數(shù)學(xué)物理方法試卷(全答案)

系B1、試闡述解析延拓的含義。解析延拓的結(jié)果是否唯一？（6分）解析延拓就是通過函數(shù)的替換來擴(kuò)大解析函數(shù)的定義域。替換函數(shù)在原定義域上與替換前的函數(shù)相等。無論用何種方法進(jìn)行解析延拓，所得到的替換函數(shù)都完全等同。2、奇點(diǎn)分為幾類？如何判別？（6分）在挖去孤立奇點(diǎn)Zo而形成的環(huán)域上的解析函數(shù)（）的洛朗級數(shù)，或則沒有負(fù)冪項(xiàng)，或則只有有限個負(fù)冪項(xiàng)，或則有無限個負(fù)冪項(xiàng)，我們分別將Zo稱為函數(shù)（）的可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)及本性奇點(diǎn)。判別方法：洛朗級數(shù)展開法，先找出函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)；，把函數(shù)在的環(huán)域作洛朗展開1）如果展開式中沒有負(fù)冪項(xiàng)，則為可去奇點(diǎn)；2）如果展開式中有無窮多負(fù)冪項(xiàng)，則為本性奇點(diǎn)；3）如果展開式中只有有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)，則為極點(diǎn)，如果負(fù)冪項(xiàng)的最高項(xiàng)為，則為m階奇點(diǎn)。3、何謂定解問題的適定性？（6分）1，定解問題有解；2，其解是唯一的；3，解是穩(wěn)定的。滿足以上三個條件，則稱為定解問題的適定性。4、什么是解析函數(shù)？其特征有哪些？（6分）在某區(qū)域上處處可導(dǎo)的復(fù)變函數(shù)稱為該區(qū)域上的解析函數(shù).1）在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)且有任意階導(dǎo)數(shù).,yCvx,yCux2）這兩曲線族在區(qū)域上正交。123）uxy,和,都滿足二維拉普拉斯方程。(稱為共軛調(diào)和函數(shù))vxy4）在邊界上達(dá)最大值。4、數(shù)學(xué)物理泛定方程一般分為哪幾類？波動方程屬于其中的哪種類型？（6分）數(shù)學(xué)物理泛定方程一般分為三種類型：雙曲線方程、拋物線方程、橢圓型偏微分方程。波動方程屬于其中的雙曲線方程。5、寫出挑選性的表達(dá)式（6分）()xfxxxdxfx00fxxdxf0f(r)(rR)dvf(R)001i36、寫出復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式（8分）2123cosisini2三角形式：sincos2221i3cosisin2331指數(shù)形式：由三角形式得：3ize3z7、求函數(shù)在奇點(diǎn)的留數(shù)（8分）2(z1)(z2)解：奇點(diǎn)：一階奇點(diǎn)z=1；二階奇點(diǎn)：z=2zResflim(z1)1(1)zz(1)(2)2z11dz1Resflim(z2)lim12\(2)(1)(2)(1)dzzz2z2z2z2z8、求回路積分（8分）z3z1解：有三階奇點(diǎn)z=0（在積分路徑內(nèi)）f(z)1dcosz122Resflimzlimcosz-3\(0)2!zdz23z0z01原積分=2iResf(0)2i()i2xx24119、計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（8分）zz2411z21解：f(z)2222zi)zi)zi)zi)222222它具有4個單極點(diǎn)：只有z=i)和z=i)在上半平面，其留數(shù)分別為：22z211Resflimz22i22220\((1i))zi)zi)zi)2222z211Resflimz22i2222z0\((1i))i)zi)zi)222211I2i()222i22i1()zik的收斂半徑（8分）10、求冪級數(shù)kk11k1akRlimlimlim1k1akkkkk1k1所以收斂圓為zi11、試用分離變數(shù)法求解定解問題（14分）ua2u00xl,t0u0uxx0xxlx1/2,u0ut0tt0令，并代入方程得u(x,t)X(x)T(t)a2X''T0XT''X'T''X''(0)T(t)0移項(xiàng)a2TXX'(l)T(t)00X''XX'(0)0aT0和T''2X'(l)0在＜0時，方程的解為：在0時，方程的解為：X(x)CeCexx12X(x)CxC12在＞0時，方程的解為：X(x)CcosxCsinx12由邊界條件''X(0)，X(l)0得：＜0時，()0Xx0時，＞0時，(CXxx()CcosxCsinxX'12XX''(0)C0，C022(l)CcoslCsinl012C0否則方程無解），sin0l122nnlnX(x)Ccosx1l2ln22把0和代人T的方程TaT0得：''2l2(t)ABtT000(n2,3)natnatT(t)AcosBsinnnlnlnatnatnU(x,t)ABt(AcosBsin)cosx00nnllln1nl1AAcosxx20n由初始條件得n1nanBBcosx00nlln1把右邊的函數(shù)展成傅里葉余弦級數(shù),比較兩邊的系數(shù)得111llA(x)B0020ll0021n2nllA(x)B02lnalnln004ll12l(n2k1)(n2k)得：1)22AAnAn2202nnn0l14lnatnlU(x,t)()coscosx2ln22n126分）u0Ay(by),u0ux0y0xaxuBsin,u0ayb令u(x,t)v(x,t)w(x,t)ww0vv0wAy(by)，w00，v0vvx0xax0xax0，w0wvBsin0y0yby0yba則，v，w都可以分別用分離變量法求解了。23yeyy3分)t滿足初始條件(0)=1的解。(10解：對方程程兩邊取拉氏變換，并注意到初始條件，得1