平面向量多選題及解析

平面向量多選題(講義及答案)及解析一、平面向量多選題1.下列條件中，使點(diǎn)P與A,B,C三點(diǎn)一定共面的是()A.PC=1PA+-PBB.OP=-OA+10B+10C33333C.QP=QA+QB+OCD.0P+0A+0B+0C=0［答案】AB一一一一一一【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件，若A,B,C,P四點(diǎn)共正———————oPC=xPA+yPB(x+y=1)。0P=x0A+y0B+z0C(x+y+z=1)，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，即可得到答案.［詳解】一一一一=1212<對(duì)于A,由PC=—PAPB，-+—=L所以點(diǎn)P與A,B,C三點(diǎn)共面.對(duì)于B,由0P=-0A+-0B+-0C，—+^+^=L所以點(diǎn)P與A,B,C三點(diǎn)共面.對(duì)于C,由0P=0A+0B+0C,1+1+1=3壬1,所以點(diǎn)P與A,B,C三點(diǎn)不共面.對(duì)于D,由0P+0A+0B+0C=0十得0P=-0A-0B-0C，而T-1-1=一3豐1,所以點(diǎn)P與A,B,C三點(diǎn)不共面.故選：AB一一一一【點(diǎn)睛】一一一一一一一一一關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查四點(diǎn)共面的條件，解題的關(guān)鍵是熟悉四點(diǎn)A,B,C,P共面的充要條件oPC=xPA+yPB(x+y=1)o0P=x0A+y0B+z0C(x+y+z=1),考查學(xué)生的推理能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.2.如圖所示，設(shè)0x,Oy是平面內(nèi)相交成e［°主;］角的兩條數(shù)軸，ek2x,y軸正方向同向的單位向量，則稱(chēng)平面坐標(biāo)系xOy為0反射坐標(biāo)系中，0M=xe+ye,則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量0M的反射坐標(biāo)，記為OM=(x,y)在0=學(xué)的反射坐標(biāo)系中，a=(1,2),b=(2,-1).則下列結(jié)論中，正確的是()C.a±bD.a在b上的投影為—￥【答案】AD【分析La—b=—e+3e，貝。a一b=(—1,3)，故a正確;12=顯，故B錯(cuò)誤；a-b=-3，故3_C錯(cuò)誤；由于a在b上的投影為U=-2=—空7，故D正確.——-一一一時(shí)偵714一【詳解—)1)—a—b=v+&)-ve—e)=-e+3e，則a一b=（-1，3），故A正確;a2兀：—5+4cos—=13，3—?—???,,故B錯(cuò)誤;a-b=(e+2e)-(2e—e)=2e2+3e-e212112-2%2=-:,故C錯(cuò)誤;13_=頊，故a在b上的投影為驊=-2=—立，故D正確。一一一一|b714故選：AD【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的計(jì)算，考查向量的投影的計(jì)算，考查向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3.已知M為ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（）A.AD=1AB+1ACB.MA+MB+MC=022

△CBM=-BA+-BDDCM=-CA+-CD3333【答案】ABD【分析】_一一根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則依次討論即可的答案.一一一【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得M為AD三等分點(diǎn)靠近D點(diǎn)的點(diǎn).對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則易得AD=1AB+1AC，故A正確;對(duì)于B選項(xiàng)，MB+MC=2MD，由于M為AD三等分點(diǎn)靠近D點(diǎn)的點(diǎn)，MA=—2MD，所以MA+MB+MC=0，故正確一———?對(duì)于C選項(xiàng)，BM=BA+2AD=BA+2(BD-BA)=|BA+2BD，故C錯(cuò)誤；對(duì)于d選項(xiàng)，CM=CA^2AD=CA+-(CD-CA)=1CA+2CD，故d正確.3333故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查向量加法與減法的運(yùn)算法則，是基礎(chǔ)題.4.ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a、b滿足AB=a、AC=a+b，則下列結(jié)論正確的是()A.b=2B.a1bC.a-b=2D.(2a+b)1BC——?—?——【答案】AD【分析】—>—>本題首先可以根據(jù)向量的減法得出BC=b，然后根據(jù)ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三示得出A正確以及B錯(cuò)誤，再然后根據(jù)向量a、b之間的夾角為120計(jì)算出a?b=-2，C錯(cuò)誤，最后通過(guò)計(jì)算得出(2a+b)?BC=0，D正確.△?―?【詳解】因?yàn)锳B=a,AC—a+b，所以BC=AC—AB=a+b—a=b,因?yàn)锳BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以b—BC—2,a正確，因?yàn)锳B—a，BC—b，一一一一____所以向量a、b之間的夾角為120,B錯(cuò)誤，―??……。"1\―所以a■b—_g?b±c°s120一2x2x――一一2，c錯(cuò)誤，k2Jo因?yàn)?2a+b)-一BC一(2a+b)-b=2a-b+b2=2x(—2)+22-0，所以(2a+b)±b，d正確，故選：AD.—?—??―?―?―?―?―?―?【點(diǎn)睛】本題考香麗的減法運(yùn)算以及向量的數(shù)量積，若向量a、b之間的夾角為。，貝a-b一|a|?|b|-cos0，若a?b-0，則a±b，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題.5.