著名數(shù)學(xué)家的故事-李銳

著名數(shù)學(xué)家的故事——李銳李銳(1769—1817)是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家，又名向，字尚之，號(hào)四香，江蘇元和縣(今屬蘇州市)人。(一)少?gòu)拿麕熇钿J先世居河南，祖父名橫，父名章培。李章培系乾隆十七年(1752)進(jìn)士，曾任河南伊陽(yáng)(今汝陽(yáng))知縣，后調(diào)兵部主事。李銳生于l769年1月l5日，“幼開(kāi)敏，有過(guò)人之資。從書(shū)塾中撿得《算法統(tǒng)宗》，心通其義，遂為九章八線之學(xué)?！?788年，李銳為元和縣生員。次年錢(qián)大聽(tīng)來(lái)主持紫陽(yáng)書(shū)院，李銳就此受業(yè)其門(mén)下。1791年，李銳從紫陽(yáng)書(shū)院肄業(yè)，開(kāi)始向錢(qián)大聽(tīng)學(xué)習(xí)天文和數(shù)學(xué)知識(shí)。錢(qián)氏“始教以三角、八線、小輪、橢圓諸法，復(fù)引而進(jìn)于古”。錢(qián)大聽(tīng)“日以翻閱群書(shū)校仇為事，遇有疑義輒與銳商榷”。例如撰成《三統(tǒng)術(shù)衍鈴》之后，就請(qǐng)李銳算校并作跋，可見(jiàn)錢(qián)氏對(duì)這位弟子的學(xué)問(wèn)相當(dāng)滿意。這段學(xué)徒生涯，使李銳不但學(xué)到了知識(shí)，而且熟悉了干嘉學(xué)派大師的治學(xué)方法，對(duì)此有人記道：“受業(yè)于錢(qián)辛楣宮詹(指大聽(tīng))為九數(shù)學(xué)，宮詹誨之曰：‘凡為弟子者，不勝其師，不為賢弟子，吾友段若鷹(即玉裁)之于戴東原(即震)是矣，子其勉之。’先生(即李銳)于是閑門(mén)沉思五年，盡通疇人家言?！庇捎阱X(qián)大聽(tīng)的介紹，李銳開(kāi)始與比他年長(zhǎng)6歲的焦循通信。l790年，焦循以所著《群經(jīng)宮室圖》二部寄錢(qián)大聽(tīng)，后者復(fù)函稱“已分一部致李生尚之，并將尊札付其閱看，伊亦深佩服，以不得握手為恨?！崩钿J也給焦循去了一信內(nèi)容主要討論行星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。(二)幕賓生涯1795年，阮元出任浙江學(xué)政，開(kāi)始籌劃編纂《疇人傳》。不久李銳被邀至杭州，實(shí)際上成為這一中國(guó)歷史上第一部天文、數(shù)學(xué)家傳記的主筆。在此期間，他常往來(lái)于蘇、杭之間，得以廣泛接觸江南各藏書(shū)名家所收珍本秘籍，并有可能獲讀文瀾閣四庫(kù)全書(shū)中的傳抄本。在此基礎(chǔ)上，李銳對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)進(jìn)行了認(rèn)真的研究，他的工作與干嘉學(xué)派對(duì)古代經(jīng)典的廣泛整理是相一致的。先后經(jīng)他整理過(guò)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著有李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》、王孝通的《緝古算術(shù)》、秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》，及《九章算術(shù)》等。在天文學(xué)方面，李銳相繼對(duì)三絕、四分、干象、奉元、占天、淳佑、會(huì)天、大明、大統(tǒng)等歷法進(jìn)行了疏解。并先后完成《三統(tǒng)術(shù)注》、《四分術(shù)注》等五部書(shū)稿。