新人教版第十六章分式教案

第十六章分式

教材分析

本章的主要內(nèi)容包括：分式的概念，分式的基本性質(zhì)，分式的約分與通分,

分式的加、減、乘、除運算，整數(shù)指數(shù)幕的概念及運算性質(zhì)，分式方程的概念

及可化為一元一次方程的分式方程的解法。

全章共包括三節(jié)：

16.1分式

16.2分式的運算

16.3分式方程

其中，16.1節(jié)引進分式的概念，討論分式的基本性質(zhì)及約分、通分等分

式變形，是全章的理論基礎(chǔ)部分。11.2節(jié)討論分式的四則運算法則，這是全

章的一個重點內(nèi)容，分式的四則混合運算也是本章教學(xué)中的一個難點，克服這

一難點的關(guān)鍵是通過必要的練習掌握分式的各種運算法則及運算順序。在這一

節(jié)中對指數(shù)概念的限制從正整數(shù)擴大到全體整數(shù)，這給運算帶來便利。11.3

節(jié)討論分式方程的概念，主要涉及可以化為一元一次方程的分式方程。解方程

中要應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，并且出現(xiàn)了必須檢驗（驗根）的環(huán)節(jié)，這是不同于

解以前學(xué)習的方程的新問題。根據(jù)實際問題列出分式方程，是本章教學(xué)中的另

一個難點，克服它的關(guān)鍵是提高分析問題中數(shù)量關(guān)系的能力。

分式是不同于整式的另一類有理式，是代數(shù)式中重要的基本概念；相應(yīng)地,

分式方程是一類有理方程，解分式方程的過程比解整式方程更復(fù)雜些。然而，

分式或分式方程更適合作為某些類型的問題的數(shù)學(xué)模型，它們具有整式或整式

方程不可替代的特殊作用。

借助對分數(shù)的認識學(xué)習分式的內(nèi)容，是一利類比的認識方法，這在本章學(xué)

