物理競賽中的數(shù)學(xué)知識

1(n-1)1(n-1)物理競賽的數(shù)學(xué)知識一、重要函數(shù)．指函數(shù)．三函數(shù)y=sinx

y

y=cosx

y

2

2

2

-2

1o-1

2

2

2

2

x

2

2

2

-2

1o

2

2

2

2

xyy=tanx-

-

-

o

x．反角函數(shù)反正弦Arcsinx，反余弦Arccos，反正切Arctanx，反余切x這函數(shù)的統(tǒng)稱，各自表示其正弦、余弦、正切、余切為x的角。二、數(shù)列、極限．?dāng)?shù)一次排列的一列數(shù)稱為數(shù)列列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第項通常也叫做首項在二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項排第位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項數(shù)列的一般形式可以寫成a，a，，，a，a，1簡記為｛通項公式：數(shù)列的第N與的序數(shù)n之的關(guān)系可以用一個公式表示，這個公式n就叫做這個數(shù)列的通項公式。．等差列一地，如果一個數(shù)列從第項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)個列就叫做等差數(shù)個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差差通常用字母d表。通項公式a，前n項n

n

a(n1nna2等比數(shù)列一地如果一個數(shù)從第項每項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)個列就叫做等比數(shù)個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比比通常用字母q表。通項公式an

，前和

aqan)11

(所有項和

Sn

a1(1．求符號．?dāng)?shù)的極限：設(shè)數(shù)列無限增大時,若通項無接近某個常數(shù),則數(shù)列nnA,或稱A為列的限記作limann否則稱數(shù)列a發(fā)散或lima不在nn

n

三、函數(shù)的極限：在自變量的變化過程中，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)限接近于常數(shù)，則稱常數(shù)A是數(shù)f(x當(dāng)自變量x在變化過程中的極。設(shè)fx)(>0)有定,對任

>0,總存在>0,x>X時恒有||<常數(shù)A是數(shù)f()當(dāng)+的極限。記為運算法則

lim

()=，或f(x)A(x。lim

[()(

lim

f)

lim

(x)x

xlim

[()x)]=

lim

f(x)

lim

gx)xf(xlimxx(x)

limf(x)xlim(xx

x，其中

lim()四、無窮小量與無窮大量．若

limf(xxx

，則稱

f(x

是

xx0

時的無窮小量。（若

limg(x)xx

則稱

f(x

是

xx

時的無窮大量或：若

lim

,則稱)當(dāng)時無窮小。0在自變量某變化過程中f)|無限增大則()在自變量該變化過程中為無窮大記為limf(x).2．無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量的倒數(shù)是無窮大量；無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。3．無窮小量的運算性質(zhì)有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。無窮小量乘有界變量仍為無窮小量。有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。4窮小的比較定義：設(shè)

lim

，

lim

x，x若若若若

limlimlimlim

))))))))

=0，則稱當(dāng)x時)是比()高階無窮小。0=稱當(dāng))比x)階無窮小。0=C，稱當(dāng)x時)與x是同階無窮小，0則當(dāng)xx與(x是等價無窮小。0．常用的等價無窮小為：當(dāng)x：sinxxarctanx1等價無窮小可代換五、二項式定理．階：n!=1×2×3×…×n

11，x。2．組合數(shù)：從m個同元素中取出≤m）元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)

．二式定理11ta11ta即六、常用三角函數(shù)公式（＋α）＝－sin（/2＋α）α

（＋α）＝－α（/2＋α）＝—α

tan（π＋α）α（π/2＋α）＝－αA)sinAcosBsinsinBcos()cosBcoB

n

cc

oBinssinAA

A

2

A

2

A

2

A

2

tan2

21tansin

11A1itan222co和化公

aasinb2cos22acosaab22tanab積和公asinb2

ab

icsi2

萬公a

21

a2a22

a

11

22

a2t22aa1ta223333典物問數(shù)列極限等應(yīng)用．螞蟻開巢穴直線爬行它速度與到蟻巢中心的距離成反比螞蟻爬到距中心距離L的A點時，速是V。試問蟻繼續(xù)由A到距巢中心L=2m的B112點需要多長時間？．m

