人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版八年級(jí)　上冊(cè)第十五章　整式的乘除與因式分解1 因式分解公開課

提公因式法一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)1．使學(xué)生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系．2．使學(xué)生理解提公因式法并能熟練地運(yùn)用提公因式法分解因式．能力目標(biāo)3．樹立學(xué)生“化零為整”的“化歸”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生完整地、辯證地看問(wèn)題的思想．4．樹立學(xué)生全面分析問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題的思想，提高學(xué)生的觀察能力、分析問(wèn)題及逆向思想的能力．情感目標(biāo)5．通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)使學(xué)生初步感到因式分解在簡(jiǎn)化計(jì)算和解方程中將會(huì)有較大的作用，從而激發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)的興趣與熱情．6．通過(guò)提公因式法可以將多項(xiàng)式的形式化簡(jiǎn)或進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算從而達(dá)到變形的美，促進(jìn)創(chuàng)造力的發(fā)展。二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：因式分解的概念及提公因式法．2．教學(xué)難點(diǎn)：正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式及分解因式與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系．三、教學(xué)方法理論與實(shí)例相結(jié)合．四、教學(xué)手段設(shè)問(wèn)式、啟發(fā)式．五、教學(xué)媒體投影片六、課時(shí)安排3課時(shí)七、教學(xué)設(shè)計(jì)思路1．利用類比的辦法引入課題，師生問(wèn)答共同進(jìn)行．2．利用舉例強(qiáng)化因式分解、公因式概念的訓(xùn)練．3．通過(guò)舉例訓(xùn)練如何正確提取公因式，以免漏提、缺項(xiàng)是否變號(hào)等問(wèn)題．第一課時(shí)一、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)1．乘法對(duì)加法的分配律．2．添括號(hào)法則．(二)新課1．新課引入：用類比的方法引入課題．在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，我們常常要進(jìn)行約分與通分，因此常常要把一個(gè)數(shù)分解因數(shù)(即分解約數(shù))．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．在代數(shù)里學(xué)習(xí)分式的時(shí)候，也常常要進(jìn)行約分、通分，因此要常常把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積．在中學(xué)里一元高次(二次以上)方程的求解正是根據(jù)在實(shí)數(shù)域上，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式總可以分解為一次或二次不可約多項(xiàng)式的乘積，那么相應(yīng)的一元高次方程可以化為一次或二次方程求解．又如一元高次不等式的解法，也是基于一次、二次不等式的解法．將高次不等式化為一、二次不等式組解．因此從知識(shí)內(nèi)容看，把一個(gè)多項(xiàng)式恒等變形成幾個(gè)因式乘積是十分重要的．這一章就是學(xué)習(xí)如何把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的方法．2．因式分解的概念：請(qǐng)學(xué)生每人寫出一個(gè)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的例子，并計(jì)算出其結(jié)果．(老師按學(xué)生所說(shuō)在黑板寫出幾個(gè)．)如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)＝a2-b2(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10等等．再請(qǐng)學(xué)生觀察它們有什么共同的特點(diǎn)？特點(diǎn)：左邊，整式×整式；右邊，是多項(xiàng)式．可見(jiàn)，整式乘以整式結(jié)果是多項(xiàng)式，而多項(xiàng)式也可以變形為相應(yīng)的整式與整式的乘積，我們就把這種多項(xiàng)式的變形叫做因式分解．定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．讓學(xué)生說(shuō)出因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別．聯(lián)系：同樣是由幾個(gè)相同的整式組成的等式．區(qū)別：這幾個(gè)相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．兩者是方向相反的恒等變形．因式分解的特征是和差化積的形式，乘法的特征是積化和差的形式．例1

下列各式從左到右哪些是因式分解？(1)x2-x＝x(x-1)

