差分方程講解老師

差分方程講解老師第一頁，共六十九頁，2022年，8月28日一.數(shù)列的概念二.數(shù)列差分的概念三.差分表的性質§1數(shù)列的差分第二頁，共六十九頁，2022年，8月28日一.數(shù)列的概念一個數(shù)列就是實數(shù)的任何(有限或無限的)有序集.這些數(shù)稱為數(shù)列的項或元素.用an來表示數(shù)列的第n項,稱之為數(shù)列的通項.§1數(shù)列的差分定義1.1一個數(shù)列是一個函數(shù),其定義域為全體正整數(shù)(有時,為方便計,是全體非負整數(shù)集合),其值域包含在全體實數(shù)集中.第三頁，共六十九頁，2022年，8月28日數(shù)列的表示:1.列舉法:§1數(shù)列的差分第四頁，共六十九頁，2022年，8月28日數(shù)列的表示:2.通項法:§1數(shù)列的差分第五頁，共六十九頁，2022年，8月28日數(shù)列的表示:§1數(shù)列的差分3.圖象法:序列的項通過標出點(n,an)圖示.直觀,具有可視化的效果.4.描述法:第六頁，共六十九頁，2022年，8月28日數(shù)列的一些例子1.假如你開了一個10000元的銀行帳戶,銀行每月付給2%的利息.假如你既不加進存款也不取錢,那么每個月后的存款余額就構成一個數(shù)列.§1數(shù)列的差分第七頁，共六十九頁，2022年，8月28日§1數(shù)列的差分2.兔子出生以后兩個月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一對(一雌一雄).假如養(yǎng)了初生的小兔一對,則每個月小兔的對數(shù)也構成一個數(shù)列(假設生下的小兔都不死)斐波那契(Fibonacci意大利約1170-1250本名Leonardo)1,1,2,3,5,8,13,21,34,…第八頁，共六十九頁，2022年，8月28日二.數(shù)列差分的概念數(shù)列相鄰項的差,稱為數(shù)列的差分.§1數(shù)列的差分定義1.2對任何數(shù)列A

{a1,a2,},其差分算子(讀作delta)定義如下:a1

a2

a1,a2

a3

a2,a3

a4

a3,,一般地,對任何n有an

an1

an,第九頁，共六十九頁，2022年，8月28日應用這個算子,從原來的數(shù)列A構成一個新的數(shù)列A,從數(shù)列A可得到數(shù)列2A{2an},這里2an(an)

an1

anan2

an1

an1

an

an2

2an1

an,稱之為數(shù)列A的二階差分,二階差分2an的差分3an稱為三階差分,二階及二階以上的差分稱為高階差分,而稱an為一階差分.§1數(shù)列的差分第十頁，共六十九頁，2022年，8月28日差分的物理和幾何意義:在物理方面,一階差分表示物體運動的平均速度,二階差分表示平均加速度.在幾何方面,一階差分表示數(shù)列圖形中相鄰兩點連線的斜率.§1數(shù)列的差分例.外出汽車旅行,每小時記錄下里程表的讀數(shù).設A

{an}

{22322,22352,22401,22456,22479,22511},A

{an}

{30,49,55,23,32},第十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日例.假設我們有數(shù)列{an}

{3n5},并考慮由表給出的關于n

1,2,3,的數(shù)列.我們按函數(shù)值列表,并考慮相鄰項的差.§1數(shù)列的差分3333333-21471013161912345678n第十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日§1數(shù)列的差分第十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日定理1.1若c和b為常數(shù)且對所有n

1,2,3,有ancnb,則:1.對所有n,數(shù)列{an}的差分為常數(shù);2.當畫an關于n的圖形時,這些點都落在一條直線上.§1數(shù)列的差分定理1.2若an