習中經(jīng)常使用。解分式方程時，化歸思想很有用，分式方程一般要先化為整式

方程再求解，并且要注意檢驗是必不可少的步驟。

（二）本章知識結(jié)構(gòu)框圖

（三）課程學(xué)習目標

本章教科書的設(shè)計與編寫以下列目標為出發(fā)點：

1.以描述實際問題中的數(shù)量關(guān)系為背景，抽象出分式的概念，體會分式是

刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一類代數(shù)式。

2.類比分數(shù)的基本性質(zhì)，了解分式的基本性質(zhì)，掌握分式的約分和通分法

則。

3.類比分數(shù)的四則運算法則，探究分式的四則運算，掌握這些法則。

4.結(jié)合分式的運算，將指數(shù)的討論范圍從正整數(shù)擴大到全體整數(shù)，構(gòu)建和

發(fā)展相互聯(lián)系的知識體系。

5.結(jié)合分析和解決實際問題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌

握這種方程的解法，體會解方程中的化歸思想。

（四）課時安排

本章教學(xué)時間約需13課時，具體分配如下：

16.1分式2課時

16.2分式的運算6課時

16.3分式方程3課時

數(shù)學(xué)活動小結(jié)3課時

16?1?1分式（1）

一、教學(xué)目標

1、使學(xué)生了解分式的概念，明確分式中分母不能為0是分式成立的條件。

2、使學(xué)生能求出分式有意義的條件。

3、通過對分式的學(xué)習，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想。

二、教學(xué)重點、難點

重點：理解分式的概念，明確分式成立的條件。

難點：明確分式有意義的條件。

三、教學(xué)方法：分組討論

四、教學(xué)過程

問題情境1、在小學(xué)人們學(xué)習了分數(shù)，那么5+3可以寫成什么？

2、根據(jù)上面的問題，填空：

（1）長方形的面積為10cm?,長為7cm,寬cm；長方形的面積為S,長為a,

寬應(yīng)為o

（2）把體積為200cm的水倒入底面積為33cm2的圓柱形容器中，水面高度為

cm；把體積為V的水倒入底面積為S的圓柱形容器中，水面高度為o

新課：請同學(xué)們根據(jù)問題1的回答，回答出第2題的問題。教師與學(xué)生一起及

時糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯誤。

10200v

學(xué)生回答，教師寫出答案：,丁。（2）WT，qo

新課：下面請同學(xué)們看一下這四個式了，看它們有什么相同點和不同點？

10200

學(xué)生根據(jù)自己的觀察，說出〒、不是分數(shù)，是整式。而另兩個式子,

看他們有什么特點,請同學(xué)們自己總結(jié)一下,學(xué)生說出分母中有字母。

請大家歸納一下這個式子是什么式子,有什么特點?學(xué)生回答分母中含有字母。

A

學(xué)生歸納：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子萬

叫分式。

引導(dǎo)學(xué)生回答出，（1）分式與分數(shù)一樣，A叫分子，B叫分母。那么小學(xué)學(xué)習過

的分數(shù)中的分母有什么限制，（分母不能為零。）分式中對分母的要求也是分母

不能為零。對于分式分母為零時分式才有意義。

（2）分母中含有字母。

請同學(xué)們再舉出一些分式的例子。

例1填空：

2x

（1）當x時，分式不有意義。（2）當x時，分式Q有意義。

1

（3）當b時，分式5-3b有意義。

（4）當x、y滿足關(guān)系時，分式不有意義。

2

解（1）當分母3xW0時，xW0時，分式37有意義。

（2）當分母xTW0時，xW1時，分式x-1有意義。

_5]

（3）當分母5-3bW0時，bW9時，分式5-35有意義。

（4）當分母x-yW0時，xWy時，分式x-y有意義。

教師與學(xué)生共同討論完成。學(xué)生說出解題過程，教師板書。

學(xué)生歸納總結(jié)：（1）分式有意義，分母不能為0。這是分式有意義的前提。

（2）注意解題格式，分式有意義與分子無關(guān)。

（3）請同學(xué)們總結(jié)一下分式什么條件下沒有意義？

五、課堂練習：教材第6頁1、2、3題。

教師巡視，指出學(xué)生練習中的錯誤。

六、小結(jié)：請同學(xué)們總結(jié)下本節(jié)課里你有哪些收獲？

學(xué)生說出結(jié)論，教師補充。

七、作業(yè)：教材第11頁2、3題。

八、教學(xué)反思：

這一課學(xué)生對什么是分式掌握較好，能區(qū)分整式與分式，對保證分式有意義需

滿足什么條件能很好地指出來。

16?1?2分式的基本性質(zhì)⑴

一、教學(xué)目標

1、使學(xué)生理解分式的基本性質(zhì)。

2、使學(xué)生運用分式的基本性質(zhì)對分式進行恒等變形。

3、通過對分式的基本性質(zhì)的學(xué)習培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力。

二、教學(xué)重點、難點

重點：理解分式的基本性質(zhì)。

難點：分式基本性質(zhì)的運用。

三、教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)

四、教學(xué)過程

復(fù)習提問：1、什么叫分式？

2、小學(xué)學(xué)習的分數(shù)的基本性質(zhì)是什么？舉例說明。

引言：我們小學(xué)學(xué)習了分數(shù)的基本性質(zhì)，今天我們?yōu)閷W(xué)習分式的基本性質(zhì)。

新課：根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，分式可仿照分數(shù)的性質(zhì)

act-caa丁c

b=bc；b-b*c(CWO)。

請同學(xué)們根據(jù)上面的式子和以前學(xué)過的分數(shù)的基本性質(zhì)，總結(jié)出分式的基本性

質(zhì)是什么？學(xué)生回答出來，教師及學(xué)生補充完整。

分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變。

aa-caa+c

b=bc；b=b'c(CWO)

注意：分式的基本性質(zhì)的條件是乘(除以)一個不等于。的整式。

指出分式的性質(zhì)與分數(shù)的性質(zhì)的不同，乘以(除以)一個不等于0的整式。分

數(shù)是乘以(除以)一個不等于0的數(shù)。

例1填空：

a+b()2a()

(1)ab=a2b；a2=a2b0

x2+xyx+/x()

(2)x2=()；x2-2x=x-2o

分析：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分式的基本性質(zhì)，來對分式進行化簡。(1)是乘以一個整

式ab,注意是分子和分母都乘以這個整式。(2)是分子和分母都乘以b,分式的

2

值不變。(3)是分子x+xy=x(x+y),對照分子，可以看出分子和分母都除以x,

2

分式的值不變，所以X。(4)把分母分解因式x-2x=x(x-2),對照分母，可以看

出分子、分母都除以x,分式的值不變，所以填1。

解：略。

五、課堂練習：教材第11頁，4題。

教師巡視，與學(xué)生一起來完成練習。及時糾正練習中的錯誤。

六、小結(jié)：請同學(xué)們總結(jié)下本節(jié)課里你有哪些收獲？

分式的基本性質(zhì)成立的條件是都乘以或除以一個不等于0的整式。

七、作業(yè)：教材第11頁4題。

八、教學(xué)反思：

這一課學(xué)生能用類比的方法很快從分數(shù)的基本性質(zhì)得到分式的基本性質(zhì)。但在

實際運用中還有些同學(xué)對用字母表示的式子不習慣。

16?1?2分式的基本性質(zhì)⑵

一、教學(xué)目標

1、使學(xué)生在理解分式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上對分式進行通分和約分。

2、通過對分式的化簡來提高學(xué)生的運算能力。

3、通過對分式化簡的學(xué)習，滲透類比轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

二、教學(xué)重點、難點

重點：分式的通分和約分。

難點：靈活運用分式基本性質(zhì)進行分式的通分和約分。

三、教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)

