2023年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)及解答

第概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)及解答

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)及解答

第一次作業(yè)

★1.甲?乙?丙三門炮各向同一目標(biāo)發(fā)射一枚炮彈?設(shè)事件A?B?C分別表示甲?乙?丙擊中目標(biāo)?則三門炮最多有一門炮擊中目標(biāo)如何表示.事件E?{事件A,B,C最多有一個(gè)發(fā)生},則E的表示為

E?ABC?ABC?ABC?ABC;或?AB?AC?BC;或?AB?AC?BC;或?ABACBC;或?ABC?(ABC?ABC?ABC).

(和A?B即并A?B,當(dāng)A,B互斥即AB??時(shí)?A?B常記為A?B?)2.設(shè)M件產(chǎn)品中含m件次品?計(jì)算從中任取兩件至少有一件次品的概率.

1122CmCM?m?CmCMm(2M?m?1)?m1?2或?2M(M?1)CMCM★3.從8雙不同尺碼鞋子中隨機(jī)取6只?計(jì)算以下事件的概率.

A?{8只鞋子均不成雙},B?{恰有2只鞋子成雙},C?{恰有4只鞋子成雙}.

161414C86(C2)C8C7(C2)3280P(A)???0.2238,P(B)???0.5594,66C16143C16143212C82C6(C2)30P(C)???0.2098.6C16143★4.設(shè)某批產(chǎn)品共50件?其中有5件次品?現(xiàn)從中任取3件?求?

(1)其中無(wú)次品的概率?(2)其中恰有一件次品的概率?

321C45C45C5141999(1)3??0.724.(2)3??0.2526.

C501960C503925.從1～9九個(gè)數(shù)字中?任取3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)?求?

(1)所得三位數(shù)為偶數(shù)的概率?(2)所得三位數(shù)為奇數(shù)的概率?

4(1)P{三位數(shù)為偶數(shù)}?P{尾數(shù)為偶數(shù)}?,

95

(2)P{三位數(shù)為奇數(shù)}?P{尾數(shù)為奇數(shù)}?,

9

45或P{三位數(shù)為奇數(shù)}?1?P{三位數(shù)為偶數(shù)}?1??.

996.某辦公室10名員工編號(hào)從1到10?任選3人記錄其號(hào)碼?求?(1)最小號(hào)碼為5的概率?(2)最大號(hào)碼為5的概率?

記事件A?{最小號(hào)碼為5},B?{最大號(hào)碼為5}.

2C52C411(1)P(A)?3?;(2)P(B)?3?.

C1012C10207.袋中有紅、黃、白色球各一個(gè)?每次從袋中任取一球?記下顏色后放回?共取球三次?

求下列事件的概率:A={全紅}?B={顏色全同}?C={顏色全不同}?D={顏色不全同}?E={無(wú)黃色球}?F={無(wú)紅色且無(wú)黃色球}?G={全紅或全黃}.

3A311183!2P(A)?3?,P(B)?3P(A)?,P(C)?3?3?,P(D)?1?P(B)?,

32799339第1頁(yè)共32頁(yè)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

112238P(E)?3?,P(F)?3?,P(G)?2P(A)?.

32727327

☆.某班n個(gè)男生m個(gè)女生(m?n?1)隨機(jī)排成一列?計(jì)算任意兩女生均不相鄰的概率.

☆.在[0?1]線段上任取兩點(diǎn)將線段截成三段?計(jì)算三段可組成三角形的概率.14第二次作業(yè)1.設(shè)A?B為隨機(jī)事件?P(A)?0.92?P(B)?0.93?P(B|A)?0.85?求?(1)P(A|B)?(2)P(Acup;B)?(1)0.85?P(B|A)?P(AB)P(AB)?,P(AB)?0.85?0.08?0.068,

P(A)1?0.92P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.068?0.058,

P(AB)0.058??0.83.

P(B)1?0.93(2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988.

P(A|B)?

2.投兩顆骰子?已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7?求其中有一顆為1點(diǎn)的概率.記事件A?{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},B?{(1,6),(6,1)}.P(B|A)?2?1.

63★.在202x中任取一整數(shù)?求取到的整數(shù)既不能被5除盡又不能被7除盡的概率?記事件A?{能被5除盡},B?{能被7除盡}.

