《數(shù)學(xué)分析（第4版）》21-3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性

一、格林公式二、曲線積分與路線的無關(guān)性在計算定積分時,牛頓-萊布尼茨公式反映了區(qū)間上的定積分與其端點上的原函數(shù)值之間的聯(lián)系;本節(jié)中的格林公式則反映了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系.§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性數(shù)學(xué)分析

第二十一章重積分*點擊以上標(biāo)題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容設(shè)區(qū)域D的邊界L是由一條或幾條光滑曲線所組成.規(guī)定為:時,區(qū)域D總在它的左邊,如圖21-12所示.為負方向,記為§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式邊界曲線的正方向當(dāng)人沿邊界行走與上述規(guī)定的方向相反的方向稱定理20.1若函數(shù)在閉區(qū)域D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有(1)這里L(fēng)為區(qū)域D的邊界曲線,并取正方向.公式(1)稱為格林公式.證根據(jù)區(qū)域D的不同形狀,這里對以下三種情形(i)

若D既是x型又是y型區(qū)域(圖21-13),作出證明:§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性又可表為這里和分分別是曲線和的方程.

別為曲線和的方程,圖21-13§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性則D可表為和則而§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性于是,將上述兩個結(jié)果相加即得(ii)

若區(qū)域D是由一條按段光滑的閉曲線圍成,且可用幾段光滑曲線將D分成有限個既是x型§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性同理又可證得又是y型的子區(qū)域,格林公式,然后相加即可.則可逐塊按(i)得到它們的如圖21-14所示的區(qū)域D,

是y型的區(qū)域§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性于是可將它分成三個既是x型又

(iii)

若區(qū)域D由幾條閉曲線所圍成,如圖21-15所示.

把區(qū)域化為(ii)的情形來處時可適當(dāng)添加線段理.

后,D的邊界則由§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性這在圖21-15中添加了及構(gòu)成.由(ii)知注1并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個既是型又是型區(qū)域的并集,§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性所圍成的區(qū)域便是如此.例如由注2

為便于記憶,格林公式(1)也可寫成下述形式:注3應(yīng)用格林公式可以簡化某些曲線積分的計算.請看以下二例:§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性第一象限部分(圖21-16).

解對半徑為r的四分之一圓域D,應(yīng)用格林公式:由于

例1計算其中曲線是半徑為r的圓在

§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性因此例2計算其中L為任一不包含原

點的閉區(qū)域D的邊界線.解

因為于是，由格林公式§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性在格林公式中,令

則得到一個計算平面區(qū)域D的面積SD的公式:(2)§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性例3計算拋物線與x軸所圍圖形的面積(圖21-17).解曲線由函數(shù)

表示,為直線于是§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性在第二十章§2中計算第二型曲線積分的開始兩個

例子中,B為終點的曲線積分,若所沿的路線不同,則其積分值也不同,點有關(guān),與路線的選取無關(guān).什么條件下,它的值與所沿路線的選取無關(guān).首先介紹單連通區(qū)域的概念.若對于平面區(qū)域D內(nèi)任一封閉曲線,皆可不經(jīng)過D§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性曲線積分與路線的無關(guān)性讀者可能已經(jīng)注意到,在例1中,以A為起點但在例2中的曲線積分值只與起點和終本段將討論曲線積分在以外的點而連續(xù)收縮于屬于D的某一點,面區(qū)域為單連通區(qū)域;否則稱為復(fù)連通區(qū)域.在圖21-18中,與是單連通區(qū)域,而與則

是復(fù)連通區(qū)域.一封閉曲線所圍成的區(qū)域只含有D中的點.§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性則稱此平單連通區(qū)域也可以這樣敘述:D內(nèi)任定理21.12更通俗地說,單連通區(qū)域就是沒有“洞”的區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域則是有“洞”的區(qū)域.

