江蘇省無錫市江陰市長涇片2022-2023學年八年級上學期期中數(shù)學試卷

2022-2023學年江蘇省無錫市江陰市長涇片八年級第一學期期中

數(shù)學試卷

一.選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

I.下面是科學防控新冠知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形

戴口罩，講衛(wèi)生

A.打噴嚏，捂口鼻B.

@?噴嚏后,慎揉眼

C.勤洗手,勤通風

2.如圖，已知下列所給條件不能證明△ABC絲△OCB的是（）

A.ZA=Z￡>B.AC=BDC.NACB=NDBCD.AB=DC

3.已知等腰三角形的兩條邊長分別是2和4,則它的周長是（）

A.8B.8或10C.10D.無法確定

4.如圖，如果把AABC沿折疊，使點C落在邊A8上的點E處，那么折痕（線段AO）

是△ABC的（）

A.中線

B.角平分線

C.高

D.既是中線，又是角平分線

5.下列說法正確的是（）

A.形狀相同的兩個三角形全等

B.角不是軸對稱圖形

C.全等的兩個三角形一定成軸對稱

D.等腰三角形的底角必小于90°

6.如圖，已知△ABC中，NB=50°,P為AABC內(nèi)一點，過點P的直線MN分別交AB,

BC于點M、N.若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則/APC的度數(shù)為（）

A.100°B.105°C.115°D.120°

7.如圖，兩個正方形的面積分別為64和49,則AC等于（）

8.如圖，在等邊aABC中，AD.CE是△ABC的兩條中線，AD=5,P是4。上一個動點,

則P8+PE最小值的是（）

C.7.5D.10

9.如圖，已知RtzXABC中，ZC=90°,乙4=30°,在直線8C或AC上取一點P,使得

△PA8是等腰三角形，則符合條件的尸點有（）

BC.

A.5個B.6個C.7個D.8個

10.已知：如圖，ZSABC中，8。為△ABC的角平分線，且8O=8C,E為BD延長線上的

一點，BE=BA,過E作EFLAB,F為垂足.下列結(jié)論：①△AB。絲△EBC；②NBCE+

ZBCZ）=180°；@AD=AE=EC；@BA+BC^2BF.其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.①@?④

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11.在等腰三角形4BC中，ZA=120°,則N8=.

12.已知aABC的三邊長分別為6、8、10,則最長邊上的中線長為.

13.在直角AABC中，NC=90°,AO平分NBAC交BC于點。，若CD=4,則點。到斜

邊AB的距離為.

14.如圖，△ABC中，CO_LAB于。，AC=BC,E是AC的中點.若AO=12,DE=10,

15.如圖，把一個長方形的紙片沿EF折疊后，點。、C分別落在點M、N的位置，如果/

EFB=65°,那么NAEM等于.

16.如圖，線段AB、8C的垂直平分線人/2相交于點0,若Nl=39°,則NAOC=

17.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如下圖所

示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)

直角三角形較長直角邊長為“，較短直角邊長為6,若（a+6）2=21,大正方形的面積為

18.如圖，RtZ\ABC中，/ACB=90。，ZABC=30°,4c=6,￡>是線段AB上一個動點，

以BD為邊在△ABC外作等邊△BOE.若尸是OE的中點，當CF取最小值時，4BDE

的周長為.

CB

三、解答題（本大題有8小題，共66分）

19.已知：如圖，點E、F在線段B。上，BE=DF,AB//CD,/A=/C.

求證：AB=CD

A

20.如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1.

(1)畫出△ABC關(guān)于直線/對稱的圖形△AIBCI；

(2)在直線/上找一點P,使尸B=PC；(要求在直線/上標出點P的位置)

(3)連接PA、PC,計算四邊形以8C的面積.

21.如圖，在R&BC中，ZB=90",分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧,

兩弧相交于點M、N,連接與AC、BC分別交于點。、E,連接4E.

