《角平分線》第2課時(shí)示范公開課教案【八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)北師大版】

《角平分線》教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1.證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論.2.角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用.3.在角平分線性質(zhì)定理及判定定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)抽象、類比、分類的數(shù)學(xué)思想.4.經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，增強(qiáng)證明意識(shí)和能力.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論.難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一知識(shí)回顧【復(fù)習(xí)回顧】教師活動(dòng)：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考回答.問題1：角平分線的性質(zhì)定理是什么？預(yù)設(shè)：角平分線性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.幾何語(yǔ)言:如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，則PD=PE.問題2：角平分線的判定定理是什么？預(yù)設(shè)：角平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，并且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.幾何語(yǔ)言：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，則OP平分∠AOB．問題3：三角形的邊的垂直平分線有什么性質(zhì)？三角形三條邊的垂直平分線有什么性質(zhì)？預(yù)設(shè)：三角形的邊的垂直平分線上的點(diǎn)到這條邊兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.教師活動(dòng)：進(jìn)一步提出思考問題，三角形的三條角平分線又有什么性質(zhì)呢？回憶學(xué)過(guò)的知識(shí)并回答問題思考并回答問題回憶思考并回答問題通過(guò)復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過(guò)的角平分線相關(guān)知識(shí)，鞏固角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，為新課的探究學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).提出三角形三條邊的垂直平分線，是為了讓學(xué)生類比思考三角形三條角平分線的性質(zhì)，從而引入新課.環(huán)節(jié)二典例探究【典型例題】教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過(guò)程.例2求證：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.分析：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).要想證明三條直線相交于一點(diǎn)，只要能證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.證明前要先將題目轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言，畫出圖形.然后再結(jié)合前面學(xué)到的角平分線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明.求解過(guò)程：已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：點(diǎn)P在∠A的平分線上，且PD＝PE＝PF.證明：∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD＝PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴點(diǎn)P在∠A的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部，并且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上).【歸納】教師活動(dòng)：根據(jù)上面例題的解決過(guò)程，和學(xué)生一起總結(jié)歸納三角形三條角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)，簡(jiǎn)單介紹三角形的內(nèi)心.三角形內(nèi)心三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等.應(yīng)用:三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等是三角形的一個(gè)重要特征，該交點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線形成三個(gè)等高的小三角形，利用三個(gè)小三角形的面積之和等于原三角形的面積，求角平分線交點(diǎn)到三邊距離或者求三角形的面積，體現(xiàn)等面積法的運(yùn)用【應(yīng)用問題】如圖，三條公路把A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在哪里？與同伴交流討論一下.預(yù)設(shè)：集貿(mào)市場(chǎng)Q應(yīng)該建在三條線段AB，AC，BC對(duì)應(yīng)的角平分線的交點(diǎn)處.【典型例題】例3如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.(1)已知CD=，求AC的長(zhǎng)；(2)求證：AB=AC+CD.分析：(1)由已知可知△ABC是等腰直角三角形，可以利用角平分線的性質(zhì)定理及勾股定理求出BD的長(zhǎng)，從而求出BC的長(zhǎng)，即AC的長(zhǎng).(2)利用角平分線的性質(zhì)定理及三角形全等可以證明AC=AE，再通過(guò)證明△BDE為等腰直角三角形可以得到DE=BE，從而證出AB=AC+CD.問題求解：(1)解：∵AD是△ABC的角平分線，∴DE＝CD＝(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC(等邊對(duì)等角).∵∠C＝90°，∴∠B＝(180°－90°)＝45°.∴∠BDE＝90°－45°＝45°.∴BE＝DE(等角對(duì)等邊).在等腰直角三角形BDE中，(勾股定理)∴AC＝BC＝CD＋BD＝.(2)證明：在Rt△ACD和Rt△AED中，∵CD=DE，AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.學(xué)生思考，交流反饋，提出問題并嘗試用自己的方法解決驗(yàn)證學(xué)生嘗試寫出已知和證明，并書寫完整的證明過(guò)程.和老師一起總結(jié)歸納三角形的內(nèi)心性質(zhì)結(jié)合上面的總結(jié)歸納內(nèi)容，思考并解決問題思考，交流反饋，提出問題并嘗試用自己的方法解決并驗(yàn)證嘗試正確書寫解題及證明過(guò)程.通過(guò)解決例題讓學(xué)生理解角平分線性質(zhì)定理及判定定理，注意引導(dǎo)學(xué)生閱讀、理解題意.總結(jié)介紹三角形的內(nèi)心的相關(guān)知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)接圓做鋪墊.總結(jié)歸納角平分線交點(diǎn)可以解決的三角形的相關(guān)內(nèi)容.并通過(guò)一道應(yīng)用問題進(jìn)行說(shuō)明鞏固.本例需要運(yùn)用前面所學(xué)的多個(gè)定理，而且將計(jì)算和證明融合在一起，目的是使讓學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識(shí)和方法，并能綜合運(yùn)用它們解決問題環(huán)節(jié)三方法歸納【歸納】教師結(jié)合上面的例題講授，鼓勵(lì)學(xué)生先自主思考并討論總結(jié)角平分線定理的應(yīng)用場(chǎng)景及內(nèi)容，然后做整體歸納總結(jié)．角平分線性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用：1.角平分線和平行線都可以得出角相等，由角相等可以得出線段相等，進(jìn)而可以進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化，達(dá)到證明線段之間和差倍分關(guān)系的目的．2.角平分線的性質(zhì)是證明邊相等的重要依據(jù)，常與直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理等綜合應(yīng)用，在應(yīng)用中常用到“構(gòu)造法”和“轉(zhuǎn)化思想”.角平分線有關(guān)問題的常見輔助線做法：學(xué)生思考，自主交流反饋，后和老師一起總結(jié)歸納結(jié)合例題學(xué)習(xí)內(nèi)容對(duì)角平分線相關(guān)問題方法的歸納總結(jié)，便于學(xué)生形成一定的方法論.環(huán)節(jié)四鞏固練習(xí)教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.【隨堂練習(xí)】1.在△ABC內(nèi)到三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的()A．三條中線的交點(diǎn)B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)D．以上均不對(duì)2.如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.3.如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：DE＝BD＋CE.4.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD與CE相交于點(diǎn)F，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為點(diǎn)M，N.求證：FE＝FD.答案：1.B2.4：5：63.證明：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB.∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD.同理可證OE＝CE，∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE.4.證明：連接BF，由題意易知BF即為∠ABC的平分線，則FM＝FN，在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAB＝∠BAC＝15°.∴∠FDN＝∠DAB＋∠ABC＝75°，∠FEM＝∠BAC＋∠ACE＝30°＋∠ACB＝30°＋45°＝75°.∴∠FEM＝∠FDN.在△FEM與△FDN中，F(xiàn)M=FN，∴Rt△FEM≌Rt△FDN.∴FE＝FD.自主完成練習(xí)，然后集體交流評(píng)價(jià).通過(guò)課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所