c,其中c是一個與n無關的常數(shù),則有一個an的線性函數(shù)(即存在常數(shù)b使

ancnb).第十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日§1數(shù)列的差分例.對二次多項式數(shù)列,當時造差分表.n12345633591523024682222第十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日定理1.3若數(shù)列{an}由一個二次多項式定義,則該數(shù)列具有性質:其二階差分為常數(shù),2anc.§1數(shù)列的差分定理1.4若數(shù)列{an}具有性質:對一切n有2anc,c為一個常數(shù),則該數(shù)列的項遵從二次變化模式,而且表達其通項的公式是一個二次多項式.注:一般地,由k次多項式定義的數(shù)列的k1階差分為零,反之,若數(shù)列{an}的k1階差分為零,則存在一個生成該數(shù)列的k次多項式.第十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日例考慮數(shù)列{an}{1,3,6,10,15,21,},則有{an}{2,3,4,5,6,}以及{2an}{1,1,1,1,1,}.令anAn2BnC,§1數(shù)列的差分第十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日例求數(shù)列{an}{n2}{12,22,32,42,52,62,}前n項和Sn,即n個正整數(shù)平方和.由于{Sn}{(n1)2}{22,32,42,52,},{2Sn}{2n3}{5,7,9,11,}以及{3Sn}{2,2,2,2,}令SnAn3Bn2CnD.§1數(shù)列的差分第十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日由S11,S25,S314,S430得

A

B

CD1,8A

4B

2CD5(23A

22

B

2CD5),

27A

9B

3CD14(33A

32B

3CD14),64A

16B4CD30(43A

42B4CD30),§1數(shù)列的差分解關于A,B,C和D的方程組可得

A1/3,B1/2,C1/6,D0,則第十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日三.差分表的性質和應用§1數(shù)列的差分定義1.3數(shù)列A

{an}在第k項處是增的,若ak

ak1(或用算子記號,ak0).數(shù)列A在第k項處是減的,若ak

ak1(或ak

0).數(shù)列A在第k項處達到相對極大,若ak

ak1而ak

ak1(或用算子記號,ak1

0而ak0).數(shù)列A在第k項處達到相對極小,若ak

ak1而ak

ak1(或ak1

0而ak0).第二十頁，共六十九頁，2022年，8月28日§1數(shù)列的差分數(shù)列A在第k項處上凹,若akak1(或用二階差分的算子記號,2ak10).數(shù)列A在第k項處下凹,若akak1(或2ak10).注意:在k1處的二階差分決定了k項處的凹性.決定凹性的另一種看法是:當一階差分增加時數(shù)列上凹,而當一階差分減小時數(shù)列下凹.定義1.4數(shù)列A在第k項處有一個拐點,倘若2ak和2ak1有不同的正負號.第二十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日§1數(shù)列的差分第二十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日§1數(shù)列的差分例討論數(shù)列

{n24n3}的性質構造an

n24n3的前7個數(shù)列值的差分表,并用該表確定數(shù)列在何處增加、減少,達到相對極大或極小,上凹、下凹以及是否有拐點.n101221123032435258726159724第二十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日§1數(shù)列的差分第二十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日一.差分方程的基本概念二.齊次線性差分方程的解析解§2一階線性差分方程第二十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日一.差分方程的基本概念§2一階線性差分方程定義2.1

差分方程是一種方程,該方程表明數(shù)列中的任意項如何用前一項或幾項來計算.初始條件是該數(shù)列的第一項.出現(xiàn)在差分方程中的項的最大下標減去最小下標得到的數(shù)稱為差分方程的階.第二十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2一階線性差分方程定義2.2如果差分方程中包含數(shù)列變量(即包含an)的項不包含數(shù)列變量的乘積,不包含數(shù)列變量的冪,也不包含數(shù)列變量的諸如指數(shù),對數(shù)或三角函數(shù)在內的函數(shù),那么我們稱該差分方程是線性的.否則差分方程就是非線性的.注意這種限制只適用于包含數(shù)列變量的項,而不能用于不包含數(shù)列變量的其它項.線性的非線性的第二十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2一階線性差分方程定義2.3線性差分方程稱為齊次的,如果它只包含數(shù)列變量的項.如果略掉非齊次方程中不包含數(shù)列變量的項,就得到一個齊次方程,稱之為與原方程相應的齊次方程.齊次的第二十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2一階線性差分方程對于差分方程的研究主要是差分方程的求解(當可以求解的時候)以及討論解的性質.能夠給出解析解的差分方程是為數(shù)很少的一部分,大多數(shù)差分方程是不能給出解析解的,此時,只能對其解的性質給出一定的討論,討論解的性質(解的變化趨勢,是周期的還是非周期的或混沌的)有兩種方法:一是數(shù)值計算方法,二是定性或定性定量結合的方法.第二十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2一階線性差分方程差分方程的解具有不同的形式:數(shù)值,圖形,公式定義2.4