(1)按要求作出草圖，并求NAOE=；(直接寫出結(jié)果)

(2)當AB=3,AC=5時，求△ABE的周長.

22.如圖，ZVIBC中，AO是高，E、尸分別是48、AC的中點.

(1)若AB=10,AC=8,求四邊形AEOF的周長；

(2)EF與有怎樣的位置關(guān)系？請證明你的結(jié)論.

A

23.如圖，四邊形ABC。中，AB=20,BC=15,CD=1,A￡>=24,ZB=90°.

(1)判斷/D是否是直角，并說明理由.

(2)求四邊形ABC。的面積.

24.定義：如圖，等腰4ABC中，點E,尸分別在腰A8,4C上，連結(jié)EF,若AE=CE

則稱EF為該等腰三角形的逆等線.

(1)如圖1,E尸是等腰△4BC的逆等線，EFVAB,A8=AC=8,AE=3,求逆等線

EF的長;

(2)如圖2,若直角三角形△OEf"的直角頂點。恰好為等腰直角△A8C底邊BC上的中

點，且點E,尸分別在AB,AC上，求證：EF為等腰4ABC的逆等線.

若點P從點A出發(fā)，以每秒

2cm的速度沿折線4-B-C-A運動，設(shè)運動時間為/秒(/>0).

(1)若點尸在8C上且滿足PA=PB,則此時t=

(2)若點P恰好在NABC的角平分線上，求此時f的值;

(3)在點尸運動過程中，若△4CP為等腰三角形，則此時f=

26.過三角形的頂點作射線與其對邊相交，將三角形分成兩個三角形.若得到的兩個三角形

中有等腰三角形，這條射線就叫做原三角形的“友好分割線”.

(1)下列三角形中，不存在“友好分割線”的是(只填寫序號).

①等腰直角三角形；②等邊三角形；③頂角為150°的等腰三角形.

(2)如圖1,在△ABC中，ZA=60°,NB=40°,直接寫出△ABC被“友好分割線”

分得的等腰三角形頂角的度數(shù)；

(3)如圖2,中，/A=30°,CO為AB邊上的高，BD=2,E為AO的中點，

過點E作直線/交AC于點F,作CMJJ,DNLI,垂足為M,N.若射線為AABC

的“友好分割線”，求CM+DN的最大值.

參考答案

一.選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下面是科學防控新冠知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形

打噴嚏，捂口鼻B.口罩，由衛(wèi)生

密噴嚏后，慎揉眼

C勤洗手，勤通風

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重

合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

解：A.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

B.是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

C.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意;

D.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意.

故選:B.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

沿對稱軸折疊后可重合.

2.如圖，已知下列所給條件不能證明△ABC四△DCB的是（）

A.B.AC=BDC.NACB=NDBCD.AB=DC

【分析】利用SSS、SAS.ASA、AAS.HL進行分析即可.

解：A、添加可利用AAS判定△ABC0△DCB,故此選項錯誤;

B、添加AC=BO不能判定△ABC會△■DCS,故此選項正確；

C、添加NACB=ND8C可利用4s4判定△ABC也△OC8,故此選項錯誤；

D、添加AB=C￡＞可利用SAS判定△ABC絲△OCB,故此選項錯誤；

故選：B.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS,HL.

注意：414、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，

若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

3.已知等腰三角形的兩條邊長分別是2和4,則它的周長是（）

A.8B.8或10C.10D.無法確定

【分析】根據(jù)2和4可分別作等腰三角形的腰，結(jié)合三邊關(guān)系定理，分別討論求解.

解：當2為腰時，三邊為2,2,4,由三角形三邊關(guān)系定理可知，不能構(gòu)成三角形，

當4為腰時，三邊為4,4,2,符合三角形三邊關(guān)系定理，周長為：4+4+2=10.

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理.關(guān)鍵是根據(jù)2,4,分別

作為腰，由三邊關(guān)系定理，分類討論.

