高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算的考點(diǎn)解析及例題輔導(dǎo)

復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

高考要求；

1,了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義.

2,掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算

3,了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想.

知識(shí)點(diǎn)歸納8

1,虛數(shù)單位i：(i)它的平方等于-1,即『=-1;(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行

四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.

2.i與-1的關(guān)系：i就是一1的一個(gè)平方根，即方程x2=-1的一個(gè)根，方程X?=-1的

另一個(gè)根是一i.

3.，的周期性:l4n+1=i,產(chǎn)+2=1,嚴(yán)+3=W產(chǎn)=1.

4復(fù)數(shù)的定義：形如。+初(a,beR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，。叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部.全

體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*.

3,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母Z表示，即Z=a+4(a,be/?),把復(fù)數(shù)表示成a+bi

的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

4,復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)a+'(“/€R),當(dāng)且僅當(dāng)b=0

時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、bCR)是實(shí)數(shù)a：當(dāng)bWO時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且bWO時(shí)，

z=b/?叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)。=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.

5,復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NMQSR^G

6,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)

復(fù)數(shù)相等?即：如果a,b,c,dWR,那么a+b，=c+diU>a=c,b-d.

一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就

可以比較大小.也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小.

7,復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：；z：s

點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+b/(a、bGR)可用點(diǎn)

n,Q文

Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，

也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).

對于虛軸上的點(diǎn)原點(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是

實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即

復(fù)數(shù)Z=a+-<~~^?復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)

這是因?yàn)椋恳粋€(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)

點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng).

這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法.

8.復(fù)數(shù)Zi與Z2的和的定義：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

9.復(fù)數(shù)Zi與z2的差的定義：Zi-Z2=(a+bi)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)i.

10,復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:Zi+Z2=Z2+Zr

11?復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律：(Z1+Z2)+Z3=Z]+(Z2+Z3).

12.乘法運(yùn)算規(guī)則:設(shè)Z1=a+bi,z2=c+di(a.b、c、deR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的

^(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)i.

其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把『換成一1,并且

把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).

13.乘法運(yùn)算律:

(l)z(zz)=(zz)z；(2)Z1(Z+Z3)=ZZ+ZZ

12312321213;(3)Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.

14除法運(yùn)算規(guī)則：

a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.

____—__________________+______Iu

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d2

15二共規(guī)復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共舸

復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共聊復(fù)數(shù)也叫做共桅虛數(shù).

復(fù)數(shù)z=a+b/Dz=a—bi(。、bGR)互為共軌復(fù)數(shù).

16,復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)Zi，Z2分別對應(yīng)于向量西、礫，那么，以。心、

0P2為兩邊作平行四邊形0P1SP2,對角線OS表示的向量礪就是Z+Z2的和所對應(yīng)的向量.

17,復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差z-zi與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向

量對應(yīng)

18.復(fù)數(shù)的模：lzl=la+bi數(shù)無1=L2+從

題型講解,

例1計(jì)算(l+2i)+(3—4i).

解：(l+2i)+(3-4i)=-~

(l+2z)(3+4/)3—8+6i+4i-5+10/12.

—?____________________________________________—_____1___i

"(3-4z)(3+4z)~32+422555

硼，、i曾(l-4i)(l+i)+2+4i

例2計(jì)算---------------------.

3+4/

(l-4z)(l+z)+2+4zl+4-3z+2+4z

解：---------------------=----------------

3+4z3+4Z

7+<(7+z)(3-4Z)

―3+4廠―32+42

21+4+3/-28/25-25/,.

=---------------=--------=1-z.

2525

例3在復(fù)平面內(nèi)，若［=〃?2(1+1)一機(jī)(4+。一6，所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是()

A.(0,3)B.(-oo,-2)C.(-2,0)D.(3,4)

解：可用直推法，：z=(〃/一4m)+("--〃z-6)i

Z所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

m2-4m<0且a?一加一6>0

0<m<4且機(jī)>3或〃z<-2

.\me(3,4)故選d

例4已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、工均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z+〃i)2在復(fù)平面上對

Z-1

應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

解：設(shè)z=x+yi(x、yGR),

:.z+2i=x+(y+2)i,由題意得y--2。

—=-(x—2i)(2+i)=-(2r+2)+-(x-4)i.