若平面向量a,b,c兩兩夾角相等，a,b為單位向量，c-2，則a+b+c-()―?—?A.1B.2C.3D.4【答案】AD一—>—?—?—?—?—?—?—>【分析】由平面向量a,b,c兩兩夾角相等可知，夾角為0?；?20。.分兩種情況對(duì)三個(gè)向量的和的模長(zhǎng)進(jìn)行討論，算出結(jié)果.【詳解】平面向量a,b,c兩兩夾角相等，二兩兩向量所成的角是0?；?20。.當(dāng)夾角為0。時(shí)，a,b,c同向共線，貝ga+b+c=4；當(dāng)夾角為120。時(shí)，a+b=1，且a+b與c反向共線，又c=2,a+b+c—1.故選:AD.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量共線的性質(zhì)，平面向量的模的求法，考查了分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題.6.已知a,b是單位向量，且a+b—(1,-1)，則()A.Ia+bI=2B.a與b垂直丸C.a與a-b的夾角為彳一一D.Ia一bI=1TOC\o"1-5"\h\z【答案】云--【分析】一一__a+b=(1,-1)兩邊平方求出Ia+bI-克；利用單位向量模長(zhǎng)為1,求出a-b—0；Ia-bI平方可求模長(zhǎng)；用向量夾角的余弦值公式可求a與a-b的夾角.【詳解】__—?—?由a+b=(1,-1)兩邊平方，得IaI2+1bI2+2a-b=12+(-1)2—2,—>—>—?—?—?則Ia+bI=t2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閍,b是單位向量，所以1+1+2a-b=2，得a-b=0，所以B選項(xiàng)正確；貝Ia-bI2=a2+b2-2a-b=2，所以Ia-bI-提，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；TOC\o"1-5"\h\z/一一八a-(a-b)a2-a-b1<2cos〈a,a-b〉=—^"==^^，IaIIa-bI1x%：2<22ii——丸所以，a與a-b的夾角為丁所以C選項(xiàng)正確；4——?—?—?故選：BC.---【點(diǎn)睛】一一本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.求向量模的常用方法：⑴若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|F2+y2.⑵若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式a2=a2=aa或IabI2—(ab)2=a22a?b+b2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求±±±解.一_----判斷兩向量垂直：根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可._ab_xx+yy解兩個(gè)非零向量之間的夾角：根據(jù)公式%定Kbb=fL求解出這兩個(gè)abJx2+y2?/x2y2V11*2+2向量夾角的余弦值.7.已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(3,7),B(4,6),C(1,-2).則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(0,-1)B.(6,15)C.(2,-3)D.(2,3)【答案】ABC【分析】設(shè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A(3,7),B(4,6),C(1,-2),D(x,y)，分類(lèi)討論D點(diǎn)在平行四邊形的位置有：AD=BC,AD=CB,AB=CD，將向量用坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】第四個(gè)頂點(diǎn)為D(x,y),當(dāng)ad=bc時(shí)，(x—3,y-7)=(-3,-8),解得x=0,y=-1，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1)；當(dāng)AD=CB時(shí)，(x-3,y-7)=(3,8)，解得x=6,y=15，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,15)；當(dāng)AB=CD時(shí)，(1,-1)=(x-1,y+2)，解得x=2,y=-3，此時(shí)第四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3).「.第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1)或(6,15)或(2,-3).故選ABC一【點(diǎn)睛】本題考查利用向量關(guān)系求平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題8.對(duì)于菱形ABCD，給出下列各式，其中結(jié)論正確的為（）A.AB=BCB.|AB=BCC.AB-CD=AD+BCD.AD+CD=CD-CB［答案】皿-【分析】由向量的加法減法法則及菱形的幾何性質(zhì)即可求解【詳解】菱形中向量AB與BC的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以B結(jié)論正確，A結(jié)論錯(cuò)誤；因?yàn)閨ab-c^=|ab+dc|=2|ab|，|ad+bc|=2|bc|，且|ab|=|bc所以AB-CD=AD+BC，即c結(jié)論正確；因?yàn)锳D+CD=BC+CD=BD,CD-CB|=ICD+BC1=1BDI，所以d結(jié)論正確.故選:-B€D—>—>—>—>【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量加法、審法的運(yùn)算，菱形的性質(zhì)，屬于中檔題二、立體幾何多選題9.