在經(jīng)學(xué)方面，他曾協(xié)助阮元?？薄吨芤住贰ⅰ豆攘骸芳啊睹献印?，其成果被載入阮元編的《十三經(jīng)注疏》之中。他又自撰《周易虞氏略例》、《召浩曰名考》這樣的經(jīng)學(xué)作品。l798年，李銳完成了《弧矢算術(shù)細(xì)草》—書(shū)。1799年在讀《宋書(shū)·律歷志》時(shí)、對(duì)其中用棕轉(zhuǎn)述之何承天調(diào)日法有所悟，撰成《日法朔余強(qiáng)弱考》—書(shū)。同年《疇人傳》編竣。在此期間，李銳與焦循同居阮元節(jié)署之內(nèi)。朝夕相處，“共論經(jīng)史，窮天人消息之理?！贝蠹s此時(shí)，李銳通過(guò)焦循了解到汪萊的工作；汪、李初次見(jiàn)面則在l800年。汪萊于1801年授館揚(yáng)州，同年撰成《衡齋算學(xué)》第五冊(cè)，議論秦九韶，李冶開(kāi)方之“可知”與“不可知”，即數(shù)字方程是否儀有—個(gè)正根。稿成后汪氏曾分送張敦仁和焦循二人求正、焦循逐將汪萊的書(shū)稿出示給李銳。李銳看畢“深嘆為精善，復(fù)以兩日之力作開(kāi)方三例”。這是1862年9月5日的事。當(dāng)時(shí)李銳喪妻不久、又逢失子，獨(dú)自居住于西湖邊之孤山附近，心境十分凄涼。他在為汪萊所作的跋文中說(shuō)：“是卷窮幽極微，真算氏之最也”。隨后給出的“三例”則是他研究方程理論的開(kāi)篇之作。l805年，李銳應(yīng)揚(yáng)州太守張敦仁之邀前往入幕。此時(shí)在場(chǎng)州的數(shù)學(xué)家還有焦循、汪萊、凌廷堪、沈欽裴等人，一時(shí)風(fēng)云際會(huì)，尤以李、汪、焦(一說(shuō)李、凌、焦)三人被譽(yù)為“談天三友”。張敦仁先后撰寫(xiě)《緝古算經(jīng)細(xì)草》，《求——算術(shù)》、《開(kāi)方補(bǔ)記》等書(shū)，都得到李銳的鼎力相助。他覓得南宋版《九章算術(shù)》(前五章)、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》之后，都請(qǐng)李銳算校整理。大約同時(shí)，汪萊完成了《衡齋算學(xué)》第七冊(cè)，把方程論的研究又向前推進(jìn)了一大步。1806年，李銳回到蘇州。這一年他相繼撰成《勾股算術(shù)細(xì)草》、《盤(pán)折說(shuō)》、《戈戟考》等作品，又為張敦仁復(fù)?！肚蟆阈g(shù)》。1808年寫(xiě)成《方程新術(shù)草》，書(shū)成后即寄給北京的李潢一部抄本。當(dāng)時(shí)李潢正在從事《九章算術(shù)》的研究，他后來(lái)復(fù)函李銳，對(duì)此書(shū)及兩年前經(jīng)由張敦仁送來(lái)的《勾股算書(shū)細(xì)草》給予很高的評(píng)價(jià)。李銳與李潢，也被人并稱為“南北二李”。李銳生平雖曾多次參加科舉考試，但是均未獲成功。1801年，李銳從張敦仁在南昌的府邸出發(fā)，前往北京參加他的最后一次考試。這次順天府的鄉(xiāng)試又以失敗告終，但他得以與李潢這位神交已久的學(xué)術(shù)知己聚首。在京期間，他們?cè)l繁往來(lái)，主要討論《九章算術(shù)》中的問(wèn)題。李銳一生對(duì)中算古籍十分珍視，除了以—上提到曾多部古算書(shū)校釋外，又于1800年親自購(gòu)得梅文鼎手錄之明清之際數(shù)學(xué)珍本《西鏡錄》；此書(shū)后由焦循另抄一冊(cè)，得以流傳至今。在北京滯留期間，他又從李潢處讀到阮元錄自《永樂(lè)大典》的多部算書(shū)。1814年，李銳得到一部散亂的《楊輝算法》，遂據(jù)文義重新排列整齊。18l6年，他從張敦仁處獲閱阮元早先訪得并呈入四庫(kù)的《四元玉鑒》，開(kāi)始動(dòng)手整理，可惜因體力不支未能卒業(yè)，以至阮元嘆道：“惜乎李君細(xì)草未成，遂無(wú)能讀是書(shū)矣?！?/p>