(√)(2)a(a-b)＝a2-ab

(×)(3)(a+3)(a-3)＝a2-9

(×)(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1

(×)(5)x2-4x+4＝(x-2)2

(√)下面我們學(xué)習(xí)幾種常見(jiàn)的因式分解方法．3．提公因式法：我們看多項(xiàng)式：ma+mb+mc請(qǐng)學(xué)生指出它的特點(diǎn)：各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m，這時(shí)我們把因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．注意：公因式是各項(xiàng)都含有的公共的因式．又如：a是多項(xiàng)式a2-a各項(xiàng)的公因式．a(chǎn)b是多項(xiàng)式5a2b-ab2各項(xiàng)的公因式．2mn是多項(xiàng)式4m2np-2mn2根據(jù)乘法的分配律，可得m(a+b+c)＝ma+mb+mc，逆變形，便得到多項(xiàng)式ma+mb+mc的因式分解形式ma+mb+mc＝m(a+b+c)．這說(shuō)明，多項(xiàng)式ma+mb+mc各項(xiàng)都含有的公因式可以提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．定義：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．顯然，由定義可知，提公因式法的關(guān)鍵是如何正確地尋找公因式．讓學(xué)生觀察上面的公因式的特點(diǎn)，找出確定公因式的萬(wàn)法：(1)公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)：(2)字母取各項(xiàng)的相同字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)例2指出下列各多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式：(1)ax+ay+a

(a)(2)3mx-6mx2

(3mx)(3)4a2+10ah

(2a)(4)x2y+xy2

(xy)(5)12xyz-9x2y2

(3xy)例3

把8a3b2-12ab3c分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．先引導(dǎo)學(xué)生按確定公因式的方法找出多項(xiàng)式的公因式4ab2．解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·=4ab2(2a2-3bc)．說(shuō)明：(1)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)確定公因式的兩個(gè)條件以免漏取．(2)開始講提公因式法時(shí)，最好把公因式單獨(dú)寫出．①以顯提醒；③強(qiáng)調(diào)提公因式；③強(qiáng)調(diào)因式分解．例4

把3x2-6xy+x分解因式．分析：先引導(dǎo)學(xué)生找出公因式x，強(qiáng)調(diào)多項(xiàng)式中x=x·1．解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1＝x(3x-6y+1)．說(shuō)明：當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)恰好是公因式時(shí)，這項(xiàng)應(yīng)看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應(yīng)是1，1作為項(xiàng)的系數(shù)通?？梢允÷裕绻麊为?dú)成一項(xiàng)時(shí)，它在因式分解時(shí)不能漏掉，這類題常常有些學(xué)生犯下面的錯(cuò)誤，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，這一點(diǎn)可讓學(xué)生利用恒等變形分析錯(cuò)誤原因．還應(yīng)提醒學(xué)生注意：提公因式后的因式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一樣，這樣可以檢查是否漏項(xiàng)．課堂練習(xí)：把下列各式分解因式：(l)2πR+2πr；(3)3x3+6x2；(4)21a2+7a；(5)15a2+25ab2；(6)x2y+xy2-xy．例5

把-4m3+16m分析：此多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，與前面兩例不同，應(yīng)先把它轉(zhuǎn)化為前面的情形便可以因式分解了，所以應(yīng)先提負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化，然后再提公因式，提“-”號(hào)時(shí)，注意添括號(hào)法則．解：-4m3+＝-(4m3-16m2＝-2m(2m2說(shuō)明：通過(guò)此例可以看出應(yīng)用提公因式法分解因式時(shí)，應(yīng)先觀察第一項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，負(fù)號(hào)時(shí)，運(yùn)用添括號(hào)法則提出負(fù)號(hào)，此時(shí)一定要把每一項(xiàng)都變號(hào)；然后再提公因式．課堂練習(xí)：把下列各式分解因式：(1)-15ax-20a；(2)-25x8+125x16；(3)-a3b2+a2b3；(4)-x3y3-x2y2-xy；(5)-3ma3+6ma2-12ma；(三)小結(jié)1．因式分解的意義及其概念．2．因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別．3．公因式及提公因式法．4．提公因式法因式分解中應(yīng)注意的問(wèn)題．二、作業(yè)課本p196練習(xí)三、板書設(shè)計(jì)第二課時(shí)一、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)1．什么是因式分解？它與整式乘法有何聯(lián)系？2．什么是多項(xiàng)式的公因式？如何確定公因式？怎樣的方法叫做提公因式法？3．提公因式法因式分解應(yīng)注意哪些問(wèn)題？4．代數(shù)式中的字母表示什么？(二)新課1．引入及教學(xué)內(nèi)容：我們知道對(duì)于式子ma+mb+mc中的m來(lái)講，根據(jù)代數(shù)式中字母的意義，m不僅可以代表一個(gè)數(shù)，而且還可以表示一個(gè)式子：?jiǎn)雾?xiàng)式或多項(xiàng)式．讓學(xué)生觀察下面的多項(xiàng)式并指出每個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)及這類多項(xiàng)式的共同之處，同時(shí)說(shuō)明與多項(xiàng)式ma+mb+mc的聯(lián)系．(1)2a(x+y)+3b(x+y)；(2)x(a+b+1)-2y(a+b+l)；(3)7g(P-g)-2P(P-g)；(4)a(x-y)-b(x-y)-c(x-y)．(由學(xué)生總結(jié)出)每個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都有一個(gè)相同多項(xiàng)式因式，即公因式是多項(xiàng)式．當(dāng)我們把這“多項(xiàng)式”看成整體m時(shí)，就可以按ma+mb+mc進(jìn)行因式分解．例1

