北京理工大學(xué)20172018學(xué)年工數(shù)上期末試題A及標(biāo)準(zhǔn)答案

北京理工大學(xué)20172018學(xué)年第一學(xué)期工科數(shù)學(xué)分析（上）期末試題(A卷)座號(hào)_______班級(jí)_____________學(xué)號(hào)_____________姓名_____________6...總分一、填空（每小題4分，共20分）x21lim()kx1．若，則k.xex11x12．已知lnarctanx,則41x2dydx.yex)x13..)x20sinxdxx24..ycosyyx，則二、計(jì)算題（每小題5分，共20分）115.設(shè).21.求極限lim(sinsin).n3n2nnyxxx22.設(shè)，求.dy2xxx213.計(jì)算.11x21dy4.求cos(xy)的通解.dxlim(xx1ax-b)08分）已知2，試確定常數(shù)和的值.abx1b6分）已知bn()(證明:數(shù)列b極限存在；并求bb1bn12bnnn此極限.8分）求函數(shù)y4(x2的單調(diào)區(qū)間和極值，凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)，漸近線.x28分）設(shè)曲線yx2，y圍成一平面圖形Dx.1/6(1)求平面圖形D的面積；(2)求平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.y8分）設(shè)一長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，線密度為在桿的一端的延長(zhǎng)線上有一質(zhì)量為l,m的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與該端的距離為（1）求細(xì)桿與質(zhì)點(diǎn)間的引力；a.（2）分別求如果將質(zhì)點(diǎn)由距離桿端處移到處(與無窮遠(yuǎn)處時(shí)克服引力所baab做的功.8分）設(shè)()在[上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(ff(0)fx'證明在開區(qū)間(內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f()3.(3)(x)x(xt)ft)()()其中fx連續(xù)，求fx的表達(dá)式.,8分）設(shè)fx0(x))內(nèi)可導(dǎo)，且6分）已知f在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間f，f(5)，f(6)12.))2)成立.ff證明：存在，使)標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2018年1月12日一、填空（每小題4分，共20分）121．2．x21x4()3.xxxxC4.2cos2sin2cosx15.(sincos)yxxcex2二、計(jì)算題（每小題5分，共20分）1121.解：lim(sinsin)x3x2xx112sinsinx21xlim令t1xxx31sintsin(2t)2lim分分分t3t0sint1cost1limtt22t01121limn(sinsin)3n2n2n2/6注：此題也可以用泰勒公式。(e)2xxxx'2.解：分exxxx)2x'x(cosxlnxx)sin2xx分分xdy(x(cosxlnxx)sin2x)dxx因此，.x2x2xx113.解：原式111x2111x2x241分11x2011x)22411x)204411xdx204分分1xy4.解:令u則u1u22代入原方程，得：2uxc分離變量法得：4分5分2xy將u代入上式，xytanxc得通解為：.2xx1axb2lim0三、解:由條件知：得xxxx1112a1-14分6分xxx2xxb(xx1x)2xx1lim()xx1x2x1-112xlim()分x1xx213/61(2bb四、解:)b,bnbb分分n1bn1n1bn1b1b1b))1.n1b2b22bnnb所以數(shù)列單調(diào)遞減有下界，存在.bnnn1bba,b.（舍去）a(aab,a設(shè)則有得2annlimbb.所以，6分nn五、解:定義域0x4x2)8x）y0得20得3，yx.，yx；y2分x31x42列表：x---+26（)9lim(4(x2)2有水平漸近線：2.,yx2xlim(4(x2),有垂直漸近線：x分x2x0六、(0,0),yxy1(xx)dxA分2201分分3xydy1(y)dy1）V24003分10七、解:建立坐標(biāo)系,使細(xì)桿位于區(qū)間[0,]上,質(zhì)點(diǎn)位于處.lalmdx(1)dFG分分(alx)2Gm(alx)2(11l).lFaala(al)0(2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)向右移至距桿端()處時(shí)，細(xì)桿與質(zhì)點(diǎn)間的引力為xxaGml()Fx.x(xl)4/6將質(zhì)點(diǎn)由處移到處與無窮遠(yuǎn)處時(shí)克服引力所做的功分別記作和WaWb.bGmldxx(xl)dWF(x)dxdx,分積分得11bal)(Gml()dxGmln,bF(xdxbdxGmb(al)bWx(xl)xxlala(bl)baaaWlimWlimGmlnGmuln.分a(bl)abbbf''(0)f(3))八、解：由麥克勞林公式,f(x)f(0)f(0)xxx,2分'23''(0)f(3)()f其中在0與之間，從而0f(f(0),1x11''(0)f(3)()f1ff(0)22兩式相減，得))6.f(3)f(3)分12f(3)x()在,](()在,]上必有最小值和最大值,f3x（）mM1212f(3))f(3))從而12M,m分2,](，由介值定理，至少存在一點(diǎn)使得12f(3))f(3))分12f(3))2(x)x(xt)ft)xxft)xt)九、解：fxx000x上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得：fxxe()(x()ftx2分0()(()fxxefxx再對(duì)求導(dǎo)得：x，()fxfxxex()((x)則f滿足初值問題：f4分(0)f(0)1對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：Y(x)CeCexx12設(shè)非齊次方程的特解為：()代入原方程，得：abx2y*xaxbex,131解得：,,(3).aby*x2xex6分4441y(x)CeCe(x23x)exx通解為：x412181由初始條件，得：C,C8.12111所以()(3).fxeex2xe分8xxx884F(x)e(f(x)2x)x十、證明:構(gòu)造輔助函數(shù)2分5/6Fe(f2)eF(