2022-2023學年重慶市校高一年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年重慶市第一中學校高一上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解得，根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】，解得，故，則，故選：C.2．在平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，始邊在軸的非負半軸，終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，結合三角函數(shù)定義得，所以故選：C3．“”是“冪函數(shù)在上單調遞減”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．既不充分也不必要 D．充要【答案】D【分析】由題知，解得，再根據(jù)充要條件的概念判斷即可.【詳解】解：因為冪函數(shù)在上單調遞減，所以，解得，所以“”是“冪函數(shù)在上單調遞減”的充要條件.故選：D4．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域,對數(shù)型復合函數(shù)的性質列不等式組即可求得.【詳解】因為的定義域為，則，解得，則，所以的定義域為.故選：B5．中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化．下列選項中，既是奇函數(shù)，又在定義域上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和三角函數(shù)的奇偶性和單調性求解即可.【詳解】選項A：令，，因為且在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故既是奇函數(shù)，又在定義域上是增函數(shù)，A正確；選項B：的定義域為，由冪函數(shù)的圖像和性質可得在上單調遞增，故不具有奇偶性，在定義域上是增函數(shù)，B錯誤；選項C：，定義域為，由正弦函數(shù)的圖像和性質可得是奇函數(shù)，在上單調遞減，在上單調遞增，C錯誤；選項D：，由冪函數(shù)的圖像和性質可得是奇函數(shù)，在定義域上不單調，D錯誤；故選：A6．已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，解方程組求即可.【詳解】由可得，所以由解得，故選：A7．（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和與差的余弦公式將轉化為，進行展開，對于分子則是結合二倍角正弦公式及完全平方式進行化簡，最后再約分即可.【詳解】故選：D.8．已知函數(shù)有唯一零點，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可知函數(shù)為奇函數(shù)且單調遞增，進而可得函數(shù)的對稱中心為，且在R上單調遞增，進而即得.【詳解】因為，對于函數(shù)定義域為R，且，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又時，單調遞增，所以時，單調遞增，所以函數(shù)在R上單調遞增，所以的對稱中心為，且在R上單調遞增，因為，故，，因為，，所以，所以，所以，，故.故選：D.二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．B．第一象限角一定是銳角C．在與角終邊相同的角中，最大的負角為D．【答案】AC【分析】利用正弦函數(shù)的單調性判斷A，利用象限角的概念判斷B，寫出與角終邊相同的角為，再根據(jù)判斷C，利用弧度制及正弦余弦的正負判斷D.【詳解】因為在上單調遞增，所以，A正確；表示第一象限角，當時，不是銳角，B錯誤；與角終邊相同的角為，當時是最大負角，最大負角為，C正確；因為，所以，，所以，D錯誤；故選：AC10．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期B．函數(shù)在上單調遞增C．函數(shù)在上的值域為D．函數(shù)的圖像關于直線對稱【答案】BD【分析】作出函數(shù)的大致圖象，然后逐項分析即得.【詳解】因為，作出函數(shù)的大致圖象，函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；由圖象可知函數(shù)的增區(qū)間為，故函數(shù)在上單調遞增，故B正確；當時，，，故C錯誤；因為，所以函數(shù)的圖像關于直線對稱，故D正確.故選：BD.11．已知函數(shù)是定義域為的單調函數(shù)，且滿足對任意的，都有，則（

）A．B．若關于的方程（）有2個不相等的實數(shù)根，則C．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為D．若函數(shù)滿足對任意的實數(shù)，且，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【分析】先利用已知條件求出函數(shù)的解析式，選項A，將代入計算即可，選項B將根代入中化簡即可，選項C由值域為任意實數(shù)得到滿足條件的不等式，解出即可，選項D利用函數(shù)單調性建立不等式組解出即可.【詳解】令，則，函數(shù)是定義域為的單調函數(shù)，因為，所以，解得，所以．對于選項A：，故A正確；對于選項B：若關于的方程（）有2個不相等的實數(shù)根，則，即，因為，所以，所以，故B選項正確；對于選項C：函數(shù)的值域為，則，即或，故C不正確，對于選項D：由函數(shù)滿足對任意的實數(shù)，且，都有成立，所以函數(shù)在上單調遞增，所以，故D選項正確，故選：ABD.12．若對任意的實數(shù)，都存在以，，為三邊長的三角形，則正實數(shù)的可能取值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】BCD【分析】由題可得恒成立，令，可得對任意恒成立，然后結合對勾函數(shù)及不等式的性質即得.