第三章解線性代數(shù)方程組的直接法

第三章解線性代數(shù)方程組的直接法工程計(jì)算和科學(xué)研究中的許多問(wèn)題,最終歸結(jié)為對(duì)線性代數(shù)方程組的求解.給定一n元線性代數(shù)方程組寫(xiě)成矩陣形式：Ax=

b

(3.2)

（3.1)其中當(dāng)系數(shù)矩陣行列式A|0

時(shí)，方程組（1）有惟一解：x=A-1b求解線性代數(shù)方程組的數(shù)值方法分為兩類：直接法和迭代法。

直接法：從系數(shù)矩陣A和右端項(xiàng)b出發(fā)，在不考慮舍入誤差的情況下，經(jīng)過(guò)有限次的代數(shù)計(jì)算即可獲得方程組得精確解。直接法通常也稱為精確法。

迭代法：先將方程組改寫(xiě)成一種迭代格式，然后再給定一個(gè)初始的近似解向量，經(jīng)過(guò)迭代產(chǎn)生逼近方程組精確解得近似解序列。收斂性是成其為迭代法的前提。本章介紹解線性代數(shù)方程組的直接法主要內(nèi)容1

.

高斯消去法

2

.矩陣的直接三角分解法3.線性方程組的性態(tài)三角方程組及其解法稱形如的方程組為上三角方程組。若系數(shù)行列式不為零，即，則方程組的解上述求解過(guò)程成為回代過(guò)程。類似方法可用于求解如下下三角方程組3.1

高斯(Gauss)消元法思想通過(guò)對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換逐步消去未知元，將方程組化為同解的三角方程組。一、順序高斯消去法給定線性代數(shù)方程組順序高斯消去法分為消元過(guò)程和回代過(guò)程兩步。消元過(guò)程：將方程組Ax=b化為上三角形方程組回代過(guò)程：求解上三角形方程組設(shè)求解方程組，其中(1)第一步消元。若，記1、消元過(guò)程將第一行乘以，加到第行上去，得其中于是得到如下與原方程組等價(jià)的方程組(2)第二步消元。若，對(duì)增廣矩陣進(jìn)行類似行初等變換得下述方程組其中于是得到如下與原方程組等價(jià)的方程組(3)第k步消元。設(shè)第k-1次消元已經(jīng)完成，若增廣矩陣若，對(duì)做類似的初等變換的等價(jià)方程組,其中其中(4)當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)n-1次消元得到與原方程等價(jià)的上三角方程組：

2、回代過(guò)程回代求解等價(jià)方程組forforfor高斯消去法的消元過(guò)程回代過(guò)程forforfor高斯消去法的消元過(guò)程回代過(guò)程例5：用順序高斯消元法求解下列方程組解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等變換高斯消元法的工作量消元過(guò)程：回代過(guò)程：加減法的次數(shù)乘除法的次數(shù)高斯消元法的實(shí)現(xiàn)條件全不為零的順序主子式都不等于零，即證明：歸納法證明(略)小主元可能導(dǎo)致計(jì)算失敗例6：在8位制計(jì)算機(jī)上解方程組要求用高斯消去法計(jì)算。8個(gè)解：二、選主元素的高斯消元法思想每次消元之前，在剩余元素中選擇絕對(duì)值最大的非零元素作為主元，然后經(jīng)過(guò)換行換到主元位置列主元消去法Stepk：第k步首先選擇主元尋求滿足然后交換矩陣的第行和行，再進(jìn)行消元過(guò)程

算法:

Gauss列主元消去算法求方程組Ax=b

的解.輸入:增廣矩陣An(n+1)=（A|b）.輸出:

近似解xk=ak,n+1(k=1,2,…,n)

或失敗信息.消元過(guò)程fork=1,2,…,n-1doStep1-Step4

Step1

尋找行號(hào)ik

,使得Step2

如果，則交換第k行和ik行；

否則轉(zhuǎn)Step7

算法:

Gauss列主元消去算法（續(xù)）Step3fori=k+1,…,n

計(jì)算

Step4forj=k+1,…,n+1

計(jì)算

回代過(guò)程Step5Step6fori=n-1,…,1

計(jì)算

Step7Outpu