四、教學(xué)過程

復(fù)習提問：1、分式的基本性質(zhì)是什么？

2、小學(xué)學(xué)習的分數(shù)的約分和通分的意義是什么？

1111

把2與后通分，把18約分。

3、寫出乘法公式的平方差公式和完全平方公式。

學(xué)生回答問題,教師及時指出學(xué)生出現(xiàn)的錯誤。

引言：我們上節(jié)學(xué)習了分數(shù)的基本性質(zhì)，今天我們來學(xué)習分式基本性質(zhì)的運

用。

新課：根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，我們可看可以對分數(shù)進行通分和約分，怎樣對分

數(shù)進行約分和通分在練習中已經(jīng)復(fù)習過了，下面我們利用分式的基本性質(zhì)來對

分式進行通分和約分。看下面的例題。

?25-2-c3x2?9

例1約分：(1)15ab2c；(2)x2+6x+9

232

分析：(1)-25abe與15abc的公因式為5abc,與因式分解的公因式的確定

一樣。

222

(2)分子x-9=(x+3)(x-3);分母x+6x+9=(x+3),這樣分子與分母的公因式就

確定了，可以進行約分了。由例題知約分最關(guān)鍵的是把公因式約去，所以公因

式的確定是主要的，多項式則先分解因式，然后約分。

解：略。

例2通分：

3a-b2x3x

(1)2a25與ab2c；(2)x-5與x+5o

分析：

引導(dǎo)學(xué)生歸納出分式通分的過程和依據(jù)。

2222

(1)先確定分母2ab與abc的最簡公分母是2abe。然后乘以一個適當?shù)?/p>

整式。(2)最簡分母是(x+5)(x-5).(3)解題時分子與分母同乘以或除以同一個

整式。約分的關(guān)鍵是最簡公分母的確定，對單項式來說，系數(shù)是最小公倍數(shù)，

相同字母取指數(shù)最高次第；對多項式來說，先分解因式，然后取相同項的最高

次幕。

五、課堂練習：教材第10頁，1、2題。教師巡視，學(xué)生練習。

六、小結(jié)：通過對分式的通分和約分的學(xué)習你有哪些收獲？

在解題時應(yīng)注意哪些問題？

七、作業(yè)：教材第11頁6、7題。

八、教學(xué)反思：

這一課學(xué)生對通分和約分的基本步驟掌握的比較好，但約分的時候也有忘了遇

到多項式要進行因式分解的，通分的時候找最簡公分母找不準的。

16?2分式的運算⑴

分式的乘除法

一、教學(xué)目標

1、使學(xué)生在理解分式的乘除法法則,并用法則進行運算.

2、通過對分式的乘除法的學(xué)習，在四、教學(xué)過程中體現(xiàn)類比的轉(zhuǎn)化思想。

二、教學(xué)重點、難點

重點：分式的乘除法運算。

難點：分子與分母是多項式時的分式的乘除法。

三、教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)

四、教學(xué)過程

215.315

復(fù)習提問：1、分數(shù)的乘除法的法則是什么？計算：5x斤5；5-V

2、什么是倒數(shù)？

學(xué)生計算并回答問題，教師及時糾正出現(xiàn)的錯誤。

引言：我們在小學(xué)學(xué)習了分數(shù)的乘除法，對于分式如何來進行計算呢？這就是

我們這節(jié)要學(xué)習的內(nèi)容。

新課：學(xué)生閱讀教材13頁引例。

293x1531532

由(1)分數(shù)的計算得：5X1萬=5x12；54-V=5X15

3x2

=5x15

根據(jù)上面的計算，請同學(xué)們總結(jié)一下對分式的乘除法的法則是什么？學(xué)生說出

自己的想法，師生共同總結(jié)分式的乘除法的法則。

分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，用分母的積作積

的分母。

分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除

式相乘。

ac以cacad??d

b?dd；b4-d=b?c=be。

例1計算：

4xyab3-5a2b2

(1)3y-2x3⑵2c24-4cd

分析：這兩題就是分式乘除法的運用。由學(xué)生根據(jù)法則來進行計算,教師與學(xué)