4.如圖，如果把△ABC沿40折疊，使點C落在邊AB上的點E處，那么折痕（線段A。）

是△ABC的（）

A.中線

B.角平分線

C.高

D.既是中線，又是角平分線

【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得對應(yīng)的角相等，進而得出AZ）是角平分線.

解：由翻折變換的性質(zhì)得，ZCAD=ZEAD,

二4。平分NBAC,

故選：B.

【點評】本題考查翻折變換，掌握翻折的性質(zhì)，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解決問題

的關(guān)鍵.

5.下列說法正確的是（）

A.形狀相同的兩個三角形全等

B.角不是軸對稱圖形

C.全等的兩個三角形一定成軸對稱

D.等腰三角形的底角必小于90°

【分析】選項A根據(jù)全等三角形的定義判斷即可；選項B根據(jù)角的性質(zhì)以及軸對稱圖形

的定義判斷即可；選項C根據(jù)全等三角形的定義判斷即可；選項。根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理判斷即可.

解：A.形狀和大小相同的兩個三角形全等，原說法錯誤，故本選項不合題意；

B.角是軸對稱圖形，原說法錯誤，故本選項不合題意；

C.全等的兩個三角形不一定成軸對稱，原說法錯誤，故本選項不合題意；

D.等腰三角形的底角必小于90°,說法正確，故本選項符合題意.

故選：D.

【點評】此題主要考查了全等三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及軸對稱圖形的定義，判斷

是不是軸對稱圖形的關(guān)鍵是找出對稱軸，看圖形沿對稱軸對折后兩部分能否完全重合.

6.如圖，已知△ABC中，ZB=50°,P為aABC內(nèi)一點，過點P的直線分別交AB,

BC于點、M、N.若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則/APC的度數(shù)為（）

A.100°B.105°C.115°D.120°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到/8AC+NACB=130。，根據(jù)線段的垂直平分線的性

質(zhì)得到PN=CN,由等腰三角形的性質(zhì)得到NCPN=/PCN,

進而得出/MAP+/PCN=/PAC+/ACP=*X130。=65°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計

算即可.

解:VZABC=50°，

：.ZBAC+ZACB=[30Q,

?.?M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上,

：.AM=PM,PN=CN,

NMAP=ZAPM,NCPN=ZPCN,

'：ZAPC=180°-ZAPM-NCPN=180°-ZPAC-ZACP,

：.AMAP+ZPCN^ZPAC+ZACP^—X130°=65°,

2

；./APC=115°,

故選：C.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和

定理，熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，兩個正方形的面積分別為64和49,則AC等于（）

BC

A.15B.17C.23D.113

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB、BD、Z）C的長，再根據(jù)勾股定理求出AC的長即可.

解：?.?兩個正方形的面積分別是64和49,

：.AB=BD=S,OC=7,

根據(jù)勾股定理得：AC=7AB2+BC2=17-

故選:B.

【點評】本題考查了勾股定理，求出AB、BC的長并熟悉勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在等邊△4BC中，A。、CE是AABC的兩條中線，AD=5,P是A￡＞上一個動點,

則P8+PE最小值的是（)

A.2.5B.5C.7.5D.10

【分析】如圖連接PC,只要證明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PCNCE,

推出尸、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為A。的長度.

解：如圖連接PC,

"：AB=AC,BD=CD,

：.AD±BC,

：.PB=PC,

：.PB+PE=PC+PE,

■:PE+PC>CE,

,P、C、E共線時，PB+PE的值最小,

最小值為CE的長度，即為AO的長為5.

故選：B.

【點評】本題考查軸對稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.如圖，已知Rt^ABC中，NC=90°,NA=30°,在直線BC或AC上取一點P,使得

△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有（）

B.6個C.7個D.8個

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，結(jié)合圖形即可得到結(jié)論.

