微分幾何26曲面上的測地線課件

第六節(jié)曲面上的測地線平面上的直線（1）任一點(diǎn)的切向量平行；（2）曲率為0；（3）直線段是連接點(diǎn)與點(diǎn)之間的最短線段。曲面上的測地線相當(dāng)于平面上的直線。6.1曲面上曲線的測地曲率一、測地曲率的定義給定曲面S：（c）是曲面上的一曲線：在曲線上一點(diǎn)P令，則是兩兩正交的單位向量且成右手系，P點(diǎn)的法面上。定義：曲線（c）在P點(diǎn)的曲率向量上的投影（即在S上P點(diǎn)的切平面上的投影）稱為曲線在P點(diǎn)的測地曲率。二、性質(zhì)命題1：證明：注意：都在P點(diǎn)的法面上。推論：曲面上的直線的測地曲率為0。這是因為曲面上的直線在任一點(diǎn)的切平面上的投影還是直線，所以曲率為0。習(xí)題3。三、測地曲率的計算公式下面給出一個簡單一點(diǎn)的形式。設(shè)曲線的切方向與u-線所成的角為，則同理代入前面的kg的計算公式可得這個公式稱為劉維爾(liouville)公式。也可寫為其中分別為u線和v線的測地曲率。事實上，對于u線和v線來說，分別有，代入測地曲率的計算公式有6、2曲面上的測地線一、定義：曲面上的一條曲線，如果它的每一點(diǎn)處的測地曲率為0，則稱為測地線。二、性質(zhì)1）如果曲面上有直線，則必為測地線。2）命題3：曲面上非直線的曲線是測地線的充要條件是，除了曲率為0的點(diǎn)外，曲線的主法線重合于曲面的法線。證明：設(shè)曲線（c）為測地線（不是直線），則但即，所以主法線重合于法線。反之，若主法線重合于法線，則，得

所以曲線是測地線。三、測地線的方程設(shè)（C）為測地線，則它的主法線重合于法線，即但又g=det(gkl)不為0，于是得到測地線方程為特別地，當(dāng)坐標(biāo)曲線正交時，由劉維爾公式也得到曲面上測地線的微分方程為若給出了初始條件：則有唯一解例題1，2。四、定理：過曲面上任一點(diǎn)，給定曲面上一個切方向，則存在唯一一條測地線切于此方向。證明：設(shè)測地線方程為滿足上述方程的曲線都是測地線，給出了初始條件：s=s0