生把解題過程補充完整。

解：略

例2計算：

以2?4，+4以]]

(1)a2-2a+la2-4(2)49-掰2+m2-7m

分析：這兩題是分子與分母是多項式的情況，首先要因式分解，然后運用法則。

(a-2)2a-1a+2

解(1)原式=(a-l)2?(a+2)(a-2)=(a+l)(a+2)

]]

(2)原式=(7-w)(7+w)4-w(w-7)

1m(M-7)m

=(7-m)(J+m)-1--m+l

例3：“豐收1號”小麥試驗田邊長為a米的正方形減去一個邊長為1米的正方

形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田邊長為(a-1)米的正方形,

兩塊試驗田的小麥都收獲了500千克。

(1)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？

(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？

分析：本題的實質(zhì)是分式的乘除法的運用。

解(1)(略)

500500500(a-l)2a+1

(2)(a-l)24-(a2-l)=(a-l)2500=

以+1

“豐收2號”小麥單位面積產(chǎn)量是“豐收1號”小麥單位面積產(chǎn)量的了T倍。

五、課堂練習：教材第16頁，1、2、3題。教師巡視，學(xué)生練習。教師及時糾

正練習中的錯誤。指明錯誤的原因。

六、小結(jié)：通過對分式的乘除法的學(xué)習在解題時應(yīng)注意哪些問題？

七、作業(yè)：教材第27頁1、2題。

八、教學(xué)反思：

這一課乘法法則與除法法則學(xué)生都掌握得很好，但有些學(xué)生遇到分子、分母是

多項式時沒有去因式分解。

16?2?1分式的運算⑵

分式的乘方

一、教學(xué)目標

1、使學(xué)生在理解和掌握分式的乘除法法則的基礎(chǔ)上，運用法則進行分式的乘除

法混合運算。

2、使學(xué)生理解并掌握分式乘方的運算性質(zhì)，能運用分式的這一性質(zhì)進行運算。

—班學(xué)重占難占

重工：分式而乘除媒合運算和分式的乘方。

難點：對乘方運算性質(zhì)的理解和運用。

三、教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)

四、教學(xué)過程

復(fù)習提問：1、敘述分式的乘除法法則。

2、小學(xué)學(xué)習的乘除法運算法則是什么？

引言：我們在上節(jié)學(xué)習了分式的乘除法，對于分式乘除混合運算如何來進行計

算呢？對于整式的乘方我們學(xué)習過，對分式來說如何計算呢？這就是我們這節(jié)

要學(xué)習的內(nèi)容。

新課：由復(fù)習提問3知(已)2弋|=1|,

(b)3=ubb=bi，根據(jù)以上計算可以直接說出下面兩題的結(jié)果.

gioalOanan

(b)Tio%)F。

請同學(xué)們根據(jù)復(fù)習提問3總結(jié)出分式乘方的法則是什么，教師根據(jù)學(xué)生的

回答歸納總結(jié)出法則。

分式乘方，把分子、分母分別乘方。

a

nan

b-

1-bn°

例

計:

1算X

{.3x

23

一’25x2-9'5x+3

解1.)

?52X

原X

式-3(5x+3)(5x-3)x

5X-35x+3

2x2

分式的乘除法混合運算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式約去。注意

運算順序。

例2計算：

/、-2a2b、2,a2b、3.2a__c_2

⑴（丁）:⑵7cdS)丁布?五)

分析：（1）題是分式乘方的運用，可直接運用公式。（2）運算順序是先乘方，然

后是乘除。要注意運算時的符號。

解：

4a4b2

（1）原式=

9c2

a6b3.包,c2

（2）原式=

c3d92a4a2

a3b3

8cd6

注意在解題時正確地利用幕的乘方及符號。

五、課堂練習：教材第18頁，1、2題。教師巡視，學(xué)生練習。及時更正練習

中出現(xiàn)的問題。

六、小結(jié)：主要內(nèi)容是分式的乘除混合運算和分式的乘方運算。

七、作業(yè)：教材第27頁3題。

八、教學(xué)反思：

這一課學(xué)生在解決乘方的問題上還比較順手，就是在符號問題上有些要弄錯。

16?2?2分式的加減⑴

一、教學(xué)目標

1、使學(xué)生在理解分式的加減法法則，并用法則進行運算。

2、通過對分式的加減法的學(xué)習，提高學(xué)生的計算能力。

二、教學(xué)重點、難點

重點：分式的加減法運算。

難點：異分母分式的加減法運算。

三、教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)

