBn=60。，結(jié)合AnA"+|=2n可求出AnBn的值，再根據(jù)三

角形的面積公式即可求出△AnB?Bn+i的面積.

【詳解】

解：???直線OAn的解析式y(tǒng)=*x,

???ZAnOBn=60°.

n

OA)=1,A|A2=2,A2A3=4,AnAn+i=2,

AiB|=5/3,A2B2=3-^3?A：；B3=7.

設(shè)S=1+2+4+…+2+i,貝lj2s=2+4+8+■??+2%

.*.S=2S-S=(2+4+8++2n)-(1+2+4+…+2%=2n-l,

.?.AnBn=(2n-l)y/3.

Sn2

AAAM?=yAnBn-AnA?+1=^-x(2-l)73x2"=(2"-'-2"')73.

故答案為：(22n-'-2nl)6

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、解直角三角形以及規(guī)律型中

數(shù)的變化規(guī)律，根據(jù)邊的變化找出變化規(guī)律AnBn=(2n-l)6是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-2的圖像分別交軸于點(diǎn)A,B,

將直線AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,交x軸于點(diǎn)C,則直線BC的函數(shù)表達(dá)式為

【答案】好］“

【分析】

根據(jù)己知條件得到41,0),8(0,-2),求得04=1,08=2,過A作AFLAB交BC于

F,過E作FE_Lx軸于E,得到Afi=AF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到叱=。8=2,

EF=OA=\,求得尸(3,T),設(shè)直線8c的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b,解方程組即可得

到結(jié)論.

【詳解】

解：???一次函數(shù)y=2x-2的圖象分別交X、y軸于點(diǎn)A、B,

.?.令X=0,得丁=-2,令y=0,得X=l,

.-.4(1,0),B(0,-2),

:.OA=\,05=2,

過A作交于尸，過尸作軸于E,

-,-ZABC=45°,

「.△AM是等腰直角三角形,

AB=AFt

???ZOAB+ZABO=ZOAB+^EAF=90°,

/.ZABO=ZEAF,

在ziABO和△?￡1中，

/AOB=NFEA

<ZABO=ZEAF,

AB=AF

:./^ABO^/^FAE(AAS),

AE=OB=2,EF=OA=1,

試卷第20頁(yè)，共63頁(yè)

/.F(3,-1),

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b,

[3k+b=-l

-[b=-2

k=-

「?,3,

b=-2

??.直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=1x-2,

故答案為：y=§x—2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定

和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的。。與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B是。0

3

上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=a尤-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E,則ACDE

面積的最小值為.

【答案】2

【分析】

如圖，連接。B,取0A的中點(diǎn)連接CM,過點(diǎn)M作于N.首先證明點(diǎn)C

的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的OM,設(shè)。用交MN于C.求出MN,當(dāng)點(diǎn)C與

。重合時(shí)，△CDE的面積最小.

【詳解】

解：如圖，連接。8,取0A的中點(diǎn)M,連接CM,過點(diǎn)“作于M

"：AC=CB,AM=OM,

：.MC=^OB=\,

，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的。M,設(shè)。M交MN于。.

3

???直線3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)。、E,

：.D(4,0),E(0,-3),

/.OD=4fOE=3,

???DE=7OEI2+*5O￡>2=A/32+42=5，

.：/MDN=/ODE,/MND=/DOE,

:?△DNMs^DOE,

.NMDM

，9~OE~~DE'

.NM3

9

:?MN=§

I9

當(dāng)點(diǎn)C與C重合時(shí)，△C'DE的面積最小，△C'DE的面積最小值=；x5x(--1)=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的中位線定理,三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問題，屬于中考常考題型.

57243

15.已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(5,0)、B([,丁)和點(diǎn)P(a,-a).若。M是△PAB

554

的內(nèi)切圓，則。M面積的最大值是.

【答案】jn

【分析】

試卷第22頁(yè)，共63頁(yè)

先求出A8解析式，得到A8與/平行，求出SA,為定值，由SA相片5什、。,“箱=12,

可得當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)符合題意，再根據(jù)對(duì)稱性得到△PAB的周長(zhǎng)值求出r,故可

求解.

【詳解】

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b

[0=5A:+Z)

5724

把A(5,0)、B(—,三)代入得2457,

55—=—k+bL

55

3

K=—

解得4

b=~—

4

.325

??y=—x-----

44

3

VP(a—a)

f4

???P點(diǎn)在直線/：y=%上

4

AAB///

???s△人曾為定值

3

如圖,作AC_L/,在RSAOC中,Vfc="=tanZAOC

4

.AC3

**CO-4

設(shè)4C=3mCO=4a,

9

：AO=5f

/.AC2+CO2=AO2,即(3a)2+(4°)2=52,解得〃=1,

AAC=3,

“Tb-VoT)=8,

，SAAS產(chǎn)gx8x3=12為定值，

設(shè)4以B的內(nèi)切圓。M半徑為r,

*S2八8產(chǎn)]X一xC“BP=12,

「?當(dāng)Cgs產(chǎn)最小時(shí)，

'/C“8P=AB+BP+AP,

當(dāng)5P+”最小時(shí)符合題意,

作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)。，

：.PD=PA,

當(dāng)時(shí)，8P+AP最小,

■:ABHI,

：.ZDAB=9Q°,AD=2AC=6,

r.BD=762+82=10>

最小值為18,

4

此時(shí)廠1，

?*.。例面積為萬x

此題主要考查坐標(biāo)與圖形綜合，解題的關(guān)鍵是熟知內(nèi)切圓的性質(zhì)及對(duì)稱性的應(yīng)用.