解：如圖，第1個點在。延長線上，取一點P,使BA=AP；

第2個點在CB延長線上，取一點P,使

第3個點在4c延長線上，取一點P,使AB=P8；

第4個點在8c延長線上，取一點尸，使A8=PA；

第5個點在AC延長線上，取一點P,使AB=AP；

第6個點在AC上，取一點P,使=

符合條件的點尸有6個點.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定來解決實際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合

實際條件的圖形，再利用數(shù)學知識來求解.

10.已知：如圖，ZXABC中，80為aABC的角平分線，且8Z）=8C,E為3。延長線上的

一點，BE=BA,過E作ERLA8,尸為垂足.下列結(jié)論：①△ABOg^EBC；②NBCE+

ZBCD=180°；?AD=AE=EC^?BA+BC=2BF.其中正確的是（）

E

D

A.①②③B.①③④C.①?@D.①②③④

【分析】易證可得/8CE=NBD4,4Z)=EC可得①②正確，再根據(jù)角

平分線的性質(zhì)可求得ND4E=NOCE,即③正確，根據(jù)③可求得④正確.

解：

①;B。為△ABC的角平分線，.?./ABO=/CB￡>,

'BD=BC

...在△AB。和△EBC中，，ZABD=ZCBD-

BE=BA

...△48。絲△EBC(SAS)，…①正確；

②為△ABC的角平分線，BD=BC,BE=BA,

：.NBCD=NBDC=ZBAE^乙BEN,

'：/\ABD^/^EBC,：.NBCE=NBDA,

：.ZBCE+ZBCD=ZBDA+ZBDC=\SO°,…②正確；

③?.,/BCE=NBQA,NBCE=NBCD+NDCE,NBDA=NDAE+/BEA,NBCD=N

BEA,

：.NDCE=NDAE,

...△ACE為等腰三角形，

.\AE=EC,

■:△ABDQ/XEBC,

:?AD=EC,

?,.AO=AE=EC???③正確；

④過E作EGLBC于G點，

是NABC的角平分線2。上的點，且EF_LA8,

:.EF=EG(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)，

BE=BE

?.,在RtAB￡G和RtABEF中,

EF=EG'

：.Rt/\BEG^Rt/\BEF(HL),

：.BG=BF,

EF=EG

在Rt/XCEG和RtA^FE中,

AE=CE(

/.RtAC￡G^RtAA￡F(HL),

：.AF=CG,

：.BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF.…④正確.

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性

質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

11.在等腰三角形A8C中，ZA=120°,則N8=30°

【分析】題中沒有指明這個角是底角還是頂角，故應(yīng)該分兩種情況時行分析，從而求解.

解：當/A是頂角時，/B=(180。-120°)+2=30。；

當/A是底角時，則另一個底角也是120°,因為120°+120°>180°,所以不符合三

角形內(nèi)角和定理，故舍去;

故答案為：30。.

【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用.

12.已知△A8C的三邊長分別為6、8、10,則最長邊上的中線長為5.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到這個三角形是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

計算即可.

解:???62+82=100,

102=100,

.,.62+82=102,

這個三角形是直角三角形，

最長邊上的中線長為5,

故答案為：5.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握直角三角形

中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

13.在直角^ABC中，ZC=90°,平分/8AC交BC于點。，若C￡)=4,則點。到斜

邊A3的距離為4.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，解答出即可；

解：如右圖，過。點作DELAB于點E,則。E即為所求,

VZC=90°,平分/BAC交8c于點￡),

：.CD=DE(角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等)，

VC￡>=4,

：.DE=4.

故答案為：4.

【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

14.如圖，△4BC中，CDJ_A8于。，AC=BC,E是AC的中點.若A￡>=12,DE=10,

R

【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD=BD=U,即。為A8的中點，則判斷DE

為△ABC的中位線，則BC=2DE=20,然后利用勾股定理計算CD的長.

解：?；AC=BC,CDLAB,

.\AD^BD=\2,即。為A8的中點，

YE是AC的中點，

.?.DE為aABC的中位線，

：.DE^—BC,

2

:.BC=2DE=20,

22

在RtZiBCQ中，CD=VBC-BD=V202-122=16.