四、教學(xué)過程

復(fù)習提問：1、分數(shù)的加減法的法則是什么？

121_2111_1

計算：5+5,5-5,2+312-3°

2、分式的乘方性質(zhì)是什么？用式子表示出來。

學(xué)生計算并回答問題，教師及時糾正出現(xiàn)的錯誤。

引言：我們在小學(xué)學(xué)習了分數(shù)的加減法，對于分式的加減如何來進行計算呢？

這就是我們這節(jié)課要學(xué)習的內(nèi)容。

新課：學(xué)生閱讀教材18頁引例，并寫出式子來表示。

由復(fù)習提問1是根據(jù)分數(shù)加減法而得到的，與分數(shù)減法性質(zhì)相同,分式也

可以進行加減法運算，請同學(xué)們類比分數(shù)的加減法則，總結(jié)一下分式的加減法

法則是什么?學(xué)生根據(jù)自己的理解說出分式加減法法則,最后教師把答案加以總

結(jié)。

分式加減法法則：

同分母分式相加減，分母不變，分子相加減。

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減。

aba+bacadbead+bc

c+cV;E3R/。

例i計算：

5x+3y2x11

(1)x2-y2-x2-y2⑵2P+3q+2p-3q

分析：這兩題就是分式加減法的運用。(1)是同分母分式的加減法，直接用法

則就可以了。(2)是異分母分式的加減法，過程是先通分，通分的依據(jù)是分式

的基本性質(zhì)，化為同分母分式，然后再加減。師生共同來解兩個題。教師寫出

解題過程。

解(1)原式一x2-y2--(x+y)(x-y)而

l(2p-3q)1(2p+3q)

{)原“一(2p+3q)(2p-3q)(2p+3q)(2p-3q)

2p-3q+2P+3q

(2p+3q)(2p-3q)

4P

(2p+3q)(2p-3q)

_4P

-4p2-9q2°

教師在解題時強調(diào)分式計算的結(jié)果必須化為最簡分式?？梢韵?qū)W生簡單介紹最

簡分式的有關(guān)知識，可與最簡分數(shù)相類比。

五、課堂練習：教材第20頁，1、2、題。教師巡視，學(xué)生練習。

六、小結(jié)：通過對分式的加減法的學(xué)習你有哪些收獲？

七、作業(yè)：教材第27頁4題。

八、教學(xué)反思：

這一課學(xué)生在同分母分式相加減顯得很輕松，但在異分母分式相加減通分的時

候還是容易出錯。

16?2?2分式的加減(2)

一、教學(xué)目標

1、使學(xué)生在掌握分式的加減法法則的基礎(chǔ)上,用法則進行分式的混合運算。

2、通過對分式的加減法的進一步學(xué)習，提高學(xué)生的計算能力和分式的應(yīng)用能力。

3、在分式運算過程中培養(yǎng)學(xué)生具有一定代數(shù)化歸的能力，培養(yǎng)學(xué)生樂于探究、

合作交流的習慣，進一步培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的意識”。

二、教學(xué)重點、難點

重點：分式的加減法混合運算。

難點：正確熟練進行分式的運算。

三、教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)

四、教學(xué)過程

復(fù)習提問：1、分式的加減法的法則是什么？

2、有理數(shù)的混合運算法則是什么？

學(xué)生回答問題，教師及時糾正出現(xiàn)的錯誤。

引言：我們在上節(jié)學(xué)習了分式的加減法，這就是我們學(xué)習分式混合運算。

新課：

在實際生活中我們會經(jīng)常用到電，在電路中的并聯(lián)和串聯(lián)，對于并聯(lián)電路總

電阻與各分電阻之間有什么關(guān)系呢？學(xué)生回答。在下面的問題就是一個與生活

密切相關(guān)的實際問題。

例1、如圖的電路中，已測定CAD支路的電阻R1歐姆，又各CBD支路的電阻R2

比R1大50歐姆，根據(jù)電學(xué)定律可知總電阻R與RI、R2滿足關(guān)系式:/+需

1\I\1K乙

試用含R1的式子表示總電阻R。

分析：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了電學(xué)，可知關(guān)系式了：三+而+…o

KKIKNKn

11J

相

沏

因11

R---+------

R1R2RIR1+50

Rl+50RI_______2R1+50

~R1(Rl+50)+R1(Rl+50)-R1(Rl+50)

即1_2R1+50

1：R-R1(Rl+50)

RI(Rl+50)R12+50R1

所以所2R1+50-2R1+50°

教師在解題時引導(dǎo)學(xué)生把RI看作是已知數(shù)，分清已知和未知是主要的。

“，八、，生，2a.21ab

例2、計算：(1)?----4--

ba-bb4

解：(略)