16.在一條筆直的公路旁依次有A、B、C三個(gè)村莊，甲、乙兩人同時(shí)分別從A、B兩

村出發(fā)，甲騎摩托車，乙騎電動(dòng)車沿公路勻速駛向C村，最終到達(dá)C村.設(shè)甲、乙兩

人到C村的距離y”y2(km)與行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖，則乙在行駛過

程中，直接寫出當(dāng)x=時(shí)距甲5km.

試卷第24頁(yè)，共63頁(yè)

【答案】g5或7;或1?7

666

【分析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，通過列方程并求解，得一次函數(shù)解析式，通過計(jì)算，即可得

出答案.

【詳解】

設(shè),=依+人，將(0,120)和(0.5,90)代入得：

J120=/J

[9。=0.5%+6

解得:k僅=-⑵60

y=—60戈+120

設(shè)％=如+〃，將(0,90)和(3,0)代入得：

J9O=72

[0=3tn+n

f/n=-30

解得：

[n=9Q0n

/.y2=-30x+90

乙在行駛過程中距甲5km分三種情況：

第一種情況，甲在乙后面5。/,即甲距C村遠(yuǎn)5h〃，則凹-%=5

(-60x+120)-(-30x+90)=5,

解得：x

O

第二種情況，乙在甲后面5km,即乙距C村遠(yuǎn)5如?，則必=5,

A(-30x+90)-(-60x+120)=5,

解得：x=g7

o

第三種情況，甲已經(jīng)到。村，乙距C村5初7,則必=5,

A-30x4-90=5,

17

解得：x=-,

0

當(dāng)y=0時(shí)，得：0=-60x+120

：.x=2,即xN2時(shí)，甲已經(jīng)到C村

6

==17符合題意

6

故答案為：g5或7;或口17.

666

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖像的性

質(zhì)，從而完成求解.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-gm,m）（m>0）,過點(diǎn)P的直線

AB與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與直線y=1gx交于點(diǎn)B.若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（一6,0）,

且2Ap=3PB,則直線AB的函數(shù)表達(dá)式為.

過點(diǎn)B作BEVOA于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作尸QLOA于Q,由2Ap=3PB得出AQ：QE=AP：

尸8=3：2,PQ：BE=PA：AB=3：5,求出OE、QE、AQ,利用OA=OE+QE+AQ=6即可

求解.

【詳解】

解：過點(diǎn)B作BELOA于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PQLOA于Q,

試卷第26頁(yè)，共63頁(yè)

由題意得：N4O3=60。，

YPQ//BE,

：.AQ：QE=AP：PB=3：2,PQ：BE=PA：AB=3：5,

PQ=m,0Q=-y/3m,

BE=—tn,

3

sn

在/?/△OBC中，OE=壬m,

9

?CQ5框工A4732V3

??QE=--------m+=------m,AQ=-------m

993

?5月4A/32\/3AnZB

??OA=--------------------------------m=6,解彳導(dǎo)：m=------

9935

P(-y,

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.

廠f18,[6百

把4(-6.0),尸(_更,迪)代入得一丁+"=可,

55[-6k+h=0

解得,k=G,

b=3上

；?直線4B的解析式為y=手x+3后，

故答案為）=3%+36.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)的性質(zhì)，涉及到解直角三角形、

平行線分線段成比例等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，由一定的難度.

18.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OMC,點(diǎn)A,C分別在y軸，x軸的正半軸上，

OA=6,OC=3,ZDOE=45°,OD,OE分別交8C,AB于點(diǎn)。，E,且8=2,

則點(diǎn)E坐標(biāo)為.

【答案】C，6)

【分析】

過點(diǎn)E作EF_LQD,過點(diǎn)F作戶N_LOC,并延長(zhǎng)N尸交A8延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,設(shè)

MF=ON=X,根據(jù)三角形全等得到EM=/W=6-X,則廣(X,6-X),求出宜線。。解

析式,代入點(diǎn)F(x,6-x)求出X,即可求解.

