寒假作業(yè)12建系空間角計算折疊與展開問題探索性參考解答

12【A解析：利用空間向量夾角計1 1 BMBAAMaAA1A1Ma+c2(a+b)=-2a2b答案：答案：答案：3（Ⅰ）ABCD

zBE∥CD所以EA，EB，EP兩兩互相垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo) 33M(-1 )，D(-332 1所以BM= ,

3,3)，EP=(0,0,3)，CD=(0,

3, BMABCD所成角的余弦值為cosBMEP>=223BMABCDBMBM×(Ⅱ)直線BM與CD所成角的余弦值為|cos<BM,CD 72解（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2得，BDBC 2由AC 2,AB2，則AB2AC2BC2，即ACBC

BCDEACBCDEACDEDEDCDEACD（Ⅱ）DDEDCxyDxyz,

2 02y1 得

2z10，可取m0,1,2 mAE x2y

2z

2 2 得

2z20，可取n1,1,2， nBD

xy 所以cosmn

，由題意可知，所求二面角是銳角 m BADE6AB的中點(diǎn)為OOP,ABCDOAx軸，OP為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系O(0,0,0),A(1,0,0),B(-1,0,0),,(Ⅰ)∵→＝(1，2，－3)，→＝(－2， ∴→ PD·AC＝(1，2，－3)·(－2，(Ⅱ)假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn)E，不妨設(shè)→＝ E的坐標(biāo)為(1－λ，0，∴ BE＝(2－λ，0，3λ)，BD＝(2，n＝(x，y，z)EBD

（2－λ）x＋0·y＋

2x＋

x＝3EBDn＝（3，－ABD的法向量可以是＝(0，0，3)．E－BD－A45°，

λ3 -2-l3則|cos〈→，n〉 HP·n＝ ＝＝即 1

2-l

3)23 當(dāng)AP＝2E－BD－A21OC3AC32AD2COBDEH連結(jié)ODOECOBDEHOC2CDOC2CD22OCCDcos52由翻折不變性可知AD 2AO2OD2AD2AOOD理可證AOOE,又 OEO,所以AO平面BCDE(Ⅱ)解法一:過O作OHCD交CDHAHAOBCDEAHCD所以AHOACDBOH21HAC中點(diǎn),故OH32OH22

2所以cosAHOOH 15,所以二面角ACDB的平面角的余弦值為15 zBDOyEx解法二:以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系zBDOyExA00,3C030D12

3z

y

x1

x2y

3z

OA00,3為平面CDBn,OAnn,OAnOAn335ACDB的平面角的余弦值為155【Ba，b，cc＝xa＋yb(x，y∈R)，得(115l2x-y,-x4yx-22x-y11且-x4y5且x-2yAB?AB? AB?AP AB,AP

l AB?(CHHD)= AB?HDcos 1AB?2所以cosABCD

1AB×BlDHA12=BlDHA12AB=cos45AB

63

AB 解：(Ⅰ)AMDEBAM的中點(diǎn)，AB∥DE.AB∥FG.C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)＝(1,1,0)．ABF 則→

即

BCABFα， →則sinα＝|cos〈n，→〉|＝n·BC →2 →2BCABF所成角的大小為H的坐標(biāo)為HPC上，所以可設(shè)＝

，即nABF

→

3＋3

解：(1)BC1B1COAC⊥AB1OB1CO為坐標(biāo)原點(diǎn)，OBx軸正方向，|OB|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因為∠CBB1＝60°，所以△CBB1為等邊三角形，， 3，B(1，0，0)，， 3 B 3，0，C0 3，0. 3

AB1＝0，3，－3，A1B1＝AB＝1，0，－3 3 B1C1＝BC＝－1，－3

n·AB

3y－ 33 333n＝(1，3，3

x－設(shè)m是平面A1B1C1的法向量，則 m＝(1，－3，〉則cos〈 n·m 〉77xyz.B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，0，0)，BC1=(-2，0，2)，

N MD AFPEFPQBC1（Ⅱ）EFPQn=(x，y，z)FEn由FPn

xy可得xz可得

MNPQm=(λ-2，2-λEFPQPQMNm·n=（λ-2，2-λ，1）·（λ，-λ，1）=0λ(λ-2λ(2-解得1

2.故存在12

EFPQPQMN所成的二面角為直二面角2zAECBxDPFy解：(1)在△ABCE，F(xiàn)zAECBxDPFyA(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，23，0)，E(0，3，1)，F(xiàn)(1，3，0)，DF＝(1，3，0)，DE＝(0，3，1)，DACDFDA＝(0,0,2)．EDFn＝(x，y，z)，＝3存在．設(shè)P(s，t,0)，有AP＝(s，t，－2)