故答案為：16.

【點評】本題考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三

邊的一半.也考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理.

15.如圖，把一個長方形的紙片沿E尸折疊后，點。、C分別落在點M、N的位置，如果/

【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得再根據(jù)翻折的性質(zhì)和平角

等于180°列式計算即可得解.

解：?.,矩形對邊AO〃BC,

；.NDEF=NEFB=65°,

?.?沿EF折疊后，點。、C分別落在點M、N的位置，

NDEF=NMEF,

：.ZAEM=\S00-65°X2=50°.

故答案為：50。.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，線段A8、8c的垂直平分線/i、/2相交于點。，若N1=39°,則N4OC=78°

H

【分析】解法一：連接80,并延長80到P,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得40=。8

=。（：和/8。0=/3￡。=90。，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。得N￡?0E+/ABC=180。，

根據(jù)外角的性質(zhì)得NAOP=/A+/A8O,NCOP=NC+NOBC,相加可得結(jié)論.

解法二：連接08,同理得AO=OB=OC,由等腰三角形三線合一得NA0D=N80。，

ZBOE=ZCOE,由平角的定義得/800+/8。后=141。，最后由周角的定義可得結(jié)

論.

解：解法一：連接80,并延長80到P,

?.?線段AB、BC的垂直平分線/卜/2相交于點0,

：.AO=OB=OC,NBDO=NBEO=90°,

：.ZDOE+ZABC=180°,

VZDOE+Z1=180°,

.../42C=/1=39°,

'：OA=OB=OC,

：.ZA=ZABO,ZOBC=ZC,

'：ZAOP^ZA+ZABO,ZCOP^ZC+ZOBC,

：.ZAOC^ZAOP+ZCOP^ZA+ZABC+ZC=2X39°=78°；

解法二：

連接OB,

???線段A3、3c的垂直平分線八、/2相交于點。，

.\AO=OB=OC,

：.ZAOD=/BOD,NBOE=乙COE,

VZDOE+Z1=180°,Zl=39°,

AZDOE=141°,即N30Z)+NB0E=141。,

AZAOD+ZCOE=141°,

???NAOC=360°-(NBOD+NBOE)-(NAOO+NCOE)=78°；

故答案為：78。.

【點評】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性

質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

17.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如下圖所

示的‘‘趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)

直角三角形較長直角邊長為“，較短直角邊長為b,若(〃+/2=21,大正方形的面積為

13,則小正方形的面積為5.

【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積-4個直角三角形的面積，利

用已知("+b)2=21,大正方形的面積為13,可以得出直角三角形的面積，進而求出答

案.

解：如圖所示：

'/(。+6)2=21,

".a2+2ab+b2=2l,

?.?大正方形的面積為13,

2ab=2\-13=8,

二小正方形的面積為13-8=5,

【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

18.如圖，RtZ\ABC中，/ACB=90。，NABC=30。，AC=6,。是線段AB上一個動點，

以BD為邊在△ABC外作等邊若尸是OE的中點，當C尸取最小值時，ABDE

的周長為18.

【分析】連接BF,過點C作交BF的延長線于H,由等邊三角形的性質(zhì)可知

NABF=30°,則點尸在射線BF上運動，當點F與點，重合時，CF最小，從而解決問

題.

解：連接8凡過點C作CHLBF.交8尸的延長線于H,

是等邊三角形，點F是OE的中點,

，/ABF=30°,

.?.點F在射線8F上運動，

當點尸與點H重合時，CF最小，

VZACB=90°，ZABC=30°,

AZA=60°，AB=2AC=12,

'：ZABF=30°,

AZBD'H=ZAD'C=60°,

.?.△AC。是等邊三角形，

：.AD'=AC=6,

：.BD'=AB-AD'=\2-6=6,

的周長為：18,

故答案為：18.