設(shè)D是單連通閉區(qū)域.若函數(shù)

在D內(nèi)連續(xù),且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),下四個條件等價:(i)

沿D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線L,

有(ii)

對D中任一按段光滑曲線L,

曲線積分§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性則以

與路線無關(guān),只與L的起點及終點有關(guān);定理21.12(iii)是D內(nèi)某一函數(shù)的全微分,即在D內(nèi)有(iv)

在D內(nèi)處處成立§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性所以§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性(i)沿D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線L,有(ii)

對D中任一按段光滑曲線L,

曲線積分與路線無關(guān),只與L的起點及終點有關(guān);證(i)(ii)如圖21-19,設(shè)與為聯(lián)結(jié)點

A,B的任意兩條按段光滑曲線,由(i)可推得D內(nèi)任意一點.故當(dāng)在D內(nèi)變動時,其

積分值是的函數(shù),取充分小,使

則函數(shù)對于x的偏增量(圖21-20)(ii)(iii)設(shè)為D內(nèi)某一定點,為

§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性與路線的選擇無關(guān),由(ii),

曲線積分即有因為在D內(nèi)曲線積分與路線無關(guān),因直線段BC平行于x軸,故§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性(ii)

對D中任一按段光滑曲線L,

曲線積分與路線無關(guān),只與L的起點及終點有關(guān);(iii)是D內(nèi)某一函數(shù)的全微分,即在D內(nèi)有從而由積分中值定理可得同理可證所以證得§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性其中根據(jù)在D上連續(xù),于是有(ii)

對D中任一按段光滑曲線L,

曲線積分與路線無關(guān),只與L的起點及終點有關(guān);(iii)是D內(nèi)某一函數(shù)的全微分,即在D內(nèi)有(iii)(iv)設(shè)存在函數(shù)使得因此于是由以及P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),便可知道在D內(nèi)每一點處都有§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性(iii)是D內(nèi)某一函數(shù)的全微分,即在D內(nèi)有(iv)

在D內(nèi)處處成立(iv)(i)設(shè)L為D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線,所圍的區(qū)域為.含在D內(nèi).的條件,就得到§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性由于D為單連通區(qū)域,所以區(qū)域上面我們將四個條件循環(huán)推導(dǎo)了一遍,這就證明了它們是相互等價的.記L應(yīng)用格林公式及在D內(nèi)恒有(i)沿D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線L,有(iv)

在D內(nèi)處處成立應(yīng)用定理21.12中的條件(iv)考察第二十章§2中的在例1中由于故積分與路線有關(guān).

在例2中由于

§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性例1與例2.所以積分與路線無關(guān).例4計算其中到點D(0,1)的路徑(見圖21-21).分析如果第二型曲線積分路徑無關(guān)的條件,L為沿著右半圓周由點A(0,-1)§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性圖21-21在某單連通區(qū)域內(nèi)滿足與積分路徑,使易于計算.則可改變記

易知除去點E(0.5,0)外,

處處滿足設(shè)為由點到點再到點最

圖21-21§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性解的折線段.后到點可被包含在某一不含奇點E的單連通區(qū)域內(nèi),所以有§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性注1定理21.12中對“單連通區(qū)域”的要求是重要的.

何不包含原點的單連通區(qū)域,已證得在這個區(qū)域內(nèi)的任何封閉曲線L上,皆有(3)如本例若取沿y軸由點A

到點D

的路徑,雖然算起來很簡單,但卻不可用.的單連通區(qū)域必定含有奇點E.§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性又如本節(jié)例2,對任因為任何包含只在剔除原點外的任何區(qū)域D上有定義,含在某個復(fù)連通區(qū)域內(nèi).的條件,因而就不能保證(3)式成立.為繞原點一周的圓則有倘若L為繞原點一周的封閉曲線,則函數(shù)§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性這時它不滿足定理21.12

所以L必事實上,若取

L

注2若滿足定理21.12的條件,則由上述證明可看到二元函數(shù)具有性質(zhì)§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性我們也稱為的一個原函數(shù).

例5

試應(yīng)用曲線積分求的原函數(shù).解這里在整個平面上成立由定理21.12,

曲線積分§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性為此,取取路線為圖21-22中的折

只與起點A和終點B有關(guān),而與路線的選擇無關(guān).

線段注