【詳解】因為，，所以，所以恒成立，令，則對任意恒成立，因為當時，，所以，，故.故選：BCD.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.三、填空題13．已知扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的面積為______．【答案】##【分析】利用扇形弧長公式和面積公式即可求得結果.【詳解】由題意知，圓心角為，弧長為，設扇形半徑為，根據(jù)弧長公式得，則扇形面積.故答案為：14．______．【答案】1【分析】利用兩角和的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以．故答案為：1.15．定義在上的函數(shù)滿足，且，則______．【答案】【分析】根據(jù)題意確定函數(shù)的周期即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以函數(shù)以為周期，所以，因為，令得，所以，所以，故答案為:.16．已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②函數(shù)為偶函數(shù)；③當時，，若關于的不等式的整數(shù)解有且僅有6個，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)性質可知函數(shù)關于，對稱，且周期為4，再利用上的解析式，畫出函數(shù)圖象，有數(shù)形結合即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)可知，函數(shù)關于對稱，且，即，又，關于對稱，所以，即，可得函數(shù)的周期，當時，可得其圖象如下所示：由對稱性可知，當時滿足不等式的整數(shù)解有3個即可，根據(jù)圖示可得，解得，即故答案為：四、解答題17．（1）已知，求的值；（2）計算：．【答案】（1）（2）【分析】(1)根據(jù)正切找到正余弦的關系，代入求出，化簡原式求解.(2)根據(jù)公式化簡求解.【詳解】（1）即又因為，所以所以（2）因為所以18．已知函數(shù)．(1)求的值；(2)求的單調遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)化簡成，即可計算出的值；（2）利用整體代換法即可求得單調遞增區(qū)間．【詳解】（1）由可得，所以即（2）由可知，時，的單調遞增，即，所以的單調遞增區(qū)間為19．已知．(1)若是的一個內(nèi)角，且，求的值；(2)已知，，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)誘導公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍即可求的值；(2)利用余弦的兩角和公式求解.【詳解】（1）由題可得，所以，因為，且是的一個內(nèi)角，所以.（2）因為，所以，則，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以因為，所以，所以，所以.20．已知函數(shù)（且）．(1)判斷的單調性并用定義法證明；(2)若，求在上的值域．【答案】(1)當時，單調遞增，當時，單調遞減，證明見解析.(2)【分析】（1）任取且，作差判斷符號即可判斷單調性；（2）由可得，根據(jù)將轉化成一元二次函數(shù)形式，利用一元二次函數(shù)的圖像和性質求解即可.【詳解】（1）當時，單調遞增；當時，單調遞減，證明如下：任取且，，因為，所以當時，，則，即，單調遞增；當時，，則，即，單調遞減.（2）因為即解得或（舍去），所以，，所以，由（1）得當時單調遞減，所以當時，，令，則，一元二次函數(shù)對稱軸為，所以在上單調遞減，且，，所以在上的值域為.21．已知函數(shù)．(1)當時，判斷的奇偶性并證明；(2)若函數(shù)的圖象上存在兩點，，其關于軸的對稱點，恰在函數(shù)的圖象上，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)偶函數(shù)(2)【分析】（1）結合對數(shù)運算，根據(jù)奇偶性的定義判斷即可；（2）由題知函數(shù)關于軸對稱的函數(shù)為，進而將問題轉化為方程有兩個實數(shù)根，進一步結合對數(shù)運算得以在上有兩個實數(shù)根，再結合換元法，二次函數(shù)性質,數(shù)形結合求解即可.【詳解】（1）解：當時，，定義域為，，所以，為偶函數(shù).（2）解：函數(shù)的定義域為，設函數(shù)關于軸對稱的函數(shù)為，設是上的任意一點，則在函數(shù)圖象上，即，所以，因為函數(shù)的圖象上存在兩點，，其關于軸的對稱點，恰在函數(shù)的圖象上，所以方程恰有兩個實數(shù)根，即恰有兩個實數(shù)根，，所以，恰有兩個實數(shù)根，即在上恰有兩個實數(shù)根，所以在上恰有兩個實數(shù)根，令，則在上恰有兩個實數(shù)根，所以函數(shù)與圖象恰有兩個交點，因為，當時，，所以，作出其函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，當時，函數(shù)與圖象恰有兩個交點，所以，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】22．已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足，且對任意，，恒有．(1)求；(2)求證：對任意，，恒有：；(3)是否存在實數(shù)，使得不等式對任意的恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】(1)根據(jù)設，令即可求解；(2)令，有，再令即可證明；（3）根據(jù)函數(shù)的單調性以及用換元法，轉化為分類討論二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值求解.【詳