特別值法在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——特別值法在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘要：文章談了特別值法在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。在考試中有些數(shù)學(xué)題采用一般方法很難求解，在這時(shí)可以選擇代入特別值，以達(dá)到簡化題目、減少思維量的效果。

主題詞：數(shù)學(xué)高考特別值法簡化應(yīng)用

隨著高考的日益鄰近，各位考生進(jìn)入了緊張的備戰(zhàn)階段，如何在短時(shí)間內(nèi)使數(shù)學(xué)成績突飛猛進(jìn)成為大家關(guān)心的問題。身為一個(gè)過來人，我想把我的經(jīng)驗(yàn)傳授給大家，讓大家能在高考的考場上得心應(yīng)手，取得好成績。

第一，在高考場上要放松心態(tài)，抱著一顆沖擊別人的心態(tài)來考試，譬如你平日剛上重本線，可以把自己的目標(biāo)定為上一個(gè)很好的二本即可，既沒有超出你能力范圍，又沒有給你自己太大的壓力，有利于考出好成績。假使實(shí)在很緊張，還有一種很好的方法，就是在考試的前一天完全放棄看書，去親近自然，接觸自然，相信自己，給自己以良好的示意，這樣你就一定能在考場上發(fā)揮出平日的水平，甚至超常發(fā)揮。

其次，在最終一個(gè)月內(nèi)要確鑿把握書本上的知識點(diǎn)，把握基本方法、基本技巧，這樣即使你做不出最終一題，也能保證較高的分?jǐn)?shù)。

第三，在把握了基本的知識和技巧之后你就需要一定的應(yīng)試技巧來取得成功，這些技巧好多，如直接法，數(shù)行結(jié)合法，大致求解法，特別值法，等等。這里著重介紹特別值法在數(shù)學(xué)高考中的應(yīng)用。

特別值法的定義：解數(shù)學(xué)題時(shí)，假使直接解原題有時(shí)難以入手，不妨先考察它的某些簡單的特例，通過解答這些特例，最終達(dá)到原題的目的。這種解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，尋常稱為“特別值法〞。［１］

特別值法的理論基礎(chǔ)：對于一般性成立的結(jié)果，特別值則一定成立，而當(dāng)特別值成立時(shí)一般性的結(jié)果不一定成立。這是很簡單的一個(gè)思維規(guī)律，我們可以通過顯而易見的簡單得出結(jié)果的特別值進(jìn)行運(yùn)算，得出結(jié)果再與答案相比較，選出正確答案的方法。

如：要證明（教材基礎(chǔ)）：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性。

證：先證相鄰對換的情形。

設(shè)排列為a…aabb…b，對換a和b，變?yōu)閍…abab…b.顯然，a，…，a;b，…，b這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過對換并不改變，而a，b兩元素的逆序數(shù)改變?yōu)椋寒?dāng)a＜b時(shí)，經(jīng)對換后a的逆序數(shù)增加1而b的逆序數(shù)不變;當(dāng)a＞b時(shí)，經(jīng)對換后a的逆序數(shù)不變而b的逆序數(shù)減少1.所以排列a…aabb…b與排列a…abab…b的奇偶性不同。

再證一般對換的情形。

設(shè)排列為a…aab…bbc…c，把它當(dāng)作m次相鄰對換，變成a…aabb…bc…c，再做m+1次相鄰對換，變成a…abb…bac…c.總之，經(jīng)2m+1次相鄰對換，排列a…aab…bbc…c，變成排列a…abb…bac…c，所以這兩個(gè)排列的奇偶性相反。［2］

從這道證明題可以看出由一般到特別的思想和方法在數(shù)學(xué)中隨處可見，所以我們要充分利用這一點(diǎn)，想到一般性的結(jié)論同樣也適用于特別性。我們可以利用這一點(diǎn)來解決高考數(shù)學(xué)中的滿足一般性結(jié)論的選擇和填空題來達(dá)到事半功倍的效果。

第一種狀況：數(shù)列問題

例1.（2023重慶卷理）設(shè)a=2，a=，b=，n∈N，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=b=?搖?搖?搖?搖.