分式的混合運算與有理數(shù)的運算順序相同，先乘方，然后乘除，最后加減。

五、課堂練習：教材第22頁，1、2、題。學(xué)生練習，教師巡視。教師及時更

正學(xué)生練習中出現(xiàn)的錯誤并找出出現(xiàn)錯誤的原因。

六、小結(jié)：通過對分式的混合運算的學(xué)習你覺得在本節(jié)中最大的收獲是什么？

七、作業(yè)：教材第27頁5題。

八、教學(xué)反思：

這課學(xué)生對數(shù)與式有相同的混合運算順序掌握得較好，但有個別不夠細心。

16.2.3整數(shù)指數(shù)累(1)

一、教學(xué)目標

1、經(jīng)歷探索負整數(shù)指數(shù)累和零指數(shù)幕的運算性質(zhì)的過程，進一步體會幕的意義,

發(fā)展代數(shù)推理能力和有條理的表達能力。

2、了解負整數(shù)指數(shù)的概念，了解毒運算的法則可以推廣到整指數(shù)幕。

3、會進行簡單的整數(shù)范圍內(nèi)的幕運算。

二、教學(xué)重點

負整數(shù)指數(shù)臬的概念

三、教學(xué)難點

認識負整數(shù)金數(shù)幕的產(chǎn)生過程及塞運算法則的擴展過程。

四、教學(xué)過程

溫故知新

你還記得下面這些算式的算式的算法嗎？比一比，看一看誰做得又快又好：

35

(1)3X3(2)(3)(1)3(4)(加〃)4(5)爐+/(6)『七『m

37”

2、你還記得“0=1(。*°)是怎么得到的嗎？

探究新知

根據(jù)除法的意義填空，看看計算結(jié)果有什么規(guī)律？

7857

3^3=-=4T10^10=-=4T?^a5=_=1

(1)3((2)10((3)小

如果我們要使運算性質(zhì)儲"十優(yōu)="I在這里(即時Yn)也可以適用，你認為

該作怎樣的規(guī)定呢？

教師可以鼓勵學(xué)生先運用自己的語言進行描述，然后自學(xué)課本第P23頁。要指

出有了這一新規(guī)定后，罐:屋=屋”"的適用范圍就擴大到所有整數(shù)指數(shù)。

應(yīng)用新知

課本第25頁練習第1題。

對第(2)小題的計算要求學(xué)生看明底數(shù)，并寫出中間的轉(zhuǎn)化過程，教師可示范。

再探新知

現(xiàn)在我們考慮：在引入負整數(shù)指數(shù)和零指數(shù)后，amxan=a'n+n5、n是正整數(shù))

這條性質(zhì)能否擴大到m、n是整數(shù)的情形？請完成下列填空：

a3xa~5-a3?=a()="()+()

即/XQ-5=a()+()

〃晨〃-5_1.1_1_〃()_〃()+()

…一萬萬一萬一"i

gpa'3xa~5=a()*()

a°xa5)?-=a()=J)+。

cr'

g|ja°xa-5)”)

從中你想到了什么？

舉例：再換其他整數(shù)指數(shù)驗證這個規(guī)律。

歸納：優(yōu)“優(yōu)=優(yōu)，+"這條性質(zhì)對mn是任意整數(shù)的情形都適用。

(am)n=amn,(ab)n=anbn,(-)n=—

繼續(xù)舉例探究：bb"在整數(shù)指數(shù)基范圍內(nèi)

是否適用O

第4環(huán)節(jié)由學(xué)生在小組內(nèi)合作完成，并抽取其中一個小組板演。

補充例題

計算：

2

（1）2008°x（-2f（2）3.6x10-3（3）（—4）7x（—4

⑷（3）⑸/"xqf⑹（2尸）-3

六、小結(jié)：你這節(jié)學(xué)會了什么？

七、教學(xué)反思：

這一課學(xué)生對負整數(shù)指數(shù)暴有點不習慣，需再繼續(xù)不斷的強調(diào)，以加深學(xué)生的

印象。

16.2.3整數(shù)指數(shù)第（2）

一、教學(xué)目標

1.知識與技能：理解負指數(shù)界的性質(zhì)，正確熟練地運用負指數(shù)累公式進行計算,

會用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù).

2.過程與方法：通過塞指數(shù)擴展到全體整數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生抽象的數(shù)學(xué)思維能力，

運用公式進行計算，培養(yǎng)學(xué)生綜合解題的能力和計算能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀：在數(shù)學(xué)公式中滲透公式的簡潔美、和諧美，隨著學(xué)習

的知識范圍的擴展，產(chǎn)生對新知識的渴望與追求的積極情感，讓學(xué)生形成辯證

統(tǒng)一的哲學(xué)觀和世界觀.