【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識，確定點尸的運

動路徑是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題有8小題，共66分）

19.已知：如圖，點E、F在線段8。上，BE=DF,AB//CD,/A=NC.

求證：AB^CD.

【分析】利用AAS證明△ABF也△(?￡)￡即可解決問題.

【解答】證明：?；8E=￡>F,

：.BE+EF=DF+EF,

：.BF=DE,

,JAB//CD,

,NB=ND,

在△AB尸和△(?￡>￡：中，

'NA=NC

<ZB=ZD?

BF=DE

/.AABF^ACDE(AAS),

：.AB=CD.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到aAB尸絲△COE.

20.如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1.

（1）畫出△ABC關(guān)于直線/對稱的圖形△ABC”

（2）在直線/上找一點P,使PB=PC；（要求在直線/上標出點P的位置）

（3）連接PA、PC,計算四邊形PABC的面積.

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于直線/的對稱點4、Bi、G的位置，

然后順次連接即可；

（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，過BC中點D作DPJ_8C交直線

/于點尸，點P即為所求；

（3）根據(jù)S四邊杉PA8C=SAA8C+SZMPC歹！］式計.算即可得解.

解：（1）△Ai3iG如圖所不；

（2）如圖所示，過BC中點。作。尸，BC交直線/于點P,此時PB=PC；

【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等

的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在Rt/XABC中，NB=90°,分別以點A、C為圓心，大于aAC長為半徑畫弧,

兩弧相交于點M、N,連接與AC、BC分別交于點。、E,連接AE.

（1）按要求作出草圖，并求/ADE=90。：（直接寫出結(jié)果）

（2）當48=3,AC=5時，求aABE的周長.

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形；根據(jù)題意可知MN是線段4c的垂直平分線，由此可

得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)勾股定理求出3c的長，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解：（1）如圖所示.

?.?由題意可知MN是線段AC的垂直平分線，

:.NADE=90°.

故答案是：90。；

(2)是線段AC的中垂線，

：.EA=EC,

在RtAABC中，BC=hc2TB2=^52-32=4，

/.C^ABE^AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4^1.

【點評】本題考查的是作圖-基本作圖，勾股定理，熟知垂直平分線上任意一點，到線

段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.

22.如圖，△4BC中，AD是高，E、尸分別是AB、AC的中點.

（1）若48=10,AC=8,求四邊形AEE（尸的周長；

（2）EF與A。有怎樣的位置關(guān)系？請證明你的結(jié)論.

【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)計算；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到E、F在線段的垂直平分線上，得到答案.

解：（1）???￡、F分別是A3、AC的中點，

：.AE=—AB=5,AF=2AC=4,

22

?.?A。是高，E、F分別是AB、AC的中點，

：.DE=—AB=5,DF^—AC^4,

22

四邊形AEDF的周長=AE+E￡>+OF+FA=18；

（2）E尸垂直平分AO.

證明：是ABC的高，

.?./AQB=NAOC=90°,

是A8的中點，

：.DE=AE,

同理：DF^AF,

：.E,F在線段AO的垂直平分線上，

垂直平分AO.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、線段垂直平分線的判定，掌握三角形的中位

線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，四邊形ABCC中，AB=20,BC=15,CQ=7,AD=24,ZB=90°.

（1）判斷/￡>是否是直角，并說明理由.

（2）求四邊形ABC。的面積.

B

【分析】（1）連接AC,根據(jù)勾股定理可知A^=8A2+8C2,再根據(jù)ACuOAZ+nc?即可

得出結(jié)論；

（2）根據(jù)S四邊柩ABCD=SAABC+SAADC即可得出結(jié)論.

解：（1）NO是直角.

理由：連接AC,

VZB=90°,

：.AC2=BA2+BC2=^400+225=625,

DA2+CD2=242+72=625,

.?.AC^^DA^DC2,

.?.△4￡>C是直角三角形，即/￡>是直角；

（2）四邊形ABCD=SZXABC+SAADC,

?"?SmiliKABCD=—AB-BC+—AD'CD

22

=—X20X15+—X24X7

22

=234.