2—i2-i555

由題意得冗=4,...z=4—21

V(z+ai)2=(12+4a-J)+8(a-2)i,

根據(jù)條件，已知?2+4。一。->0，解得2<°<6,

8(Q—2)>0,

工實(shí)數(shù)。的取值范圍是(2,6)。

例5設(shè)a￡R,z￡C,滿足d-aZ'd+a?)是純虛數(shù)，求x,y應(yīng)滿足的條件.

解：設(shè)(z2—a2)/(z2+a2)=ki(k￡R,kW0)

則z2-a2=ki(z2+a2)=>z2(l-ki)=a2(l+ki),

x2-y2+2xyk=a2

，(x2-y2+2xyi)(l-ki)=a2+a2ki=><

()/-x2)k+2xy=a2k

消去參數(shù)k即得：x2+y2=a2,

點(diǎn)評：⑴純虛數(shù)的概念；⑵虛部的概念；⑶化復(fù)數(shù)問題為實(shí)數(shù)問題的化歸思想(設(shè)

z=a+bi(a,bGR));(4)若兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小，則它們都是實(shí)數(shù).(5)實(shí)軸和虛軸的概念.

例6設(shè)復(fù)數(shù)z=lg(w2—2m—2)+(zn2+3m+2)i,試求實(shí)數(shù)機(jī)取何值時(shí)，(1)z是純

虛數(shù)；(2)z是實(shí)數(shù)；(3)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.

剖析：利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念易求得.

解：⑴由1g(m2—2機(jī)—2)=0，加2+3機(jī)+2W0,得機(jī)=3.

(2)由〃/+3，”+2=0,得機(jī)=—1或機(jī)=—2。

⑶由1g(機(jī)J2"L2)<0,W2+3AM+2>0,

得一1<機(jī)<1—或1+6<m<30

點(diǎn)評：對復(fù)數(shù)的分類條件要注意其充要性，對復(fù)數(shù)相等、共聊復(fù)數(shù)的概念的運(yùn)用也是這

樣.

例7設(shè)zGC,求滿足z+^WR且lz—21=2的復(fù)數(shù)z.

Z

分析：設(shè)ZR+〃(。、b￡R)，代入條件，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，易得。、力的兩個(gè)

方程.

解法一：設(shè)z=a+歷，

則z+—=a+bi+——-——=a+bi+-~

za+b\a"+b~

b

2

：.b=———-a：.b=O或a+b=L

a2+/?2

當(dāng)b=Q時(shí)，r=a,

???IQ—2I=2.???〃=0或4。

〃=O不合題意舍去，.??z=4

當(dāng)bWO時(shí)，a\b2=l.

又21=2,/.(a—2)2+/?2=40

bJlZS11IJ15?1IJ15.

角牛a=-—，b=±---->??z=-—±-------i°

4444

綜上，z=4或z=［土"5L

44

解法二：Vz+-eR,

Z

.11

??---=Z+=。

zz

???(z—z)—^^=0,(z-z)-^-T-=0o

zzIzl2

/.z=z^lzl=l,下同解法一.

點(diǎn)評：解法一設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來研究;解法二利用復(fù)

數(shù)是實(shí)數(shù)的條件復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，這些都是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法.

例8已知zi=x2+^lx2+1i,Z2=U2+a)>對于任意xWR均有％l>lz2l成立，試求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

分析：求出歷I及?I，利用幻1>01問題轉(zhuǎn)化為X6R時(shí)不等式恒成立問題。

解：VIzil>lz2l>.*.x4+x2+1>(x2+a)2.

...(1一勿)/+(1—”2)>0對XeR恒成立.

