27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例（第1課時(shí)）學(xué)習(xí)新知

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”.塔的4個(gè)斜面正對(duì)東南西北四個(gè)方向，塔基呈正方形，邊長(zhǎng)約為230米.據(jù)考證，為建成大金字塔，共動(dòng)用了10萬(wàn)人花了20年時(shí)間.原高146.59米，但由于經(jīng)過(guò)幾千年的風(fēng)吹雨打，頂端被風(fēng)化吹蝕，所以高度有所降低.在古希臘，有一位偉大的數(shù)學(xué)家叫泰勒斯.一天，希臘國(guó)王阿馬西斯對(duì)他說(shuō):“聽(tīng)說(shuō)你什么都知道，那就請(qǐng)你測(cè)量一下埃及金字塔的高度吧!”這在當(dāng)時(shí)條件下是個(gè)大難題，因?yàn)槭呛茈y爬到塔頂?shù)?你知道泰勒斯是怎樣測(cè)量大金字塔的高度的嗎?問(wèn)題思考測(cè)量旗桿的高度【思考】

(1)在同一時(shí)刻，物體的高度和影長(zhǎng)有什么關(guān)系?(2)在操場(chǎng)上豎立一根長(zhǎng)1米的標(biāo)桿，畫(huà)出同一時(shí)刻旗桿和木桿的影長(zhǎng).(太陽(yáng)光線看作是平行的)(3)通過(guò)測(cè)量影子的長(zhǎng)度，你能得到旗桿的高度嗎?解:如圖所示，測(cè)得同一時(shí)刻旗桿的影長(zhǎng)AB=a，標(biāo)桿的影長(zhǎng)為EF=b.由題意可得∠B=∠F=90°，AC∥DE，

∴∠A=∠E，∴△ABC∽△EFD，【歸納】

在平行光線的照射下，同一時(shí)刻，兩個(gè)物體的高度與影長(zhǎng)成比例.用三角形相似可以求旗桿的高度，常用的方法有:(1)如圖所示，同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形.ABCDFEABCDE(2)如圖所示，利用平面鏡構(gòu)造直角三角形.ABCDE(3)如圖所示，觀察者視線與標(biāo)桿頂端、旗桿頂端在同一條直線上.FH(教材例4)據(jù)傳說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽(yáng)光線構(gòu)成的兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度.如圖所示，木桿EF長(zhǎng)2

m，它的影長(zhǎng)FD為3

m，測(cè)得OA為201

m，求金字塔的高度BO.思考：(1)太陽(yáng)光線與物體及其影子組成的兩個(gè)三角形相似嗎?(由太陽(yáng)光線平行得∠BAO=∠EDF，又∠AOB=∠DFE=90°，得三角形相似)

(2)如何求OA的長(zhǎng)?(金字塔的影子是等腰三角形，則OA等于這個(gè)等腰三角形的高與金字塔底面邊長(zhǎng)一半的和)解:太陽(yáng)光線是平行光線，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，

∴△ABO∽△DEF.因此金字塔的高度為134

m.（m）.(教材例5)如圖所示，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q，S共線且直線PS與河岸垂直，接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直P(pán)S的直線b的交點(diǎn)R.已知測(cè)得QS=45

m，ST=90

m，QR=60

m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)求河寬PQ.(3)能不能用方程思想解出PQ的值?(，即PQ×90=(PQ+45)×60，可解得PQ的值)〔解析〕(1)圖中的兩個(gè)三角形是不是相似三角形?(由∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P可得△PQR∽△PST)(2)根據(jù)相似三角形的基本性質(zhì)能不能得到關(guān)于河寬PQ的比例線段?解:∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，

∴△PQR∽△PST.∴，

即

，

，PQ×90=(PQ+45)×60.

解得PQ=90(m).因此，河寬大約為90

m.[知識(shí)拓展]

利用相似三角形進(jìn)行測(cè)量的一般步驟:①利用平行線、標(biāo)桿等構(gòu)成相似三角形;②測(cè)量與表示未知量的線段相對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)，以及另外任意一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度;③畫(huà)出示意圖，利用相似三角形的性質(zhì)，列出以上包括未知量在內(nèi)的四個(gè)量的比例式，解出未知量;④檢驗(yàn)并得出答案.檢測(cè)反饋1.小明在測(cè)量樓高時(shí)，先測(cè)出樓房落在地面上的影長(zhǎng)BA為15米，如圖所示，然后在A處樹(shù)立一根高2米的標(biāo)桿，測(cè)得標(biāo)桿的影長(zhǎng)AC為3米，則樓高為(

)

A.10米B.12米

C.15米D.22.5米解析:在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似.

因此=，即，∴樓高=10(米).故選A.A2.如圖所示的是一束平行的光線從教室窗戶(hù)射入教室的平面示意圖，測(cè)得光線與地面所成的角∠AMC=30°，窗戶(hù)的高在教室地面上的影長(zhǎng)MN=2

米，窗戶(hù)底部到教室地面的距離BC=1米(點(diǎn)M，N，C在同一直線上)，則窗戶(hù)的高度AB為(

)

A.