【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長。，b,c滿足/

=cV那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

24.定義：如圖，等腰AABC中，點E,F分別在腰AB,AC±,連結(jié)EF,若AE=CF,

則稱EF為該等腰三角形的逆等線.

(1)如圖1,所是等腰AABC的逆等線，EFVAB,AB=AC=8,AE=3,求逆等線

EF的長；

(2)如圖2,若直角三角形△￡>￡/的直角頂點。恰好為等腰直角△ABC底邊8c上的中

點，且點E,尸分別在A8,4c上，求證：EF為等腰4ABC的逆等線.

【分析】(1)由等腰三角形的逆等線的定義可得CF=AE=3,由勾股定理可求解;

(2)由“ASA”可證△ED4Z△尸力C,可得AE=C/，可得結(jié)論.

【解答】(1)解：尸是等腰△ABC的逆等線，

：.CF=AE^3,

又：A8=AC=8,

：.AF=5,

'：EFLAB,

￡F=VAF2-AE2=V25-9=4；

(2)證明：連接A。，

在等腰Rt^ABC中，點。為底邊上中點，

：.AD=CD,ZADC=90°,ZBAD=ZC=45°

又,.,N￡DF=90°,

ZEDA=900-ZADF=NFDC,

在△EDA和△FQC中，

'NBAD=/C

<AD=CD，

ZADE=ZCDF

：./\EDA^/\FDC(ASA),

：.AE=CF,

：.EF為等腰△ABC的逆等線.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理

解等腰三角形的逆等線定義是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，ZVIBC中，乙4cB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若點P從點A出發(fā)，以每秒

2cm的速度沿折線4-8-C-A運動，設(shè)運動時間為/秒(/>0).

(1)若點P在上且滿足PA=PB,則此時f=.

(2)若點P恰好在/ABC的角平分線上，求此時f的值；

(3)在點P運動過程中，若尸為等腰三角形，則此時f=2或盤或2或3.

-4—2-5-------

【分析】(1)設(shè)PB=PA=x,貝iJPC=4-x,在RtZVICP中，依據(jù)AG+PCZMAP?,列

方程求解即可得到f的值.

(2)設(shè)PO=PC=y,則AP=3-y,在RtZ\AOP中，依據(jù)4￡>2+p￡)2=4p2,列方程求解

即可得到，的值.

(3)分四種情況：當尸在AB上且AP=CP時，當P在AB上且AP=CA=3時，當尸

在AB上且AC=PC時，當尸在BC上且AC=PC=3時，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即

可得到/的值.

解：(1)如圖，設(shè)PB=PA=x,貝iJPC=4-x,

.\AC=3cm,

222

在RtZ\ACP中，AC+PC=AP9

32+(4-%)

解得X=--,

8

8

25

,,_AB+BP_5^_65

??i--------x-------.

216

故答案為：黑.

16

(2)如圖，過P作P￡?，AB于。,

??,3尸平分NA3CZC=90°,

：.PD=PC,BC=BD=4,

???AO=5-4=1,

設(shè)PD=PC=y,則AP=3-y,

222

在Rt/XADP中，AD+PD=APf

：.l2+f=(3-y)2,

解得產(chǎn)4，

o

4

._AB+BC<P-5+4+v-31

??if~0~，

26

當點尸與點8重合時，點P也在/ABC的角平分線上，

此時，胃學=堤.

22

綜上所述，點尸恰好在/A8C的角平分線上，f的值為雪或號.

62

（3）分四種情況：

①如圖，當P在48上且AP=CP時,

N

NA=NACP,而NA+NB=90°,ZACP+ZBCP=90°,

???NB=/BCP,

:?CP=BP,

1R

???P是AB的中點，即AP=$B=?|,

?,AP5

24

②如圖，當尸在48上且AP=CA=3時，

22

_AC>BC_12

③如圖，當P在AB上