把2a(b+c)-3(b+c)分解因式．分析：先引導(dǎo)學(xué)生把各項(xiàng)中都有的(b+c)看成m，則原式可轉(zhuǎn)化為2am-3m的形式，因?yàn)閙是2am和-3m的公因式，所以(b+c)是原式各項(xiàng)的公因式．解：2a(b+c)-3(b+c)說(shuō)明：分解因式之前應(yīng)審清多項(xiàng)式中每項(xiàng)中的“字母”，并注意引入換元思想．課堂練習(xí)：把下列各式分解因式：(1)a(x-y)+b(x-y)-(x-y)；(2)6(x+y)-12z(x+y)；(3)(2x+1)y2+(2x+1)2y；(4)p(a2+b2)+q(a2+b2)-l(a2+b2)．例2

把6(x-2)+x(2-x)分解因式．分析：先指出多項(xiàng)式各項(xiàng)中沒(méi)有明顯的公因式，讓學(xué)生看清這個(gè)多項(xiàng)式與上題中的多項(xiàng)式有何不同，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)(x-2)與(2-x)的不同，然后再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：2-x與x-2只是符號(hào)不同，即2-x＝-(x-2)，原多項(xiàng)式可變形為6(x-2)-x(x-2)，轉(zhuǎn)化為例6情況，可以用提公因式法分解因式．解：6(x-2)+x(2-x)＝6(x-2)-x(x-2)=(x-2)(6-x)．說(shuō)明：有時(shí)原多項(xiàng)式中各大項(xiàng)無(wú)明顯的公因式，但某些因式經(jīng)改變符號(hào)或交換因式中某些項(xiàng)的位置后成為因式，應(yīng)提醒學(xué)生注意觀察發(fā)現(xiàn)．課堂練習(xí)：把下列各式分解因式：(1)m(a-b)-n(b-a)；(2)2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(z-x-y)；(3)m(m-n)2-n(n-m)2；(4)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c)．例3

先因式分解，再求值．7a(b+2)+3a(b+2)，其中a＝2，b＝-1．解：原式=a(b+2)(7+3)＝10a(b+2)．當(dāng)a=2，b=-1時(shí)，原式=10×2×(-1+2)＝20．說(shuō)明：這類問(wèn)題先因式分解，再求值，比較容易計(jì)算．(這一點(diǎn)通過(guò)練習(xí)使學(xué)生體會(huì)出來(lái)．)課堂練習(xí)：把下列各式先因式分解，再求值：(1)4a2(x+7)-3a2(x+7)，其中a＝-5，x＝3．(2)5x(m-2)+4x(2-m)，其中x=，m＝．(3)x(a+b-3c)-(3c-a-b)，其中x=-1，a＝296，b=-307，c＝2022．(三)小結(jié)1．公因式可以是單項(xiàng)式，也可是多項(xiàng)式．2．注意多項(xiàng)式中含有不明顯公因式(a-b)和(b-a)時(shí)，要先把多項(xiàng)式變形，再提公因式．一個(gè)多項(xiàng)式作不同的變形，可能得到不同的公因式，但它們僅僅是符號(hào)的差別而已．3．提公因式法的應(yīng)用．二、作業(yè)1．把下列各式分解因式：(1)x(a+b)-y(a+b)；(2)5x(x-y)+2y(x-y)；(3)6q(p+q)-4p(p+q)；(4)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q)；(5)p(x-y)-q(y-x)；(6)m(a-3)+2(3-a)；(7)(a+b)(a-b)+(b+a)；(8)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)．2．利用因式分解計(jì)算：(1)21×+62×+17×；(2)×已知公式V＝IR1+IR2+IR3，當(dāng)R1=，R2＝，R3＝，I＝時(shí)，利用因式分解求V的值．4．已知a-b-c＝5，求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值．三、板書設(shè)計(jì)第三課時(shí)