教學(xué)重點難點

重點：1解前應(yīng)用負整數(shù)指數(shù)界的性質(zhì)，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù).

難點：負整數(shù)指數(shù)幕公式中字母的取值范圍，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的

數(shù)時，aXl（T形式中n的取值與小數(shù)中零的關(guān)系.

（-）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題：一個納米粒子的直徑是35納米，它等于多少米？以前學(xué)過大于10

以上的數(shù)的科學(xué)記數(shù)法，那么現(xiàn)在較小的數(shù)納米直徑也能用科學(xué)記數(shù)法來表示

嗎？

5

做一做：（1）用科學(xué)記數(shù)法表示745000=7.45X10',2930000=2.93X

（2）絕對值大于10的數(shù)用aX10”表示時，1<|a|<10,n為整

數(shù).

（3）零指數(shù)與負整數(shù)指數(shù)基公式是a°=l（aWO）,an=1/a（aWO）.

（二）合作交流，解讀探究

明確：

(1)我們曾用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于10的數(shù)，表示成aX10n的形式,

其中1W|a卜10,n為正整數(shù).

(2)類似地用10的負整數(shù)次幕，用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對值較小的數(shù),

-n

將它們表示成aX10形式，其中1W|a|<10.

11

(3)我們知道1納米=10,米，由可知，1納米=10-9米，所以

35納米=35XI。一"米.

而35X109=(3.5X10)X103

=3.5X108

所以這個納米粒子的直徑為3.5X10^米.

試一試把下列各數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示

5-5

(1)100000=1X10'(2)0.00001=1X10'

5-6

(3)-112000=-1.12X10(4)-0.00000112=-1.12X10

議一議

(1)當絕對值大于10的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示aX10”形式時，1W|a|

<10,n的取值與整數(shù)位數(shù)有什么關(guān)系？

(2)當絕對值較小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示中，a、n有什么特點呢？

-n

明確：絕對值較小的數(shù)的科學(xué)記數(shù)法表示形式aX10中，n是正整數(shù)，a

的取值一樣為1W|a|<10,但n的取值為小數(shù)中第一個不為零的數(shù)字前面所

有的零的個數(shù).比如：0.00005=5X10°(前面5個0)；0.0000072=7.2X106

(前面6個0).

(三)應(yīng)用遷移，鞏固提高

例1用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)

(1)o.001=1x103.(2)-0.000001=-IX103.

(3)0.001357=1.357X103.(4)-0.000034=-3.4X102

例2用科學(xué)記數(shù)法填空

(1)1秒是1微秒的1000000倍，則1微秒=1XIO”秒；

—6

(2)1毫克=1X10千克；

(3)1微米=1X10”米；

(4)1納米=1X1()T微米；

(5)1平方厘米=1X104平方米；

(6)1毫升=1X1O-6立方米.

例3用科學(xué)記數(shù)法表示下列結(jié)果：

(1)地球上陸地的面積為149000000km；用科學(xué)記數(shù)法表示為；

(2)一本200頁的書的厚度約為1.8cm,用科學(xué)記數(shù)法表示每一頁紙

的厚度約等于cm.

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)關(guān)鍵是確定aX10n中的兩個數(shù)值a和n,第

(2)題要先計算，再用科學(xué)記數(shù)法表示計算結(jié)果.

8

解(1)149000000=1.49X10

9

即地球上陸地的面積約為1.49X108km.

(2)因為1.8+200=0.009=9X10?

所以每一頁紙的厚度約為9X10'3cm.

明確：用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)A,首先要考慮|A|的情況，再來確定n的值.而

aX10n中的a的絕對值是只含有一位整數(shù)的數(shù).順便指出：用aXIOn表示的

數(shù)，其有效數(shù)字由a來確定，其精確度由原數(shù)來確定.如3.06X1(/的有效數(shù)

字為3、0、6,精確到千位；而3.06X102的有效數(shù)字為3、0、6,精確到萬

分位.

(四)小結(jié)

引入零指數(shù)累和負整數(shù)指數(shù)毒后，幕的范圍從正整數(shù)指數(shù)幕推廣到整數(shù)指

數(shù)靠，第的運算法則同樣適用于科學(xué)記數(shù)法有關(guān)計算，最后結(jié)果一般用科學(xué)記

數(shù)法表示.