米B.3米C.2米D.1.5米解析:∵BN∥AM，∴∠AMC=∠BNC=30°，又∵∠C=90°，BC=1米，∴BN=2米，CN=

米，∴CN∶CM=BC∶AC，∴,解得AC=3(米)，∴AB=AC-BC=2米.故選C.C3.如圖所示，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部(點(diǎn)O)20米的A處，則小明的影子AM的長(zhǎng)為

米.

解析:根據(jù)題意，易得△MBA∽△MCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，即，解得AM=5(米).則小明的影長(zhǎng)為5米.故填5.54.如圖所示，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D.此時(shí)如果測(cè)得BD=110米，DC=55米，EC=52米，求兩岸間的大致距離AB.解:∵AB⊥BC，EC⊥BC，

∴∠ABC=∠BCE=90°，又∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD∽△ECD，

∴，解得AB=104.答:兩岸間的大致距離AB為104米.人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例（第2課時(shí)）學(xué)習(xí)新知問(wèn)題思考

如圖所示，屋頂上有一只貓，院子里有一只小老鼠，若貓看見(jiàn)了小老鼠，則小老鼠就會(huì)有危險(xiǎn)，小老鼠在墻的哪部分活動(dòng)是安全的?試畫(huà)出小老鼠在墻的左端的安全區(qū).(教材例6)如圖(1)所示，左、右并排的兩棵大樹(shù)的高分別為AB=8

m和CD=12

m，兩樹(shù)底部的距離BD=5

m，一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距地面1.6

m.

她沿著正對(duì)這兩棵樹(shù)的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹(shù)的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹(shù)的頂端C了?思考:(1)在圖(1)中，這個(gè)人觀察的盲區(qū)是哪部分?(2)當(dāng)她自左向右前進(jìn)中，她的視線與兩棵樹(shù)的頂端恰好在同一條直線上時(shí)，如圖(2)所示，她觀察的盲區(qū)是哪部分?(3)如果她再向右走，她還能看到右邊較高的樹(shù)的頂端嗎?解:如圖(2)所示，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹(shù)的頂端A，C恰在一條直線上.∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK，解得EH=8(m).由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹(shù)的距離小于8

m時(shí)，由于這棵樹(shù)的遮擋，她看不到右邊樹(shù)的頂端C.小明想利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的竹竿影長(zhǎng)0.9m，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹(shù)影時(shí)，因樹(shù)靠近一幢建筑物，影子不會(huì)全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖所示，他先測(cè)得留在墻上的影高1.2m，又測(cè)得地面部分的影長(zhǎng)2.7m，求樹(shù)高是多少.解法1:如圖所示，過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意，得四邊形BCDE是矩形，

∴BE=CD=1.2，DE=BC=2.7，∵某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1

m的竹竿影長(zhǎng)為0.9

m，∴AE=3，∴AB=AE+BE=3+1.2=4.2(m).答:樹(shù)高為4.2

m.

∵某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1

m的竹竿影長(zhǎng)為0.9

m，墻上的影高CD為1.2

m，解法2:如圖所示，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E.E∴CE=1.08(m)，

∴BE=1.08+2.7=3.78(m)，

∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴AB∥DC，

∴△EDC∽△EAB，解得AB=4.2(m).答:樹(shù)高為4.2

m.解法3:如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AD交AB于點(diǎn)E，∵AE∥CD，EC∥AD，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

∴AE=CD=1.2

m，又在平行投影中，同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例，即BE=2.7×

=3(m).∴AB=AE+EB=1.2+3=4.2(m).答:樹(shù)高為4.2

m.【歸納】

(1)求樹(shù)高常用的方法:①根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，列方程求解即可;②在同一時(shí)刻，物體的實(shí)際高度和影長(zhǎng)成比例，據(jù)此列方程即可求解.

(2)求樹(shù)高常用的輔助線:①作垂直，構(gòu)造相似三角形;②作平行，構(gòu)造相似三角形;③延長(zhǎng)兩條直線相交，構(gòu)造相似三角形.檢測(cè)反饋1.如圖所示，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上.若測(cè)得BE=20

m，EC=10

m，CD=20

m，則河的寬度AB等于(

)A.60

m

B.40

m

C.30

m

D.20

m解析:∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴.∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴.解得AB=40.故選B.B2.如圖(1)所示，為了測(cè)量某建筑物的高AB，在距離B點(diǎn)35

m的D處安置測(cè)角儀，測(cè)得A點(diǎn)的仰角α為45°，若儀器CD高為1.4

m，則高AB為

.

解析:如圖(2)所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E.根據(jù)題意，在Rt△ACE中，CE=35m，∠α=45°，∴AE=35m.則AB的長(zhǎng)為AE+BE=36.4m.故填36.4m.36.4m3.如圖所示，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE=40

cm，EF=20

cm，測(cè)得邊DF離