數(shù)值解是從一個或多個初值出發(fā)迭代差分方程得到的一張數(shù)值表.第三十頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2一階線性差分方程例如,在銀行帳戶上以7%的利息積累起來的錢數(shù)是由差分方程an1

an0.07an來確定,其中an表示n個月后銀行中的存款數(shù).月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.00074.900021144.90080.143031225.04385.753041310.79691.755751402.55298.178661500.730105.0510716.5.781112.405081718.186120.273091838.459128.6920101967.151137.7010第三十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2一階線性差分方程定義2.5差分方程的一個解析解是一個函數(shù),當把它代入差分方程時就得到一個恒等式,而且還滿足任何給定的初始條件.差分方程an1

an0.07an若把函數(shù)ak

(0.07)kc,其中c為任意常數(shù),代入差分方程就得到一個恒等式:第三十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2一階線性差分方程定義2.6差分方程的一個通解是一個函數(shù),當代入特定值后就得到相應于不同初值的特解.ak

(0.07)kc稱為差分方程an1

an0.07an的通解,因為代入c的特定值就給出與不同的初值a0相應的特解.第三十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2一階線性差分方程數(shù)值解與解析解的比較:在求銀行模型的數(shù)值解時只需要一個差分方程和一個初值.這是數(shù)值解的一個強有力的性質—求數(shù)值解時無須要求差分方程具有特殊的性質.只要從一個或多個初值開始進行迭代計算就行了.另一方面,因為沒有第k項的一個一般的公式,每一項必須從前一項或幾項算得.從一個數(shù)值解來預測解的長期性態(tài)可能是困難的.第三十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2一階線性差分方程解析解給出了一個我們可以直接計算數(shù)列中任何特定項的函數(shù).解析解的另一個優(yōu)點是,當我們求得一個解析解時,通常也同時得到了通解.相比之下,用迭代計算求得的解只從屬于某個初始條件.第三十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日二.齊次線性差分方程的解析解§2一階線性差分方程定理2.1一階線性差分方程an1

ranb的解為an

bnc,若r1.若r1.第三十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日1市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型2減肥計劃——節(jié)食與運動3差分形式的阻滯增長模型4按年齡分組的種群增長差分方程模型第三十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日1市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降減少產量增加產量價格上漲供不應求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩第三十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格消費者的需求關系生產者的供應關系減函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第三十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型第四十頁，共六十九頁，2022年，8月28日在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致第四十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產者對價格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結果解釋xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格經(jīng)濟穩(wěn)定結果解釋第四十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結果解釋需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直第四十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日模型的推廣生產者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。生產者管理水平提高設供應函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件第四十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣第四十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日2減肥計劃——節(jié)食與運動背景多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析體重變化由體內能量守恒破壞引起飲食（吸收熱量）引起體重增加代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第四十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),相當于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第四十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。第四十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100千克不變第四十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃第五十頁，共六十九頁，2022年，8月28日第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型第五十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。第五十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量(千卡):跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運動時間(小時)基本模型第五十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日3）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運動運動(內容同前)第五十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日3差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)t,xN,x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關)離散形式x(t)~某種群t時刻的數(shù)量(人口)yk~某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即k,

ykN？y*=N是平衡點第五十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程(1)的平衡點y*=N討論x*的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點第五十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日(1)的平衡點x*——代數(shù)方程x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點補充知識一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性第五十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日01的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性x*穩(wěn)定x*不穩(wěn)定另一平衡點為x=0不穩(wěn)定第五十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日01/2101的平衡點及其穩(wěn)定性第五十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日初值x0=0.2數(shù)值計算結果b<3,xb=3.3,x兩個極限點b=3.45,x4個極限點b=3.55,x8個極限點0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第六十頁，共六十九頁，2022年，8月28日倍周期收斂——x*不穩(wěn)定情況的進一步討論單周期不收斂2倍周期收斂(*)的平衡點x*不穩(wěn)定，研究x1*,x2*的穩(wěn)定性第六十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日倍周期收斂的穩(wěn)定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第六十二頁，共六十九頁，2022年，8月28