(五)課堂跟蹤反饋

1.教科書P26頁練習1——2題。

2.習題16.2

(六)教學(xué)反思：

這一課學(xué)生對用科學(xué)記數(shù)法記較小的數(shù)興趣很濃烈，掌握得都比較好。

16.3分式方程

一、教學(xué)目標

1.使學(xué)生理解分式方程的意義.

2.使學(xué)生掌握可化為一元一次方程的分式方程的一般解法.

3.了解解分式方程解的檢驗方法.

4.在學(xué)生掌握了分式方程的一般解法和分式方程驗根方法的基礎(chǔ)上，使學(xué)生進

一步掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，使學(xué)生熟練掌握解分式方程

的技巧.

5.通過學(xué)習分式方程的解法，使學(xué)生理解解分式方程的基本思想是把分式方程

轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.

二、教學(xué)重點和難點

1.教學(xué)重點：（D可化為一元一次方程的分式方程的解法.

（2）分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的方法及其中的轉(zhuǎn)化思想.

2.教學(xué)難點：檢驗分式方程解的原因

3.疑點及分析和解決辦法：解分式方程的基本思想是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方

程（轉(zhuǎn)化思想），基本方法是去分母（方程左右兩邊同乘最簡公分母），而正是這

一步有可能使方程產(chǎn)生增根.讓學(xué)生在學(xué)習中討論從而理解、掌握.

三、教學(xué)方法：啟發(fā)式設(shè)問和同學(xué)討論相結(jié)合，使同學(xué)在討論中解決問題，掌

握分式方程解法.

四、教學(xué)手段：演示法和同學(xué)練習相結(jié)合，以練習為主.

五、教學(xué)過程

第一課時

（一）復(fù)習及引入新課

1.提問：什么叫方程？什么叫方程的解？

答：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.

（二）新課

板書課題：分式方程的定義.

分母里含有未知數(shù)的方程叫分式方程.以前學(xué)過的方程都是整式方程.

練習：判斷下列各式哪個是分式方程.

在同學(xué)討論的基礎(chǔ)上分析：由于我們比較熟悉整式方程的解法，所以要把分式

方程轉(zhuǎn)化為整式方程，其關(guān)鍵是去掉含有未知數(shù)的分母.

（三）應(yīng)用

一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大航速順流航行

100千米所用的時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等，江水的流

速為多少？

分析：設(shè)江水的流速為v千米/時，則輪船順流航行的速度為（20+v）千

米/時，逆流航行的速度為（20—v）千米/時，順流航行100千米所用的時間為

10060

20+v小時，逆流航行60千米所用的時間為礪小時。

10060

可列方程20+v=20r

方程兩邊同乘（20+V）（20—V）,得

100（20-V）=60（20+V）

解得V=5

檢驗：將V=5代入方程，左邊=右邊，所以v=5為方程的解。

所以水流速度為5千米/時。

（四）總結(jié)

解分式方程的一般步驟：

1.在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化為整式方程.

2.解這個方程.

3.把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零；使最簡公分母為零

的根不是原方程的解，必須舍去.

（五）教學(xué)反思：

這一課學(xué)生對解決分式方程的步驟都比較熟練，但常有學(xué)生忘記檢驗。

第二課時

一、教學(xué)目標：

1、使學(xué)生更加深入理解分式方程的意義，會按一般步驟解可化為一元一次

方程的分式方程.

2、使學(xué)生檢驗解的原因，知道解分式方程須驗根并掌握驗根的方法

二、重點難點：

1.了解分式方程必須驗根的原因；

2.培養(yǎng)學(xué)生自主探究的意識，提高學(xué)生觀察能力和分析能力。

三、教學(xué)過程：

（-）.復(fù)習引入

解方程：

思考:上面兩個分式方程中,為什么（1）去分母后所得整式方程的解就是（1）

的解，而（2）去分母后所得整式的解卻不是（2）的解呢？

學(xué)生活動：小組討論后總結(jié)

（二）.總結(jié)

（1）為什么要檢驗根？

在將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘以一個含未知數(shù)的整式，

并約去了分母，有時可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解（或根）。對于原分式方程

的解來說，必須要求使方程中各分式的分母的值均不為零，但變形后得到的整

式方程則沒有這個要求.如果所得整式方程的某個根，使原分式方程中至少有一

個分式的分母的值為零，也就是說使變形時所乘的整式（各分式的最簡公分母）

的值為零，它就不適合原方程，則不是原方程的解。

（2）驗根的方法

--般的，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分

母為0,因此應(yīng)如下檢驗：

將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方

程的解是原分式方程的解，否則，這個解不是原分式方程的解。

（三）?應(yīng)用

2-3.

例1解方程%—3%

解：方程兩邊同乘x