《數(shù)學(xué)分析（第4版）》05-5微分

一、微分的概念

若在有限增量公式中刪去高階無(wú)窮小量項(xiàng),則得關(guān)于的一個(gè)線性近似式,這就是“微分”;其中的線性因子即為導(dǎo)數(shù).所以,微分和導(dǎo)數(shù)是一對(duì)相輔相成的概念.§5微分?jǐn)?shù)學(xué)分析第五章導(dǎo)數(shù)和微分二、微分的運(yùn)算法則三、高階微分yD

四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容微分從本質(zhì)上講是函數(shù)增量中關(guān)于自變量增量的如果給邊長(zhǎng)x一個(gè)增量,正方形面積的增量

的線性部分

和

的高階部分()2.此時(shí),當(dāng)邊長(zhǎng)x增加一個(gè)微小量

時(shí),

可用微分的概念

由兩部分組成:設(shè)一邊長(zhǎng)為x的正方形,它的面積S=x2

是x的函線性部分,請(qǐng)先看一個(gè)具體例子.數(shù).后退前進(jìn)目錄退出微分的概念因

的線性部分來(lái)近似.即以為邊長(zhǎng)的小正方形(如圖).

由此產(chǎn)生的誤差是一個(gè)關(guān)于微分的概念的高階無(wú)窮小量定義5可以表示成設(shè)函數(shù)

并稱

為f在點(diǎn)處的微分,記作其中A是與

無(wú)關(guān)的常數(shù),則稱函數(shù)f在點(diǎn)由定義,函數(shù)在點(diǎn)

處的微分與增量只相差一個(gè)關(guān)于

的高階無(wú)窮小量,而是

的線性函數(shù).更通俗地說(shuō),

是

的線性近似.微分的概念如果增量可微,定理5.10于是導(dǎo),且證(必要性)

如果

在點(diǎn)可微,據(jù)(1)式有即

在點(diǎn)可導(dǎo),且微分的概念函數(shù)在點(diǎn)

可微的充要條件是

在點(diǎn)可(充分性)設(shè)在點(diǎn)

處可導(dǎo),且則由

的有限增量公式說(shuō)明函數(shù)增量

可表示為的線性部分,與關(guān)于的高所以

在點(diǎn)可微,階無(wú)窮小量部分之和.微分的概念定理5.10導(dǎo),且函數(shù)在點(diǎn)

可微的充要條件是

在點(diǎn)可它是點(diǎn)P處切線相

在點(diǎn)

的增量為而微分是應(yīng)于

的增量.當(dāng)很小時(shí),兩者之差相比于將是更小的量(高階無(wú)窮小).微分概念的幾何解釋:微分的概念更由于故若的高階無(wú)窮小量.若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都可微,則稱是上它既依賴于,

也與有關(guān).的可微函數(shù).則得到微分的概念(4)式的寫(xiě)法會(huì)帶來(lái)不少好處,首先可以把導(dǎo)數(shù)看

所以導(dǎo)數(shù)也稱為微商.習(xí)慣上喜歡把寫(xiě)成,于是

(3)式可改寫(xiě)成這相當(dāng)于的情形,

此時(shí)顯然有(5)

積分學(xué)部分中.成函數(shù)的微分與自變量的微分之商,即微分的概念更多的好處將體現(xiàn)在后面例1微分的概念由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,可方便得出微分運(yùn)算法則:故運(yùn)算法則4又可以寫(xiě)成微分的運(yùn)算法則

微分的運(yùn)算法則解它在形式上與(4)式完全一樣,不管

是自變量還例2求的微分.這個(gè)性質(zhì)稱為“一階微分形式不變性”.是中間變量(另一個(gè)變量的可微函數(shù))上式都成立.

微分的運(yùn)算法則的計(jì)算中,用了一階微分形式不變性.例3求的微分.解

微分的運(yùn)算法則高階微分或?qū)懽鞣Q為f的二階微分.則當(dāng)f

二階可導(dǎo)時(shí),dy關(guān)于x的微分為若將一階微分僅看成是

的函數(shù),注由于

與x無(wú)關(guān),因此x的二階微分

三者各不相同,不可混淆.高階微分當(dāng)x是中間變量時(shí),二階微分依次下去,可由階微分求n階微分:對(duì)的n階微分均稱為高階微分.當(dāng)x是自變量時(shí),的二階微分是為高階微分不具有形式不變性.高階微分例4解法一而當(dāng)x為自變量時(shí),它比

(6)式多了一項(xiàng)當(dāng)時(shí),由(6)得不一定為0,高階微分解法二依(7)式得如果將漏掉就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.高階微分微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.

函數(shù)值的近似計(jì)算(9)式的幾何意義是當(dāng)x與x0充分接近時(shí),可用點(diǎn)

由此得記

,即當(dāng)

時(shí)，故當(dāng)

很小時(shí),有(8)式可改寫(xiě)為微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式(9)分別用于sinx,tanx,ln(1+x),ex(x0=0),例5試求sin33o的近似值(保留三位有效數(shù)字).解由公式(9)得到

處的切線近似代替曲線,這種線性近可得近似計(jì)算公式(試與等價(jià)無(wú)窮小相比較):似的方法可以簡(jiǎn)化一些復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用2.

誤差的估計(jì)設(shè)數(shù)x是由測(cè)量得到的,y是由函數(shù)經(jīng)過(guò)如果已知測(cè)量值x0的誤差限為

,

即算得到的

y0=f(x0)也是y=f(x)的一個(gè)近似值.差,實(shí)際測(cè)得的值只是x

的某個(gè)近似值x0.由于測(cè)量工具精度等原因,存在測(cè)量誤計(jì)算得到.由x0

計(jì)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用則當(dāng)很小時(shí),量y0的絕對(duì)誤差估計(jì)式為:相對(duì)誤差限則為為

y0的絕對(duì)誤差限,而