由條件得b===2=2b，且b=4所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則b=42=2.

然而假使我們在考場上沒有發(fā)現(xiàn)b=2b，我們該怎么辦呢？這時(shí)我們可以用特別值法來求解，由于a=2，由上述所給條件可得b=4，b=8，b=16，b=32，b=64，由此我們可以猜測出b=2。但假使這是道簡答題怎么辦呢？這時(shí)我們也可以利用猜測出的結(jié)論來引導(dǎo)思路。由于b的結(jié)果是等比數(shù)列，我們依照等比數(shù)列求法的一般方法即b/b來求，也可以輕易地得出答案，所以特別值法在這解題中也是十分有用的。

例2.（2023四川卷理）已知等比數(shù)列（a）中a=1，則其前3項(xiàng)的和S的取值范圍是（）。

A.（-∞，-1］B.（-∞，0）∪（1，+∞）

C.［3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）

∵等比數(shù)列（a）中a=1，∴當(dāng)公比為1時(shí)，a=a=a=1，S=3.當(dāng)公比為-1時(shí)，a=-1，a=1，a=-1，S=-1，從而淘汰A、B、C，應(yīng)選D。這樣解可以儉約好多時(shí)間。

例3.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列（a）中，若aa=9，則loga+loga+loga+loga+…loga的值為（）。

A.12B.10C.8D.20

此題假使依照一般的計(jì)算法則loga+loga+loga+loga+…loga=logaaa…a，再求解之是十分麻煩的。此時(shí)我們可用一種巧妙的方法來解答，我們可以把公比q=1，則a=3，a=3，再代入求解會很簡單得出答案。但需注意的是這種解法不能運(yùn)用在簡答題中。

其次種狀況：三角函數(shù)問題

例4.（2023四川卷理）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，則α的取值范圍是（）。

A.，B.，πC.，D.，

∵sinα＞cosα∴sinα-cosα＞0，即2sinα-cosα=2sinα-＞0.又∵0≤α≤2π，∴-≤α-≤，∴0≤α-≤π，即x∈，，應(yīng)選C.

這時(shí)假使我們用特別值法可以通過比較答案找出特別值，即將π/2，π，4π/3，3π/2直接代入即可知π/2，π滿足，且4π/3時(shí)兩式的值相等，由此可得正確答案為C。比按一般步驟算要快得多，且不簡單出錯(cuò)。

第三種狀況：不等式問題

例5.（2023全國文）不等式＞0的解集是（）。

A.（-2，1）B.（2，+∞）

C.（-2，1）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（1，+∞）

此題也可以用特別值法進(jìn)行求解，首先通過比較代入3，此時(shí)符合題意，再帶入數(shù)字0此時(shí)也符合運(yùn)算結(jié)果，所以答案應(yīng)選擇C。我們不難發(fā)現(xiàn)這種方法很實(shí)用，只需觀測即可得到正確的結(jié)果。

例6.（2023重慶卷理）不等式x+＞2的解集是（）。

A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，-1）∪（0，1）

C.（-1，0）∪（0，1）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

此題的解法如上題，找到四個(gè)選項(xiàng)不同之處帶入-和2，即可知道正確答案是A。

第四種狀況：體積問題

例7.直三棱柱ABC-ABC的體積為V，P、Q分別為側(cè)棱AA、CC上的點(diǎn)，且AP=CQ，則四棱錐B-APQC的體積為（）。

A.VB.VC.VD.V

分析：由于上、下底三角形形狀未定，P、Q可移動(dòng)，直接找V與V之間的關(guān)系不大便利，在此可考慮：當(dāng)P趨向A，Q趨向C時(shí)，V趨向V=V=V，應(yīng)選B。［１］這道題用此方法就簡單好多。

數(shù)學(xué)作為一門