400128557?202x?57?202x?P(A)??,取整?P(B)??,P(AB)?,?285,?57,???202x5202x400202x75?7????P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

15757?1????0.686.

5400202x3.由長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)資料得知?某一地區(qū)在4月份下雨(記作事件A)的概率為4/15?刮風(fēng)(用B表示)的概率為7/15?既刮風(fēng)又下雨的概率為1/10?求P(A|B)、P(B|A)、P(A?B)?

P(AB)1/103P(AB)1/103P(A|B)???,P(B|A)???,

P(B)7/1514P(A)4/15847119P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)????.

151510304?設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡第一次落下時(shí)摔破的概率是1/2?若第一次落下未摔破?第二次落下時(shí)摔破的概率是7/10?若前二次落下未摔破?第三次落下時(shí)摔破的概率是9/10?試求落下三次而未摔破的概率．

記事件Ai={第i次落下時(shí)摔破}?i?1,2,3.

7??9?3?1??P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??1???1???1???.

?2??10??10?202x?設(shè)在n張彩票中有一張獎(jiǎng)券?有3個(gè)人參加抽獎(jiǎng)?分別求出第一、二、三個(gè)人摸到獎(jiǎng)券

第2頁(yè)共32頁(yè)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

概率．

記事件Ai={第i個(gè)人摸到獎(jiǎng)券}?i?1,2,3.

1由古典概率直接得P(A1)?P(A2)?P(A3)?.

nn?111?,或P(A2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?nn?1nn?1n?211P(A3)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??.

nn?1n?2n1或第一個(gè)人中獎(jiǎng)概率為P(A1)?,

n21前兩人中獎(jiǎng)概率為P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?,解得P(A2)?,

nn31前三人中獎(jiǎng)概率為P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?,解得P(A3)?.

nn6?甲、乙兩人射擊?甲擊中的概率為0?8?乙擊中的概率為0?7?兩人同時(shí)射擊?假定中靶與否是獨(dú)立的?求(1)兩人都中靶的概率?(2)甲中乙不中的概率?(3)甲不中乙中的概率?

記事件A={甲中靶}?B={乙中靶}.

(1)P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.7?0.56,

(2)P(AB)?P(A)?P(AB)?0.8?0.56?0.24,(3)P(AB)?P(B)?P(AB)?0.7?0.56?0.14.

★7?袋中有a個(gè)紅球?b個(gè)黑球?有放回從袋中摸球?計(jì)算以下事件的概率?(1)A?{在n次摸球中有k次摸到紅球}?(2)B?{第k次首次摸到紅球}?

(3)C?{第r次摸到紅球時(shí)恰好摸了k次球}?

?a??b?(1)P(A)?C?????a?b??a?b?knkn?kakbn?k?C;n(a?b)kn?b?(2)P(B)????a?b?(3)P(C)?Cr?1k?1k?1aabk?1?;ka?b(a?b)rk?r?a??b??????a?b??a?b??Cr?1k?1arbk?r.k(a?b)80.求該射手射擊一818?一射手對(duì)一目標(biāo)獨(dú)立地射擊4次?已知他至少命中一次的概率為次命中目標(biāo)的概率?

80112?,q?,p?1?q?.8181339?設(shè)某種高射炮命中目標(biāo)的概率為0.6?問至少需要多少門此種高射炮進(jìn)行射擊才能以0.99的概率命中目標(biāo)?

(1?0.6)n?1?0.99,0.4n?0.01,由0.45?0.01024,0.46?0.01,得n?6.☆.證明一般加法(容斥)公式

設(shè)射擊一次命中目標(biāo)的概率為p,q?1?p.q4?1?第3頁(yè)共32頁(yè)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

P(?Ai)??P(Ai)??P(AiAj)?ni?1i?1i?jni?j?k?P(AAA)???(?1)ijkn?1P(?ni?1Ai).