(三)貧病相伴李銳雖然長(zhǎng)年奔走于達(dá)官顯貴之間，他的家庭生活卻是十分清苦的。在他留下的日記中，經(jīng)常可以看到“受某某銀若干”的記載；有一則日記還提到李潢托請(qǐng)張敦仁“少分清俸，以瞻其家，俾得悉心、著書(shū)?！崩钿J也經(jīng)常以自己的精神勞動(dòng)來(lái)回報(bào)他的導(dǎo)師或保護(hù)人，錢(qián)大聽(tīng)、張敦仁、阮元、李潢等人都曾采用過(guò)他的研究成果，難怪有人說(shuō)他“凡有詰者”，“悉詳告無(wú)隱”。李銳嗜書(shū)如命。為此不得不節(jié)衣縮食。有時(shí)實(shí)在買(mǎi)不起。他就靠借書(shū)和抄書(shū)來(lái)獲得所需的資料。尤為可悲的是、為了傳宗延嗣．他在發(fā)妻龔氏及愛(ài)子天亡之后又相繼二次娶妻，直到臨終始得一子。過(guò)度的工作量和沉重的家庭負(fù)擔(dān)無(wú)疑加劇了他生活的貧困，也損害了他的健康。l814年，李銳已患重病，此時(shí)他開(kāi)始向弟子黎應(yīng)南講授開(kāi)方與解方程的理論，斷斷續(xù)續(xù)地講了三年，其講稿就是后來(lái)的《開(kāi)方說(shuō)》。l8l7年夏，李銳病情惡化，臨終前囑托黎應(yīng)南務(wù)必將尚未定稿的《開(kāi)方說(shuō)》下卷寫(xiě)好。1817年8月12日，正值創(chuàng)造盛年的李銳咯血身亡。時(shí)年僅48歲。李銳去世后，黎應(yīng)南“謹(jǐn)遵先生遺命，依法推衍”。于1819年將《方程論》全部完成。李銳的科學(xué)著作，主要的都被收集在《李氏遺書(shū)》之中。該書(shū)初刊于嘉慶年間，共11種18卷，其子目為：《召浩曰名考》、《三統(tǒng)術(shù)注》、《四分術(shù)注》、《干象術(shù)注》、《奉元術(shù)注》、《占天術(shù)注》、《日法朔余強(qiáng)弱考》、《方程新術(shù)革》、《勾股算術(shù)細(xì)草》、《弧矢算術(shù)細(xì)草》、《開(kāi)方說(shuō)》。此外，他還著有《測(cè)圓海鏡細(xì)草》、《緝古算經(jīng)細(xì)草》、《補(bǔ)宋金六家術(shù)》；《回回歷元考》等書(shū)。李銳在其學(xué)術(shù)活動(dòng)中集繼承與創(chuàng)造于—身。他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，主要有以下四個(gè)方面：(一)編纂《疇人傳》《疇人傳》是一部以歷法沿革為主線，以人物為核心的大型天文、數(shù)學(xué)家傳記，共收錄自遠(yuǎn)古至清初的中外歷算家3l6人。每一人物均由“傳”、“論”兩部分組成：“傳”主要是原始文獻(xiàn)的薈萃、“論”是編者對(duì)傳主的簡(jiǎn)短評(píng)語(yǔ)。沒(méi)有對(duì)中國(guó)古代天文、數(shù)學(xué)的全面了解和博覽群書(shū)的條件，是很難勝任這一任務(wù)的。李銳正是這部書(shū)的總體設(shè)計(jì)者和主要執(zhí)筆人。作為該書(shū)名義上主編的阮元，提到其編輯過(guò)程時(shí)自云“供職內(nèi)外，公事頻繁”，而“元和學(xué)生李銳暨臺(tái)州學(xué)生周治平力居多”。類似的話在他為羅士林《續(xù)疇人傳》寫(xiě)的序言和應(yīng)李銳子可玖寫(xiě)的傳記中都一再重復(fù)。阮元以地方長(zhǎng)官的身份辦學(xué)刻書(shū)，先后冠其名出版的《經(jīng)籍纂詁》，《十三經(jīng)注疏》、《皇清經(jīng)解》等大部頭經(jīng)學(xué)著作無(wú)不出自其幕賓之手，此情自可推論到《疇人傳》上。阮自稱“本昧于天算”，又認(rèn)定李銳“深于天算術(shù)。