【高中數(shù)學(xué)】分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 課件 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

我們的數(shù)數(shù)起源于遠(yuǎn)古時(shí)代的繩結(jié)計(jì)數(shù)，那時(shí)人的智力的發(fā)展尚處于低級階段，隨著人們對數(shù)的了解和研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)數(shù)的多樣性，用各種方式來計(jì)數(shù)，中國古代的《易經(jīng)》中用十個(gè)天干和十二個(gè)地支以六十為周期來記載月和年，以及在洛書河圖中關(guān)于幻方的記載，是人們至今所了解的最早發(fā)現(xiàn)的組合問題．

在日常生活中，關(guān)于計(jì)數(shù)的問題大量存在，如果問題中數(shù)量很少，可以一個(gè)一個(gè)的數(shù)，但是如果問題中數(shù)量很多，還能一個(gè)一個(gè)去數(shù)嗎？

前言

在小學(xué)我們學(xué)了加法和乘法，這是將若干個(gè)“小”的數(shù)結(jié)合成“較大”的數(shù)最基本的方法。這兩種方法經(jīng)過推廣就成了本章將要學(xué)習(xí)的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理。這兩個(gè)原理是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法，利用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理還可以得到兩類特殊計(jì)數(shù)問題的計(jì)數(shù)公式---排列數(shù)公式與組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計(jì)數(shù)問題。作為計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式的一個(gè)應(yīng)用，我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定理。前言1、春節(jié)放假，小蘭計(jì)劃回家過年和家人團(tuán)聚，從北京回長沙當(dāng)天有7趟航班和9列火車。問題1：小蘭從北京回長沙的方案有幾類？問題2：這幾類方案中各有幾種方法？問題3：小蘭從北京到長沙共有多少種不同的方法兩類，即飛機(jī)和火車第1類乘飛機(jī)方案：7種方法，第2類坐火車方案：9種方法共有7+9=16（種）不同方法新知探索一2、用一個(gè)大寫的的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？新知探索一英文字母共有26個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，26+10=36種上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類標(biāo)準(zhǔn)（分類）；（2）分別計(jì)算各類的個(gè)數(shù)（計(jì)數(shù)）；（3）各類的個(gè)數(shù)相加，得出所有的個(gè)數(shù)（相加）.以上兩個(gè)問題的解決有什么共同特征？1.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事，有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，則完成這件事共有:

N=m+n種不同的方法注意：兩類不同方案中的方法互不相同。典例解析例1

在填寫高考志愿時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表.

如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)例題分析:“選擇一個(gè)專業(yè)”

在A大學(xué)中,有5種專業(yè)選擇方法，

在B大學(xué)中,有4種專業(yè)選擇方法，

沒有專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，

所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)

N=5+4=9.3、如果完成一件事有三類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方案?

如果完成一件事有n類不同方案,在每一類中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?

如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事的方法總數(shù)為:分類加法計(jì)數(shù)原理推論：

N＝m1＋m2＋…＋mn練習(xí)

從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，則一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為多少？

1、春節(jié)放假，小蘭計(jì)劃回家過年和家人團(tuán)聚，從北京回長沙需要換乘，先坐飛機(jī)，后坐火車，當(dāng)天有3趟航班和4列火車，小蘭回家有多少種方式？

3×4=12種新知探索二2、用前6個(gè)大寫英文字母和1～9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，···，B1，B2,···的方式給教室里的座位編號,總共能編出多少個(gè)不同的號碼？

在這個(gè)問題中,號碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個(gè)號碼要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟用下圖可以列出所有可能的號碼.新知探索二用樹狀圖列出來：6×9=54（種）以上兩個(gè)問題有什么共同特征？分步完成：小蘭分成兩步，需一次乘坐兩種交通工具飛機(jī)和火車才

能回家；給座位編號分成兩步，英文字母和數(shù)字組合而成2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事，需要兩個(gè)步驟:做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，則完成這件事共有:

新知探索N=m×n種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：1、確定完成一件事情分成幾步（分步）；2、每一步有多少種方法數(shù)（計(jì)數(shù)）；3、將每一步的方法數(shù)相乘（相乘）.典例解析例2

某班有男生30名，女生24名。現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；

第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種不同方法.分析:

男女生各一名

選出一組參賽代表，可分兩步：

第一步,選男生；第二步,選女生.例題

如果完成一件事有n步不同方案,在第1步方案中有m1種不同的方法，在第2步方案中有m2種不同的方法，…，在第n步方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事的方法總數(shù)為:

N＝m1×m2×…×mn分步乘法計(jì)數(shù)原理推論：

例3.書架上第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?

N＝4＋3+2＝9

N＝4×3×2＝24(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?例題練習(xí)A1．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(

)2．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(

)3．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(

)4．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成． (

)×√判斷√√

現(xiàn)有高一年級的四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？練習(xí)解(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；

第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；

第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；

第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法．

所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．

所以，共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．(3)先分類再分步：分六類，每類又分兩步：

從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；

從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；

從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；

從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；

從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；

從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法．

所以，共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．1.填空題(1)一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是________；

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是_________.96課后習(xí)題2.在例1中，如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，那么A大學(xué)共有6個(gè)專業(yè)可以選擇，B大學(xué)共有4個(gè)專業(yè)可以選擇，應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6+4=10.這種算法有什么問題？A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)解：這種算法有問題，因?yàn)閱栴}強(qiáng)調(diào)的是這名同學(xué)的專業(yè)選擇，故并不需要考慮學(xué)校的差異，所以這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)應(yīng)當(dāng)為3.書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，有多少種不同的取法?4.現(xiàn)有高一年級的學(xué)生3名，高二年級的學(xué)生5名，高三年級的學(xué)生4名.

(1)從三個(gè)年級的學(xué)生中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?

(2)從三個(gè)年級的學(xué)