不確定風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下的投資

第九講不確定性條件下的選擇第一節(jié)一些公理一、不確定性：行為的結(jié)果總是被置于某種概率之下。二、單賭與復(fù)賭p=1,p>0ii上的概率分布｛P,P….P｝：12n某事件的概率分布：{p}，i=1，???，n,z結(jié)果：結(jié)果的有限集：A={ai,p=1,p>0ii上的概率分布｛P,P….P｝：12n1n記Gs為關(guān)于A的簡(jiǎn)單賭局的集合：?jiǎn)钨€的“收益”是確定性的結(jié)果復(fù)賭：凡是獎(jiǎng)品本身又成了賭博本身的賭博稱為復(fù)賭。復(fù)合賭局：賭局的結(jié)果為仍為賭局彩票：復(fù)合彩票：研究生入學(xué)考試：初試+復(fù)試：初試的結(jié)果是贏得復(fù)試的機(jī)會(huì)，又是一個(gè)賭博，而不是確定性的結(jié)果。例高產(chǎn)0.2正常0.4低產(chǎn)

0.40.2雨量大0.040.080.080.20.5雨量中等0.100.200.200.50.3雨量小0.060.120.120.3確定性條件下的選擇：不確定條件下的選擇：不確定條件下選策的對(duì)象是賭局。效用函數(shù)如何表示？偏好關(guān)系的公理如何確定？不確定性條件下，消費(fèi)者在概率分布集合G上有偏好關(guān)系A(chǔ)，滿足以下公理：~1：窮盡性公理1：窮盡性公理對(duì)于賭局集合G中的任何兩個(gè)賭局gg。g和gg，或者有g(shù)gg，或者注意書上以結(jié)果代替賭局是簡(jiǎn)化的做法：結(jié)果可以看成概率為1的賭局。假設(shè)期末考試成績(jī)簡(jiǎn)單分為三檔：{0,60,100}A：{0.8,0?1,0?1}B：{0.2,0.6,0.2}選擇：AB或BA2：傳遞性公理對(duì)于賭局集合G中的任何三個(gè)賭局g、gg和gg，如果有g(shù)gffffgg，則有g(shù)g。嚴(yán)上面兩條合起即書上的次序完全公理3：連續(xù)性公理對(duì)于G對(duì)于G中的賭局gJg2,g3,3,存在某個(gè)概率P,O<P<1，使得P-g]+(1—p)g3?g2例子：假設(shè)期末考試成績(jī)簡(jiǎn)單分為三檔{o,60,1。0}最好的結(jié)果為1OO分，最差的結(jié)果為O分。根據(jù)連續(xù)性公理，存在某個(gè)概率。[0,1],它使得Q100分,(1-a)0分)與60分無差異。書上例4：獨(dú)立性公理假設(shè)消費(fèi)者在A和B之間無差異，設(shè)C為另外一個(gè)結(jié)果。如果一張彩票Li以概率P和（1-P）帶來結(jié)果A和C另一張彩票L2以概率P和（1-P）帶來結(jié)果B和C，那么，消費(fèi)者對(duì)該兩張彩票無差異:若A?B,C豐A,C豐B，則PA+(1-P)C?PB+(1-P)C同樣^?AA?B,C豐A,C豐B，則PA+(1—P)C>?PB+(1—P)C你在一種條件下的決策（選A還是B）與另一種條件下的決策（選C）無關(guān)。P735：不相等公理如果消費(fèi)者有AAB，令七=(PjA,B)=￡A+(1—PJB，L=(P,A,B)=PA+(1一P)B,當(dāng)且僅當(dāng)p>P，LaL222221216：復(fù)合賭局簡(jiǎn)單化公理對(duì)于單賭L=(P,A,B)=PA+(1-P)B,和復(fù)賭L2=(匚丄3丄4),TOC\o"1-5"\h\z11112234(L3=(P,A,B),L4=(P,A,B)),34如果P=PP+(1-P)P4,則復(fù)賭L可簡(jiǎn)化為單賭L:匕?L212322112推導(dǎo)：L=(P,A,B)=PA+(1-P)B,L=(P,A,B)=PA+(1-P)B,33334444第二節(jié)VNM效用函數(shù)一、定義1、期望2、期望效用如果^于＜一個(gè)gs=(papapa)，效用函數(shù)u(g)有S1122nns則稱u(g)是關(guān)于單賭g的期望效用函數(shù)，即VNM效用函數(shù)。SSu(g)=/pu(a)效用的期望值iii=1區(qū)別期望效用與期望值：前者是效用函數(shù)的期望，后者是結(jié)果的期望。max()n()期望效用最大化：U(g)=ZPU(a)TOC\o"1-5"\h\zgGGiii=1二、期望效用函數(shù)的構(gòu)造若事件發(fā)生的結(jié)果集為A=(a,…,a),且a1Aa2A????Aan。如果消費(fèi)者1n12n將a看成與a與a的一個(gè)線性組合一樣好，即i1na?(P.?a「(1-P)a)，則概率p就是我們要構(gòu)造的期望效用函數(shù)ii1iniu(a)三pii例：假定A=(10元，4元，-2元)?如果問一個(gè)消費(fèi)者當(dāng)ai發(fā)生的概率p

等于多少時(shí)使你認(rèn)為a（i=1,2,3）與（p,a,a）無差異，如果該消費(fèi)者回i13答：10元~（1*（10元），0*（-2元））4元~（0.6*（10元），0.4*（-2元））:比較期望值和期望效用值-2元~（0*（10元），1*（-2元））那么，我們就可以定義u(10元)=u(a)=11u(4元)=u(a)=0.62u(-2元)=u(a=03)給定上述效用函數(shù)值，比較下列單賭：g=（0.2*4元,0.8*10元）g（0.07*（-2）元,0.03*4元，0.9*10元）2=消費(fèi)者偏好賭局g?雖然g的期望收益小于g。112這是因?yàn)橘€局2包含了非常壞（-2元）的情況第三節(jié)風(fēng)險(xiǎn)厭惡一、風(fēng)險(xiǎn)的客觀度量l=J一、風(fēng)險(xiǎn)的客觀度量l=J1=='以方差或標(biāo)準(zhǔn)差來客觀度量風(fēng)險(xiǎn)。二、人們對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的主觀態(tài)度定義：「確定給定定義：u（E（g））＞u（g）：u（g）為凹函數(shù)

風(fēng)險(xiǎn)厭惡的數(shù)學(xué)刻畫Arrow-Pratt絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量：R(w)>0,風(fēng)險(xiǎn)厭惡，u(w)凹函數(shù)，u，(w)>0,u"(w)<0aR(w)=0,風(fēng)險(xiǎn)中性，u(w)線性函數(shù)，u'(w)>0,u"(w)=0aR(w)<0,風(fēng)險(xiǎn)愛好：u(w)凸函數(shù)，u'(w)>0,u"(w)>0a三、確定性等價(jià)：Certaintyequivalence(CE)確定性等價(jià)CE：給定賭局g，與該賭局無差異的確定的財(cái)富

承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的報(bào)酬：賭局的期望值與確定性等價(jià)之間的差。P=E(g)-CE例5：假定原來資產(chǎn)為W0,u(w)=ln(w),令單賭賦予贏h與虧h各0.5的概0率，設(shè)消費(fèi)者原來的資產(chǎn)水平為w。求CE與風(fēng)險(xiǎn)升水P.解：/trr>賭局g=(0.5*(w+h)+0.5*(w-h))00