，即一個點(diǎn)和一個切方向由常微分方程理論，方程組有唯一解，即存在唯一一條測地線（C）：過已知點(diǎn)并切于定方向。首先，由于半測地坐標(biāo)網(wǎng)是正交的，所以F=0，半測地坐標(biāo)網(wǎng)中有一簇坐標(biāo)曲線是測地線，不妨設(shè)為u線，dv=0,即，它滿足測地線微分方程但由P165，當(dāng)坐標(biāo)曲線正交時，即E與v無關(guān)，只與u有關(guān)，可設(shè)在曲面上引進(jìn)新參數(shù)從而第一基本形式變?yōu)?.4曲面上測地線的短程性定理2：若給出曲面上充分小的鄰域內(nèi)的兩點(diǎn)P、Q則過這兩點(diǎn)在小鄰域內(nèi)的測地線是連結(jié)這兩點(diǎn)的曲面上的曲線中弧長最短的曲線。證明：設(shè)（C）是曲面上連結(jié)P，Q的一條測地線，在曲面上選取半測地坐標(biāo)網(wǎng)，使曲面上包含（C）在內(nèi)的一測地線族為u-線，它的正交軌線為v-線，于是曲面的第一基本形式為不妨設(shè)曲線（C）的方程為v=0，P和Q的坐標(biāo)分別為(u1,0).(u2,0)(u1<u2)，于是沿測地線（C）由P到Q的弧長為又在這個小鄰域內(nèi)連結(jié)P和Q的任意曲線的方程為v=v(u)，于是沿，從P到Q的弧長為只有當(dāng)時，上式等號才成立，但此時v為常數(shù)，即為u-線，而且是過P，Q的u-線，即（C），表示此時重合，所以（C）是連結(jié)P，Q的最短線。（C）由這個定理，我們又稱測地線為短程線。注意：定理若不是限制在一個小鄰域內(nèi)則不一定成立。如球面上的大園是測地線，所以球面上不是直徑兩端的兩點(diǎn)，連結(jié)它們的大園弧有兩段，顯然長的不是連結(jié)它們兩點(diǎn)的最短線，而短的是。引理：若在曲面上引進(jìn)半測地坐標(biāo)網(wǎng)，有則證明：由于坐標(biāo)網(wǎng)正交，F(xiàn)=0，由劉維爾公式定理證明：在曲面上引進(jìn)半測地坐網(wǎng)并由引理得兩邊沿邊緣積分對第二個積分用格林公式令又面積元素并由第五節(jié)習(xí)題6（5）（P144）知因此第二個積分為對于（*）式中的第三個積分，可設(shè)的切向量和u-線所成的角為，且由于，所以為單位向量，其中正負(fù)號的產(chǎn)生是由沿邊界積分時有兩種不同的方向，如果我們采用逆時針方向時，可只取正號，即這時第三個積分變?yōu)椋?）式變?yōu)槠渲斜硎救切蔚膬?nèi)角和。故當(dāng)特別地，當(dāng)曲面為平面，K=0，多邊形的邊界為直線（平面上的測地線）所組成時，得到平面上的多邊形的外角和公式為推論2：如果是一個測地三角形，即三條邊由三條測地線組成的三角形，則有對于平面上的三角形有即三角形內(nèi)角和為6.6曲面上向量的平行移動在前面我們看到曲面上的測地線相當(dāng)于平面上的直線，這里簡單對比一下：平面直線1）曲率為0；2）兩點(diǎn)間最短距離是直線段；3）給定一個方向和一點(diǎn)決定一條直線；曲面上的測地線1）測地曲率為0；2）兩點(diǎn)間（小范圍）最短距離是測地線；3）給定一個方向和一點(diǎn)決定一條測地線；但直線還有一個性質(zhì)就是直線上任一點(diǎn)處的切向量都是平行的，這個性質(zhì)是否也可以推廣到測地線上去呢？另一個問題是，歐氏空間中的平移具有兩條基本的性質(zhì)：保持線性關(guān)系和保持內(nèi)積，我們希望曲面上的平移至少保持兩個性質(zhì)。這一節(jié)就討論這個問題。當(dāng)時，表示向量從點(diǎn)M沿（C）的方向移動到點(diǎn)時，微分沿法線的方向，換言之，把向量投影到點(diǎn)M的切平面時，我們得到向量，這時稱向量是向量從M點(diǎn)沿（C）的方向到鄰近點(diǎn)經(jīng)過平行移動而得到的向量。這樣定義的平移概念與所取的曲線有關(guān)，因此與稱為沿曲線在勒維—基維塔意義下的平行向量，即稱向量與沿曲線是勒維—基維塔平行移動。特別地，在平面上向量的勒維—基維塔平行移動和通常意義下的平移一致，這是由于在平面上，所以勒維—基維塔平行移動是平面上通常平移在曲面上的推廣。3、絕對微分及平行移動的分析表達(dá)式沿曲線（C）上的每個點(diǎn)，由于為切向量，在這個切平面上，以為基向量建立坐標(biāo)系，并設(shè)的坐標(biāo)為由于從式中可看出，只要在上面的式子中去掉法線分量就得到，如果它的坐標(biāo)用來表示，則這就是絕對微分的表達(dá)式。特別地，若向量作平行移動，則，即從而得到向量由點(diǎn)M沿方向作平行移動到鄰近一點(diǎn)的分析表達(dá)式：即在平移下，的坐標(biāo)微分可用坐標(biāo)微分來表達(dá)。4、絕對微分的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)是沿曲線（C）的向量場，f是定義在（C）上的數(shù)量函數(shù)，則有證明：（1）（2）直接驗證。二、平行移動的性質(zhì)對于歐氏平面上的平行移動，它(1)保持向量的長度和角度不變，(2)直線上的切向量都是平行的。下面說明曲面上的平移也具有這兩個性質(zhì)。1、levi-civita平移保持兩個向量的內(nèi)積不變，因而保持向量的長度和夾角不變。證明：設(shè)是由曲面S上沿曲線（C）的平行的向量場，則有這說明levi-civita平移保持內(nèi)積不變。由于向量的長度與夾角都是由內(nèi)積所定義的，故也保持向量的長度和夾角不變。2、曲線（C）為測地線的充要條件是它的切向量在levi-civita平行移動的意義下沿（C）是相互平行的。證明：設(shè)（C）：，s為自