已知圖1中，A、B、C、D是正方形EFGH各邊的中點(diǎn)，分別沿著AB、BC、CD、da把ABF、BCG、ACDH、△DAE向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面ABCD垂直，再順次連接EFGH，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則（）HAEF是正三角形平面AEF1平面CGH直線CG與平面AEF所成角的正切值為<2△_8當(dāng)AB=2時(shí)，多面體ABCD-EFGH的體積為3【答案】AC【分析】取CD、AB的中點(diǎn)O、M，連接OH、OM，證明出OH1平面ABCD，然后以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM、OC、OH所在直線分別為工、y、乙軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出|EFI，可判斷A選項(xiàng)的正誤，利用空間向量法可判斷BC選項(xiàng)的正誤，利用幾何體的體積公式可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】取CD、AB的中點(diǎn)O、M，連接OH、OM，在圖1中，A、B、C、D是正方形EFGH各邊的中點(diǎn)，貝UCH=1GH=1EH=DH,22，??O為CD的中點(diǎn)，.??OH1CD，

二?平面CDH1.平面ABCD,平面CQH平面ABCD=CD,OHu平面CDH,:.OHl^^ABCD,n在圖1中，設(shè)正方形EHGH的邊長(zhǎng)為2很'q（q>0）,可得四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為2。,在圖1中，AQE和A8F均為等腰直角三角形，可得ZBAF=ZDAE=45,:.ZBAD=90，二四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2q的正方形，。、M分別為CD、A8的中點(diǎn)，貝\\OC//BMROC=BMfHZOCB=90,△△所以，四邊形OCBM為矩形，所以，OMLCD,。以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM、OC、OH所在直線分別為'、》、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2q,-q,0）、8（2q,i,0）、。（0,。,0）、￡）（0,-。,0）、￡*（。,一。,1）、”（2q,0,i）、G（q,q,q）、H（0,0,a\對(duì)于A選項(xiàng)，由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可^\AE\=\AF\=\EF\=^2a,所以，AEF是正三角形，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面AE"的法向量為m=G,y,z）,AE=（-a,0,^）,111AF=（p,Q,Q）,七=T,則m=（1-1,1）,m?AE=七=T,則m=（1-1,1）,E11八，取Q=1，則叫T，TOC\o"1-5"\h\zm?AF-ay+az=011二ii設(shè)平面CGH的法向量為n=（x,y,z）,CG={afi,a）,CH=（0,-q,i）,_222廣——>n-C&=ax+az=0、/\八口22取z=—1,可得七=1,匕=T，則〃="22_..“〃土"lxl?0,所以，平面AEE與平面CGH不垂直，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;nCH=-ay+az=02222a>/6一ccCG-m對(duì)于C選項(xiàng)，cos<CG,m>=CG|-|m|?■逐設(shè)直線CG與平面AE"所成角為N項(xiàng)ijsinO=普,cos0=Vl-sin20=y,所以’*=澹2,c選項(xiàng)正確;對(duì)于D選項(xiàng)，以ABCD為底面，以|。丑|為高將幾何體ABC。-￡FGH補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD-ABCD,則&、F、G、H分別為Ag、Ag、8￡、的中點(diǎn),因?yàn)锳B=2，即a=1,則OH=1,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V=22x1=4,V=—S-"22_..“〃土"lxl?0,所以，平面AEE與平面CGH不垂直，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;2a>/6一ccCG-m對(duì)于C選項(xiàng)，cos<CG,m>=A-AEF3△A1EF1326因此，多面體ABCD—EFGH的體積為V=V-4V=4-4x^-=^-，ABCD-EFGHA—AEF63D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度龍，從而不必作出c.h、線面角，則線面角6滿足sin0=-（l為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；1/（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)a為直線l的方向向量，乃為平面的法向量，則線面角0的正弦值為sin0=c°s<a,n>.10.如圖所示，正方體ABCD—ABCD的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA，CC'的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB，DD交于點(diǎn)M，N，以下四個(gè)命題中正確的是（）

ABMN-EF=0\mE=Ine四邊形MENF的面積最小值與最大值之比為2:3四棱錐A—MENF與多面體ABCD-EMFN體積之比為1:3【答案】AB廠【分析】證明EF1平面BDDB，進(jìn)而得EF1MN，即可得A選項(xiàng)正確；證明四邊形MENF為菱形即可得B選項(xiàng)正確；由菱形性質(zhì)得四邊形MENF的面積S=1MN-EF，再分別討論MN的最大值與最小值即可；根據(jù)割補(bǔ)法求解體積即可.AB【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，連接BD,BD,MN.由題易得EF1BD,EF1BB,BDcBB'=B，所以EF1平面BDDB，又MNu平面BDDB，所以EF1MN，因此MN-EF=0，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體性質(zhì)得：平面BCC'B7/平面ADD'A'，平面BCC'B'平面EMFN=MF，平面ADD'A'平面EMFN=EN，所以mf//en