1

a

1

m

2

a

2ma常見近似處理．人岸上以v速度勻速運動，如圖位置時，船的速度是多少？0．如所示，頂桿AB可豎直滑槽K滑動，其下端由凹輪M推動，凸輪繞O軸勻角速度轉(zhuǎn)動.在圖示的瞬時，OA=r凸輪輪緣與A接，線n與之間的夾角為，試求此瞬時頂桿的度第十一屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題．三個芭蕾舞演員同時從邊長為L的三角形頂點A,B,C出發(fā)，速率都是v，運動向始終保持著朝著朝C,C朝A。經(jīng)過多少時間三人相遇？每人經(jīng)過多少路程？4．如所示，半徑為R的質(zhì)圓柱體置于水平放置的、半徑為R的圓柱上，母線互相垂直設(shè)圓柱間動摩擦因數(shù)足夠大會發(fā)生相對滑動試問穩(wěn)定平衡時R與R應(yīng)足什么條件一狐貍以不變的速沿著直線逃，一只獵犬以不變的速率追擊，其運動方1向始終對準(zhǔn)狐貍.時刻狐貍在F處獵犬在D處⊥AB且，圖141所，求獵犬的加速度的大.解獵犬的運動方向始終對準(zhǔn)狐貍且速度大小不變，故獵犬做勻速率曲線運動，根據(jù)向心加速度

a

22r

r

為獵犬所在處的曲率半徑，因為r不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化題要求獵犬在D處加速度大小由大小不變?nèi)缜蟪鯠點曲率半徑，此時獵犬的加速度大小也就求得獵犬做勻速率曲線運動，其加速度的大小和方向都在不斷改變在求時刻開始的一段很短的時間2a

內(nèi)，獵犬運動的軌跡可近似看做是一段圓弧，設(shè)其半徑為R，則加速度其方向與速度方向垂直，如圖141甲所示時間內(nèi)，設(shè)狐貍與獵犬分別到F

，獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過的角度為

/R而狐貍跑過的距離是：

因而

/R≈

/L

/

所以獵犬的加速度大小為

a

2

=

1

2

/L．如圖所示，半徑為，量為m的形繩圈，以速率繞中心軸O在光滑水平面上勻速轉(zhuǎn)動時，繩中的張力為多大？解

取繩上一小段來研究，當(dāng)此段弧長對應(yīng)的圓心角

很小時，有近似關(guān)系式

若取繩圈上很短的一小段繩AB=為研究對象，設(shè)這段繩所對應(yīng)的圓心角為

，這段繩兩端所受的張力分別為

A

和

B

（方向見圖—3甲繩圈勻速轉(zhuǎn)動切向加速度以

A

和

B

的大小相等等T.

A

和

B在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運動的向心力這繩子的質(zhì)量為

根據(jù)牛頓第二定律有：

sinR2

；因為很短，它所對應(yīng)的圓心角小以

sin2將此近似關(guān)系和

mm22代入上式得繩中的張力為

m

．在鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道ABC光滑小球從頂點A處斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點C處需時間，恰好等于小球從頂點A處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點處所需的時這里假設(shè)鉛垂軌道AB與平軌道的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無碰撞的拐彎，且拐彎時間可忽略不.在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖14中線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛暇鵄點發(fā)到點止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A滑行到點經(jīng)時間的上限與下限之比解析直三角形、、三的長分別記為l、l、l，如圖——甲所示，小球從A到B的間123記為，從到C的間T，而從A直接沿斜邊到2所經(jīng)歷的時間記為

T

，由題意知

T13

，可得

l1

：

l

2

：

l

3

=34：，由此能得

與

的關(guān)系因為

l

2

l12所以

lT1l22因為

l

：

l

：4，所以

小球在圖144—乙中每一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所時間之和為

t1

，經(jīng)各水平段所需時間之和記為則從A到所時間總和為

t

最的對

t的下限

t

min

，最長的

t

2

對應(yīng)

t

的上限

t

.小球在各水平段內(nèi)的運動分別為勻速運動一水平段路程放在低處運動速度大需時間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與重）時t最，其值即為T，故2t

min

=t

5T3的上限顯然對應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置的方案是垂直段每下降小量便一段水平小量這個小量間恒有2

角即∠ACB水平段到達(dá)斜邊邊界后再降小量并接一相應(yīng)的水平量此繼續(xù)下去構(gòu)成如圖所示的微齒形軌道，由于

、

均為小量，小球在其中的運動可處理為勻速率運動，分別所經(jīng)的時間小量

(i)

與

i

之間有如下關(guān)聯(lián)：i)2(i)1

cot于是作為

i

之和的

t

上限與作為

i

之和的

之比也為

cot

故

t

的上限必為cot

，即得：

t

7T.3這樣

t

:t

min求與分一、導(dǎo)數(shù)的概念1．導(dǎo)數(shù)定義設(shè)y=f(x)在的鄰域內(nèi)有定義在鄰域內(nèi)給自變量一個改變量0

函值有一相應(yīng)改變量

f(xfx00lim0

若極限f(x(x)lim0存在則稱此極限值為函數(shù)在點的導(dǎo)此時稱在x點導(dǎo)用0f)或

y

x

或

dyxx

或

(x)x

表示導(dǎo)數(shù)