證明只需證分塊Ai1?AikAik?1?Ain?Ai1,?,Aik只計(jì)算1次概率．(i1,?,in是1,?,n的一個(gè)排列?k?1,2,?,n.)分塊概率重?cái)?shù)為

Ai1,?,Aik中任取1個(gè)?任取2個(gè)???(?1)k?1任取k個(gè)?即

1Ck?Ck2???(?1)k?1Ckk?1?11?Ck?Ck2???(?1)kCkk?(1?1)k?0.將?,?互換可得對(duì)偶加法(容斥)公式

P(?Ai)??P(Ai)??P(Ai?Aj)?ni?1i?1i?jni?j?k?P(A?A?A)???(?1)ijkn?1P(?ni?1Ai).

☆.證明若A?B獨(dú)立?A?C獨(dú)立?則A?Bcup;C獨(dú)立的充要條件是A?BC獨(dú)立.

證明

P(A(B?C))?P(AB?AC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(ABC)充分性?:

P(A(B?C))?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(ABC),代入P(ABC)?P(A)P(BC)?P(A)(P(B)?P(C)?P(BC))?P(A)P(B?C),即A,B?C獨(dú)立.必要性?:

P(A(B?C))?P(A)P(B?C)?P(A)(P(B)?P(C)?P(BC))

?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(A)P(BC)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(ABC)P(ABC)?P(A)P(BC),即A,BC獨(dú)立.

☆.證明：若三個(gè)事件A、B、C獨(dú)立，則Acup;B、AB及A－B都與C獨(dú)立．證明因?yàn)?/p>

P[(A?B)C]?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?[P(A)?P(B)?P(A)P(B)]P(C)

?P(A?B)P(C)P[(AB)C]?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?[P(A)P(B)]P(C)?P(AB)P(C)P[(A?B)C]?P(AC?B)?P(AC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(A)P(B)P(C)

?[P(A)?P(AB)]P(C)?P(A?B)P(C)所以Acup;B、AB及A－B都與C獨(dú)立.第三次作業(yè)

1?在做一道有4個(gè)答案的選擇題時(shí)?如果學(xué)生不知道問題的正確答案時(shí)就作隨機(jī)猜測(cè)?設(shè)他知道問題的正確答案的概率為p?分別就p?0.6和p?0.3兩種情形求下列事件概率?(1)學(xué)生答對(duì)該選擇題?(2)已知學(xué)生答對(duì)了選擇題?求學(xué)生確實(shí)知道正確答案的概率?記事件A={知道問題正確答案}?B={答對(duì)選擇題}.

1?p13p??,(1)由全概率公式得P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?p?44413p13?0.67????0.7,當(dāng)p?0.6時(shí)?P(B)??444410第4頁(yè)共32頁(yè)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

13p13?0.319?????0.475.444440P(AB)p4p(2)由貝葉斯公式得P(A|B)???,

13pP(B)1?3p?444p4?0.66當(dāng)p?0.6時(shí)?P(A|B)???,

1?3p1?3?0.674p4?0.312當(dāng)p?0.3時(shí)?P(A|B)???.

1?3p1?3?0.3192?某單位同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)A與B?當(dāng)報(bào)警系統(tǒng)A單獨(dú)使用時(shí)?其有效的概率為0.70?當(dāng)報(bào)警系統(tǒng)B單獨(dú)使用時(shí)?其有效的概率為0.80.在報(bào)警系統(tǒng)A有效的條件下?報(bào)警系統(tǒng)B有效的概率為0.84.計(jì)算以下概率?(1)兩種報(bào)警系統(tǒng)都有效的概率?(2)在報(bào)警系統(tǒng)B有效的條件下?報(bào)警系統(tǒng)A有效的概率?(3)兩種報(bào)警系統(tǒng)都失靈的概率.

P(A)?0.7,P(B)?0.8,P(B|A)?0.84.

(1)P(AB)?P(A)P(B|A)?0.7?0.84?0.588,

P(AB)0.588??0.735,(2)P(A|B)?P(B)0.8當(dāng)p?0.3時(shí)?P(B)?(3)P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?0.7?0.8?0.588?0.088.

☆.為防止意外?在礦內(nèi)同時(shí)設(shè)有兩種報(bào)警系統(tǒng)A與B?每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)?其有效的概率系統(tǒng)A為0?92?系統(tǒng)B為0.93?在A失靈的條件下?B有效的概率為0.85??求:(1)發(fā)生意外時(shí)?兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率?(2