微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題解答_第1頁(yè)
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微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題解答第三章§3.1微分中值定理1．填空題（１）函數(shù)在上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的ξ是．（２）設(shè)，則有3個(gè)實(shí)根，分別位于區(qū)間中．2．選擇題（１）羅爾定理中的三個(gè)條件:在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使成立的（B）．A．必要條件B．充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件（２）下列函數(shù)在上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件的是（C）．A.B.C.D.（３）若在內(nèi)可導(dǎo)，且是內(nèi)任意兩點(diǎn)，則至少存在一點(diǎn)，使下式成立（B）．A．B．在之間C．D．3．證明恒等式：．證明：令，則，所以為一常數(shù)．設(shè)，又因?yàn)?。故?．若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中，證明:在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得．證明：由于在上連續(xù),在可導(dǎo),且，根據(jù)羅爾定理知，存在，使．同理存在，使．又在上符合羅爾定理的條件，故有，使得．5．證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)根．證明：設(shè)，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理至少存在一個(gè)，使得．另一方面，假設(shè)有，且，使，根據(jù)羅爾定理，存在使，即，這與矛盾．故方程只有一個(gè)實(shí)根．6．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，且，其中是介于之間的一個(gè)實(shí)數(shù)．證明：存在,使成立.證明：由于在內(nèi)可導(dǎo)，從而在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．又因?yàn)?，根?jù)零點(diǎn)存在定理，必存在點(diǎn)，使得．同理，存在點(diǎn)，使得．因此在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，故存在，使成立．7.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).試證:至少存在一點(diǎn),使證明：只需令

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