江以南第一人也”，因而將《疇人傳》的具體工作交李銳來(lái)于是十分可能的。從該書(shū)的具體內(nèi)容來(lái)看，“張壽王”、“劉洪”、“馬顯”、“昭素”、“周蹤”、“劉孝榮”、“衛(wèi)樸”、“姚舜輔”、“蔣友仁“王孝通”、“李德卿”、“譚玉”、“楊級(jí)”、“耶律履”、“貝琳”傳都與李銳有關(guān)著作中的文字完全相同；“虞劉”、“王處鈉”論中亦可見(jiàn)到“李尚之銳曰”等字樣，因而早就有人說(shuō)：“(人傳)正傳成于阮氏，實(shí)乃元和李氏之筆”。(二)整理古算書(shū)乾隆年間編纂《四庫(kù)全書(shū)》，一大批久經(jīng)埋沒(méi)的珍貴古代學(xué)經(jīng)典得以重見(jiàn)天日，戴震、阮元、張敦仁等人都曾致力于羅各種“算經(jīng)十書(shū)”和宋元數(shù)學(xué)名著。然而這些古書(shū)歷經(jīng)輾傳抄或翻刻，訛文奪字迭出，所用術(shù)語(yǔ)又往往與當(dāng)時(shí)的不同，而?？焙妥⑨尩娜蝿?wù)是相當(dāng)艱巨的?！毒耪滤阈g(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的代表作，現(xiàn)在公認(rèn)最早期的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)》。而早在此之前，李銳就已先后完成《勾股算術(shù)細(xì)草》和《方新術(shù)草》二書(shū)，書(shū)成后都曾送李潢過(guò)目，有李潢的信為證：“讀大著《方程新術(shù)草》一卷，正負(fù)相當(dāng)各率，一？自然，正從前傳刻之誤，闡古人未發(fā)之覆，愉快彌日?！豆?算術(shù))細(xì)草》，前歲(1807)古愚太守(即張敦仁)見(jiàn)。惠一本，條段各圖，細(xì)入毫芒，真精思大力之作也?！睂?duì)照李潢和李銳關(guān)于勾股定理及其應(yīng)用的·說(shuō)明，不難發(fā)現(xiàn)二者所用“條段各圖”幾乎雷同，尤其·是李潢書(shū)中關(guān)于劉微用“出入相補(bǔ)”法證明勾股定理的一段說(shuō)明顯然是完全照搬李銳的。李潢書(shū)中關(guān)于．“方程新術(shù)”的解釋，基本上也是因襲李銳的著作。李銳也曾撰寫(xiě)《海島算經(jīng)細(xì)草》和《緝古算術(shù)衍》,二書(shū)均已失傳。但張敦仁有《緝古算術(shù)細(xì)草》傳世，李銳曾為之算校并作跋，有人“疑此細(xì)草即以《緝古算術(shù)衍》為蘭本，而擴(kuò)其意耳?！崩钿J又協(xié)助張敦仁完成《求一算術(shù)》和《開(kāi)方補(bǔ)記》二書(shū)。李銳還曾整理過(guò)《孫子算經(jīng)》、《測(cè)圓海鏡》、《益古演段》、《數(shù)書(shū)九章》、《四元玉鑒》、《楊輝算法》等。(三)疏解調(diào)日法和求一術(shù)調(diào)日法是中國(guó)古代天文學(xué)家用分?jǐn)?shù)來(lái)近似表達(dá)天文基本數(shù)據(jù)的一種數(shù)理方法，但是“元明以來(lái)疇人子弟，罔識(shí)古義，競(jìng)天知其說(shuō)者。”李銳在讀《宋書(shū)·律歷志》的時(shí)候，注意到其中周瓊轉(zhuǎn)述“宋世何承天更以四十九分之二十六為強(qiáng)率，十七分之九為弱率，于強(qiáng)弱之際以求日法”的意義，他解釋道：何氏以26/49和19/17為上、下限，將朔望月的奇零部分表示為(26×15＋9×1)/

