數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題09

/2011年數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題九一試一、填空題：設(shè)橢圓的離心率，已知點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，則短半軸之長(zhǎng)＝＿_(dá)___＿_(dá)____.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得１分，負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為_(kāi)___＿_(dá)。已知函數(shù),則的最小值為＿_(dá)＿_(dá)____．已知等差數(shù)列的公差不為0,等比數(shù)列的公比是小于1的正有理數(shù)。若，,且是正整數(shù)，則等于____．已知正方體的棱長(zhǎng)為1,以頂點(diǎn)Ａ為球心，為半徑作一個(gè)球,則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于＿_(dá)＿_(dá)__．甲、乙、丙、丁四人參加一項(xiàng)特殊的接力賽，比賽要求有５次交接棒，但不要求每人都參加,只要相鄰兩棒不能是同一個(gè)人即可。那么由甲擔(dān)任第一棒，乙擔(dān)任最后一棒，共有__＿_(dá)__種交接棒順序。若常數(shù)使得關(guān)于的方程有惟一解．則的取值范圍是.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊成等比數(shù)列,則的取值范圍是＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)__＿＿＿.二、解答題：設(shè)在上是單調(diào)函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2)設(shè)，,且，求證：。如圖所示,某城市有南北街道和東西街道各條，一郵遞員從該城市西北角的郵局出發(fā)，送信到東南角地，要求所走路程最短.（1）求該郵遞員途徑Ｃ地的概率；(2）求證：,（）。如圖,是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率為點(diǎn)在軸上,，，,三點(diǎn)確定的圓恰好與直線相切。（１）求橢圓的方程；(２）過(guò)作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得恰好為的內(nèi)角平分線，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。二試已知、是由⊙外一點(diǎn)引出的兩條切線,分別是線段、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交⊙于點(diǎn)，點(diǎn)在與之間,交⊙于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn),證明:四邊形為菱形.二.設(shè)，且至多一個(gè)為,求函數(shù)的最小值。三。確定的所有的非空子集、、使得：（1）（2）(３）對(duì)所有的有.四．有個(gè)人（)參加國(guó)際會(huì)議，一共說(shuō)14種語(yǔ)言，現(xiàn)已知：(１）每3個(gè)人都有一種共同語(yǔ)言；（２)沒(méi)有一種語(yǔ)言多于一半的成員會(huì)說(shuō).求的最小值．模擬試題九參考答案一試參考答案１．設(shè)橢圓的離心率，已知點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是,則短半軸之長(zhǎng)=2．解：依題意知，的所有可能值為2，4，6．設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為．若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．從而有，，,故。3.解:實(shí)際上，設(shè),則g（x）≥０，ｇ(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且y=g（x）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)任意，存在,使g（ｘ2)＝ｇ（ｘ１）。于是,而f（ｘ)在上是減函數(shù)，所以，即f（x）在上的最小值是。４．解：因?yàn)?故由已知條件知道：１+q+q2為，其中m為正整數(shù)。令，則。由于q是小于1的正有理數(shù)，所以，即5≤m≤1３且是某個(gè)有理數(shù)的平方,由此可知.5。解:球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AA1B1B、面ＡBCＤ和面AA1Ｄ１D上;另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上,即面BB1C1Ｃ、面CＣ1D1Ｄ和面A1B1C1D1上。在面ＡA1B１B上,交線為?。臚且在過(guò)球心A的大圓上,因?yàn)椋珹A1＝１，則。同理，所以,故弧EF的長(zhǎng)為,而這樣的弧共有三條。在面BB1Ｃ1C上，交線為弧FG且在距球心為１的平面與球面相交所得的小圓上,此時(shí),小圓的圓心為B,半徑為,,所以弧FＧ的長(zhǎng)為。這樣的弧也有三條。于是,所得的曲線長(zhǎng)為.6.6１7.8。解：設(shè)的公比為,則,而。因此,只需求的取值范圍．因成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角形的三邊,必需且只需且。即有不等式組即解得從而，因此所求的取值范圍是。9.解：（１)若在上是單調(diào)遞減函數(shù),則須，，這樣的實(shí)數(shù)ａ不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù),則≤，由于．從而0＜a≤3．（2）方法1:可知在上只能為單調(diào)增函數(shù)。若1≤，則若1≤矛盾，故只有成立．ABC10．解：（1）郵遞員從該城市西北角的郵局A到達(dá)東南角B地，要求所走路程最短共有種不同的走法，其中途徑Ｃ地的走法有種走法，ABC所以郵遞員途徑C地的概率；（2）由，得，要證時(shí),，只要證時(shí),,因?yàn)闀r(shí)，,且,所以只要證,且時(shí)，．由于時(shí)，且，，，，．所以成立,所以．1１。解：(1)由題意可知，即又?,圓的圓心坐標(biāo)為（，0），半徑為由直線與圓相切可得∴橢圓的方程為（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)由題意可設(shè)直線的方程為設(shè)為△的內(nèi)角平分線即∴∴又∴∴∴∴存在滿足條件的點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為加試參考答案一。連結(jié)，顯然三點(diǎn)共線，，所以;四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓＝結(jié)論。二．解：。下面再證明不妨設(shè)（１）當(dāng)時(shí)由知由知（2）當(dāng)時(shí)，由知，從而3。解：取C中最小的元素ｔ,則1,2，…t－1∈A∪B,由條件知，所有的不被ｔ整除的正整數(shù)均在A∪B中，故C中只有t的倍數(shù)，這樣對(duì)于，。若，1，2,３中至少有兩個(gè)數(shù)同屬于A或B，不妨設(shè)其中兩數(shù),任取，則，不能同時(shí)成立．若，不妨設(shè)，則由知,矛盾！若,不妨設(shè),則所有的奇數(shù)同屬于Ａ，但由知b為奇數(shù)，矛盾！所以,。不妨設(shè),則,取b使，故，這樣,所以,，即C恰好為3的所有倍數(shù)。此時(shí)(A，B,Ｃ）=(｛｝，{},{｝）故所求的（Ａ,Ｂ,Ｃ)為（｛},｛}，{｝）或（{}，{},｛｝）4.解：設(shè)第i個(gè)人會(huì)說(shuō)的語(yǔ)言的集合為Ai，１≤i≤n，|∪Ai｜＝14．考慮四元組（p；i，ｊ,ｋ）,ｐ∈Ai∩Aj∩Ak。記四元組的集合為S,考慮S中元素的個(gè)數(shù)s。（１)由于每3個(gè)人有共同語(yǔ)言，所以s≥Ceｑ\a（3，n)；(2）每種語(yǔ)言至多有eｑ＼b\bc\［(\ｆ（n,２）)個(gè)人說(shuō)，故p至多屬于ｅq＼b＼bc\［（\ｆ(n，2）)個(gè)集合，所以14Ceq\a（３,［n/2］）≥ｓ∴１4Ceq\a(3,［n／2])≥Ceq\a(3，n），驗(yàn)證知n=３，４，5，６，7時(shí)均不成立,當(dāng)ｎ=8時(shí),取A１={1，2,4,5，11，12,13｝，A２＝{1,2，６,７，9，10，11｝A3