一、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)1．運(yùn)用提公因式法分解式應(yīng)注意哪些問(wèn)題？2．a(chǎn)-b與b-a有何關(guān)系？3．把多項(xiàng)式x(x-y)2-y(x-y)分解因式．(二)新課1．引入：我們知道代數(shù)式里的字母可以表示一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式，也可表示一個(gè)多項(xiàng)式．而它們又可以是一個(gè)數(shù)的乘方、一個(gè)單項(xiàng)式的乘方及一個(gè)多項(xiàng)式的乘方．請(qǐng)學(xué)生觀察下面的多項(xiàng)式．(1)x(a+b)+y(a+b)；(2)(m+n)2+P(m+n)；(3)(y-x)3-y(y-x)2．這三個(gè)多項(xiàng)式有何區(qū)別？(讓學(xué)生討論說(shuō)明，以開闊學(xué)生的思路，把學(xué)生的各種想法引導(dǎo)到提公因式法因式分解上來(lái)，主要說(shuō)明公因式形式上有何不同．)總結(jié)出：公因式可以是一個(gè)多項(xiàng)式，如(1)(2)中的(a+b)·(m+n)，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式的乘方，如(3)中(y-x)2．下面我們學(xué)習(xí)公因式是多項(xiàng)式乘方的這類多項(xiàng)式的因式分解．2．新課：首先看例子．例1

把18b(a-b)2-12(a-b)3分解因式．分析：引導(dǎo)學(xué)生觀察多項(xiàng)式各項(xiàng)式的公因式為6(a-b)2．解：18b(a-b)2-12(a-b)3＝6(a-b)2·3b-6(a-b)2·2(a-b)＝6(a-b)2[3b-2(a-b)]＝6(a-b)2(3b-2a+2b)＝6(a-b)2(5b-2a)．說(shuō)明：提公因式分解因式后，每個(gè)因式中需要合并同類項(xiàng)，化為最簡(jiǎn)形式，每個(gè)因式要求只能含有一層括號(hào)．練習(xí)：把下列各式因式分解：(1)b(a-b)2-(a-b)3；(2)2x(x+y)3+(x+y)4；(3)a2(x-y)2+2a(x-y)3．例2

把(3a+b)(3a-b)3-(a+5b)(b-3a)3分解因式．分析：∵(b-3a)3＝[-(3a-b)]3＝-(3a-b)3，解：(3a+b)(3a-b)3-(a+5b)(b-3a)3=(3a+b)(3a-b)3+(a+5b)(3a-b)3=(3a-b)3[(3a+b)+(a+5b)]=(3a-b)3(4a+6b)＝2(3a-b)3(2a+3b)．說(shuō)明：應(yīng)注意因式的變形和因式分解的結(jié)果應(yīng)滿足的條件．例3

把5(x-y)3+10(y-x)2分解因式．分析：讓學(xué)生說(shuō)出5(x-y)3與10(y-x)2的公因式；因?yàn)?y-x)2＝[-(x-y)]2＝(x-y)2，所以公因式為5(x-y)2．解：5(x-y)3+10(y-x)2=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2[(x-y)+2]＝5(x-y)2(x-y+2)．說(shuō)明：此題也可讓學(xué)生把x-y變形為y-x，比較兩種方法的結(jié)果有何不同，t(x-y)3+10(y-x)2＝5［-(y-x)]3+10(y-x)2=-5(y-x)3+10(y-x)2＝[5(y-x)3-10(y-x