(49×15＋17×1)＝399/752，即選取強(qiáng)、弱二率適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均來(lái)近似表達(dá)觀測(cè)值，這就是調(diào)日法的本質(zhì)。上述分?jǐn)?shù)中分子叫作朔余，分母叫作日法。以此為契機(jī)，李銳對(duì)51家古代歷法進(jìn)行了考察．試圖將每一歷法所給出的日法和朔余二值表示成上述帶權(quán)加成的形式，并以此推測(cè)它們是否應(yīng)用調(diào)日法而來(lái)。這一工作使調(diào)日法這—古代分?jǐn)?shù)近似法重新受到重視，被人稱為“尤為抉盡間奧，皆必傳之作，不但與秦氏書(shū)為羽翼也?！钡菑默F(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，位于兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)之間的任何分?jǐn)?shù)都可以表示為它們二者的帶權(quán)加成形式，因此僅以此來(lái)判定古代歷法的數(shù)據(jù)系由調(diào)日法而來(lái)是欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹r且由于精度所限和運(yùn)算之繁復(fù)，古代制歷者也不大可能全用這種累乘累加的方法來(lái)確定其日法和朔余。李銳大約感到了后一困難．他又創(chuàng)造了一種“有日法求強(qiáng)弱(數(shù))”的方法，其目的仍然是將朔余與日法的比值表示為26/49和9/17的帶權(quán)加成。若以A表示日法，x和y分別表示強(qiáng)、弱二數(shù)，李銳提出的問(wèn)題相當(dāng)與求解二元一次不定方程：47x＋17y＝A，其術(shù)文提供了一種依賴于求一術(shù)的簡(jiǎn)捷算法，從而在中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次溝通了二元一次不定方程與同余式組這兩類問(wèn)題之間的聯(lián)系。(四)研究代數(shù)方程論李銳對(duì)代數(shù)方程論的興趣發(fā)軔于對(duì)秦九韶、李冶等末元數(shù)學(xué)家著作的整理與研習(xí)，但其直接導(dǎo)因卻是汪萊在《衡齋算學(xué)》第五冊(cè)中對(duì)各類方程是否僅有一個(gè)正根的討論。在為汪萊所作的跋文中，他將汪萊所得到的96條“知不知”歸納為三條判定準(zhǔn)則，其中第一條相當(dāng)于說(shuō)系數(shù)序列有一次變號(hào)的方程只有一個(gè)正根，第三條相當(dāng)于說(shuō)系數(shù)序列有偶數(shù)次變號(hào)的方程不會(huì)只有一個(gè)正根；它們與l6世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)(G·CarJano)提出的兩個(gè)命題十分相似。在《開(kāi)方說(shuō)》中，李銳則給出了更一般的陳述：“凡上負(fù)、下正，可開(kāi)一數(shù)”，“上負(fù)、中正、下負(fù)，可開(kāi)二數(shù)”，“上負(fù)、次正、次負(fù)、下正，可開(kāi)三數(shù)或一數(shù)”，“上負(fù)、次正、次負(fù)、次正、下負(fù)，可開(kāi)四數(shù)或二數(shù)”；推而廣之，他的意思相當(dāng)于說(shuō)：(實(shí)系數(shù))數(shù)字方程所具有的正根個(gè)數(shù)等于其系數(shù)符號(hào)序列的變化數(shù)或者比此變化數(shù)少2(精確的陳述應(yīng)為“少一個(gè)偶數(shù)”)。這一認(rèn)識(shí)與法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒(R．Descartes)于l637年提出的判別方程正根個(gè)數(shù)的符號(hào)法則是不分伯仲的。除了關(guān)于方程正根個(gè)數(shù)的