當(dāng)1-2a=0,即a=1a寸，不等式成立；

2

,-[l-2a>0

當(dāng)1-2°r0時(shí)，\,

[-4(l-2a)(l-/)<0

=>—1，<，6f</—1M

2

綜上，“￡(—1,—]u

2

點(diǎn)評：本題利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求模之后，轉(zhuǎn)化為求含參數(shù)的二次不等式的參數(shù)取值范圍。

例9設(shè)z是虛數(shù)，3=z+，是實(shí)數(shù)，且一

Z

(1)求團(tuán)的值及Z的實(shí)部的取值范圍；

(2)設(shè)心匕，求證：n為純虛數(shù)；

1+Z

(3)求口一J的最小值0

(1)解：設(shè)z=a+歷(a、6eR,匕W0),

則3=。+歷+—?—=(a+---)+(/?―--)i?

。+歷a+ha+h

V3是實(shí)數(shù)，b#0,

/.6t2+Z?2=l?Bplzl=l-

:3=2n,—IVs<2,

；.z的實(shí)部的取值范圍是(--11).

2

1+Z1+a+hi

(1-a-b\)(]+a-bi)

(1+a++a-bi)

_i-a2-b2-2bi―h.

(1+a)2+b~a+1

VaG(-l,1),bWO,

2

“為純虛數(shù).

.2

(3)解：3——u2=2a-i--------

(a+1-

]_Q~rCl

=2a+-------=2a-----

(a+1)'a+1

2

=2a-1+----

a+l

=2[(“+1)+—--]-3。

a+1

,1),.*.6/4-1>()□

2

:.3—〃2》2義2—3=L

當(dāng)〃+i=—L,即a=o時(shí)，上式取等號(hào).

a+i

，3—J的最小值為1。

小結(jié)：

1,復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算一般用代數(shù)形式進(jìn)行。

2.求解計(jì)算時(shí)，要充分利用i的性質(zhì)計(jì)算問題。

3,在復(fù)數(shù)的求解過程中，要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和應(yīng)用.

4.復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的思想方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)的有

關(guān)概念和兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件。

練習(xí):

1。數(shù)Z1=3+i,i2=l-i，則z=%?、在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：D

2.已知z=l-i，則在復(fù)平面上與]對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：B

3.己知復(fù)數(shù)Z=(川-〃?-2)+(川_3m+2)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的虛軸上,則實(shí)數(shù)m

為()

A1B-1或2C-lD2

答案：C

4i+產(chǎn)+j3+…+/005的值等于()

A1B-1CiD-i

答案：C

5復(fù)平面內(nèi)若復(fù)數(shù)Z=m2(l+i)—+所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是()

A.(0,3)B。(-2,0)C.(3,4)D.(-00,-2)

答案：c

&已知卬馬是復(fù)數(shù)，以下四個(gè)結(jié)論正確的是()

①若Zt+z2=0,則Z]=0*2=0

②若㈤+%|=0,則Z]+馬=0,則&=0,Q=0

③若Z]+Z]=0,則Z[=0

④若㈤=同，則向量應(yīng)?與龍2重合

A,僅②正確B.僅②③正確C②③④正確D.僅②④正確

答案：A.

7.i-2的共趣復(fù)數(shù)是

Ao2+iBu2—ICu—2+iDu—2—i

解析：由共輒復(fù)數(shù)的定義知選D。

答案：D

8,計(jì)算(2痛)+(3+『)+(4+產(chǎn))+(5卬)(其中i為虛數(shù)單位)的值是

A.10B.12C.14D.16

解析：(2+i)+(3+i3)+(4+i5)+(5+i7)=2+3+4+5=14.

答案：C

9s設(shè)復(fù)數(shù)3=一工+理1則1+。等于

22

211

A?—3BeC0——D?！?/p>

CDCD2

Lr-[1V3.1A/31

解析：l+3=—+---1=—(———---1)=———.

2222co

答案：C

Id復(fù)數(shù)Zi=3+i,Z2=l—i，則z=zi?Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于

A。第一象限B。第二象限C第三象限D(zhuǎn)。第四象限

解析：z=ZiZ2=(3+i)(l—i)=4—2i-

答案：