若f()f)將

在集合內(nèi)處處可導(dǎo)（這時稱在D內(nèi)導(dǎo),對任意xx的化而變化,因此它是的數(shù)稱為y=f(x)導(dǎo)函數(shù)記作

相應(yīng)的f

,或

df(x

2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義若函數(shù)f(x)點x處導(dǎo)則0

f)

就是曲線在）切線的斜率,此時切00線方程為

yyf0

)(xx)00

當(dāng)

f

=0,線在點（x）的切線平行于軸切方程為0

yyf(x0

若在處續(xù)又0

xx0

時

f

此時曲線y=f(x)在點（）處的切線0垂直于x軸切線方程為x=x.0．幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)⑴

⑵

x

⑶

x

⑷

2．導(dǎo)數(shù)的四則運算（1

[cx)]

；（2

[x)()]

；（3

[)x)]

(x

；（4

x)uv(x))v(x(x

1．微分的概念設(shè)f()量可以表示為

x

的某鄰域內(nèi)有定義在其中給

x

一改變量

相的函數(shù)值的改變(fx0).00其中與無則稱f(在點微且稱Af(x

在

x

點的微分記為

x

x

A

是函數(shù)改變量的性主部.f(x在可微的充條件是

f(x在x可導(dǎo),

x

f

)

當(dāng)f(x

時,可得

因此

x

)f由此可以看微分的計算完全可以借助導(dǎo)數(shù)的計算來完.（2分的幾何意義當(dāng)x由x變到x點的切線的縱坐標(biāo)的改變量為dy.如圖示.

時函縱坐標(biāo)的改變量為此時過x

當(dāng)<當(dāng)>

時,切線在曲線下方,線為凹時,切線在曲線上方,線為凸f(xf(xf(或2．微分運算法則設(shè)

u(xv)

可微則(cu())cdux),d)0.[u()()]du(x)du().[u())]x)()()du().

()(x)()(xdv()()v2x)1．不定積分概念【定義】原函數(shù)

若對區(qū)間I上每一點,有F(x)或F()f()dx則稱（）是函數(shù)f(x)該區(qū)間上的一個原函原函數(shù)的特性

若函數(shù)有一個原函數(shù)F(x),則它就有無窮多個原函,且這無窮多個原函數(shù)可表示為F）的式其C是意常數(shù)【定義】(不定積分是f(x)一個原函數(shù)則

函數(shù)f(x)原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積,記作(數(shù))fx)F(x)

f()

若2．不定積分的性質(zhì)（1積分運算與微分運算互為逆運算.f(x)()dxdx

Fdx(x)或

(x)F(x（2

)x)dx

k0)（3

()g)]

f(x

(xdx3本積分公式

kdxkx

dx

o

si

sin四、定積分【定義】定積分

函數(shù)

f(x

在區(qū)間[]上的定積分定義為Ix)dxlim0

i

f

i

)

i

，【定理牛頓萊布尼茨公式)若數(shù)

f(x

在區(qū)間]上連續(xù)F(x是(x)

在[]上的一個原函數(shù)，則

f(x)

Fx)()F)

上述公式也稱為微積分基本定是計算定積分的基本公常見應(yīng)用．一砌堤，堤身在基石上，高為，寬為b如圖所示。堤前水深等于堤高，誰和堤身的單位體積重量分別為q和防止堤身繞A點倒，比值b/h應(yīng)等于多少？2．個半徑四分之一的光滑球面置于水平桌面上．球面上有一條光滑均勻的勻質(zhì)鐵鏈，一端固定于球面頂點A，另一段恰好與桌面接觸，且單位長度鐵鏈的質(zhì)量為p，鐵鏈端所受到拉力以及鐵連所受球面的支持力．3．量為m的勻橡皮圈處于自然狀態(tài)下的半徑為，彈性系數(shù)為k。將它保持水平套1在半徑為的豎直圓柱上（r＞r），套上后橡皮圈的質(zhì)量分布仍是均勻的，橡皮圈與柱面221之間的靜摩擦因數(shù)為μ在圓柱體繞豎直軸轉(zhuǎn)動起來圖所示要保持橡皮圈不滑下，圓柱轉(zhuǎn)動的角速度ω不超過多少？常數(shù)知匯一、三函公1.兩和式A)sinAcosBsinsinBcos()cosBcoB

n

cc

oBinstan(A)A)2.二角式

tanBtanABtan(A)1tanAtantanBABcotABA)BcotAcotsinA

A

2

A

2

A

2

A

2

11ta1（）lim11ta1（）limtan2

21tan3.半公

1Acos2AA1Asin21coscosA4.和化公式

aasinb2cos22acosaab22tanab

5.積和公式asinb2

ab

icsi2

6.萬公a

21

a2a22

a

11

22

a2t22aa1ta227.平關(guān)sin

2

2

2

n

2

2

2

8.倒關(guān)tanxsec