【詳解】

解：過點(diǎn)E作EFJ_QD,過點(diǎn)F作尸N_LOC,并延長(zhǎng)NF交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,如下圖:

則Z￡AO=NRVO=90。，AOFN+AEFM=90°,NOEV+ZFQV=90。

，NFON=AEFM

在矩形O4BC中，AB//OC,04=3C=6,OC=AB=3

：.ZM=ZFNO=90°

四邊形8CVM為矩形

:.MN=BC=6,CD//MN,BM=CN

：.AM=ON

/DOE=45°

二/XEFO為等腰直角三角形，EF=OF

：./XFON沿叢EFM

：.MFON,EM=FN

試卷第28頁(yè)，共63頁(yè)

設(shè)MF=ON=x,則￡M=/W=6—x,尸(x,6-x)

設(shè)直線。。解析式為，=依

2

由題意可知。(3,2),代入y=丘得，3k=2,解得A=§,

2

又?.?點(diǎn)尸(x,6—x)在直線O。上，.?.6-犬=耳》

1Q1Q12

解得》=彳，BPAM=ON=—,FN=EM=—

：.AE=AM-EM=-

5

點(diǎn)E坐標(biāo)為C，6)

故答案為6)

【點(diǎn)睛】

此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正比例函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角

形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，作出合適的輔助線，利用有關(guān)性質(zhì)求解.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x-4的圖象經(jīng)過正方形OABC的

頂點(diǎn)A和C,則正方形OABC的面積為一.

【答案】y

【分析】

過點(diǎn)C作8J_x軸于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AELy軸于點(diǎn)E,由正方形的性質(zhì)就可以得出

SCDO^^AEO,就可以得出C￡>=4E,OD=OE,由一次函數(shù)y=2x-4的圖象經(jīng)過正

方形OABC的頂點(diǎn)A和C,設(shè)點(diǎn)C(a,2a-4),就可以得出A(2a-4,-a)代入解析式就可以

求出”的值，由正方形的面積等于0C?就可以求出結(jié)論.

【詳解】

解：過點(diǎn)C作C￡>_Lx軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E,

???四邊形。4BC是正方形，

/.ZAOC=90°fOC=OA.

vZDOE=90°,

:.ZAOC=ZDOE,

ZAOC-ZAOD=ZDOE-ZAOD,

:.ZCOD=ZAOE.

在AC。。和AAEO中，

"CDO=ZAEO

,ZCOD=ZAOEf

OC=OA

:.\CDO^^AEO{AAS)

：.CD=AE,OD=OE.

???一次函數(shù)y=2x-4的圖象經(jīng)過正方形Q4BC的頂點(diǎn)A和C,設(shè)點(diǎn)C(〃,2〃-4),

/.OD—a,CD=2tz—4,

OE=a,AE=2a-4,

A(2?！?,—a),

/.-a=2(2a-4)-4,

12

二.ci=—.

5

.?.(?D=y,C￡>=；

在RtACDO中，由勾股定理，得OC2=OO2+co，=(￡)=,.

丁S正方形QA8C=CO：

32

**,S正方形0詠二?

故答案為:y.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)及面積公式的運(yùn)用，垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用,

試卷第30頁(yè)，共63頁(yè)

全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征的運(yùn)用，構(gòu)造K

字形全等，得出AC兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，直線y=x+b(b>0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，NOPB=45",

則線段OP、AP、BP滿足的數(shù)量關(guān)系式為.

【答案】BP2+2OP2=AP2

【分析】

以O(shè)P為邊作等腰直角三角形0P。，證明△4?。畛△BOQ,得到AP=8。，證明AB/，。

為直角三角形，得到BP?+PQ2=BQ2,再利用等量代換即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，以O(shè)P為邊作等腰直角三角形OP。，

貝ijOP=OQ,NPOQ=90。,ZOPQ=ZOQP=45°,0OP=PQ,

直線y=x+h與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,

令40,則)=6,令y=0,則

即AGt>,0),B(0,b),即OA=O8=b,

.?.△OA8是等腰直角三角形，NOAB=NOBA=45。,

"：ZAOB+ZPOB=ZPOQ+ZPOB,即NAOP=NBOQ,

OA=OB,OP=OQ,

：./XAOP^^BOQ(SAS),

：.AP=BQ,

,/NOPB=45°,

ZBPQ=ZOPB+ZOPQ=90。，

在△BP。中，BP2+PQ2=BQ2,

尸+2OP2=”2,

故答案為：BP2+2OP2=AP2.

z

n'\/I

Q

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)

軸交點(diǎn)問題，勾股定理，有一定難度，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造出全等三角形.

三、解答題

21.已知，點(diǎn)4(0,5)、8(4,〃?+5)、C(4,m)在平面直角坐標(biāo)系中.

(1)BC=,四邊形0ABe的面積=:

(2)當(dāng)四邊形Q4BC是軸對(duì)稱圖形時(shí)，求加的值；

(3)連接08,過08中點(diǎn)E作直線/,分別交線段AB,OC于點(diǎn)尸，G.連接。F,△(?尸G

k

的面積為8,反比例函數(shù)y=：(k>0,x>0)的圖像經(jīng)過直線/兩點(diǎn)E,F,求女的值.

A

【答案】(1)5,20；(2)當(dāng)四邊形。4BC是矩形時(shí)，m