中考數(shù)學(xué)與圓有關(guān)的壓軸題

中考數(shù)學(xué)與圓有關(guān)的壓軸題（解答題部分3）1（2014?2710⊙O△ABCAC=2BCCABl⊙OD，E．PA，CAPlF，PCPD，PDABG．求證：△PAC∽△PDF；AB=5，=，PD在點P=x，tan∠AFD=y，求yx（x）考 圓的綜合點：分 （1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個角相等或邊長成比例．因為題中析：圓周角易知一對相等的角，那么另一對角相等就是我們需要努力的方向，因為涉及圓，傾向于找接近圓的角∠DPF，利用補角在圓內(nèi)作等量代換，等弧對等角等知識易得∠DPF=∠APC，則結(jié)論易證．PD△PDFPD因為題目涉及∠AFD△PDFPB∠AFD=∠PCA=∠PBG，GABPBACABCAG∠PBGPBACP，PBH，B，再證明∠HBG=∠PCA=∠AFD．C、DABCGP稱點．根據(jù)等弧對等角，可得∠HBG=∠PCA，進而得解題思路．解 （1）證明：∵，答：∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所對的圓周角=180°﹣所對的圓周角=所對的圓周角=∠APC．在△PAC△PDF，∴△PAC∽△PDF．都為等腰直角三角形．在Rt△ABC中，∵AC=2BC，∴AB2=BC2+AC2=5BC2，∵AB=5，∴BC=，∴AC=2，∴CE=AC?sin∠BAC=AC?=2?=2，AE=AC?cos∠BAC=AC?=2?=4，∵△AEF為等腰直角三角形，∴EF=AE=4，∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．∵△APO為等腰直角三角形，AO=?AB=，∴AP=．∵△PDF∽△PAC，∴，∴，∴PD=．解：如圖2，過點GGH⊥AB，交ACH，連接HB，以HBCG⊙OQ，∵HC⊥CB，GH⊥GB，∴C、G都在以HB為直徑的圓上，∴∠HBG=∠ACQ，∵C、DAB，GAB∴Q、P關(guān)于AB對稱，∴，∴∠PCA=∠ACQ，∴∠HBG=∠PCA．∵△PAC∽△PDF，∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．∵HG=tan∠HAG?AG=tan∠BAC?AG==，∴y==x．點 本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問思路還算簡單評：但最后一問需要熟練的解題技巧需要長久的磨練總結(jié)總體來講本題偏難，學(xué)生練習(xí)時加強理解，重點理解分析過程，自己如何找到思路．12.（2014?2412）ABCDADO，OA=，O，OAADM，BDHHP∥AB，弦HP=3．若點ECD（點ECD，過EEF∥BDBCF△CEFEFCGABCDS．ABHP問△EFGG⊙Ox說明理由；SxFG⊙O，S第3題圖考點：圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質(zhì)；垂徑定理；切線的性質(zhì)；切線長定理；軸對稱的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值所有專題：壓軸題．分析：（1）連接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，從而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再根據(jù)切線長定理可得BA=BH，即可證到四邊形ABHP是菱形．GADGMx=2．0≤x≤2S=SFG，Sx△EGF2＜x≤3﹣S，只需求出SGRG，就可得到△GEF △SGRSxFG⊙OFK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=2﹣2+x．FK=KQx，（1）OH，如圖①所示．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=．∵OH=OA=，∴sin∠HON==．∴∠HON=60°∵BD與⊙O相切于點H，∴OH⊥BD．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3．∴BC=3．∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．∴tan∠BDA===．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP．∵AB∥HP，∴四邊形ABHP是平行四邊形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直徑，∴BA⊙OA．∵BD⊙OH，∴BA=BH．∴平行四邊形ABHP是菱形．（2）△EFGG⊙OGAD∵EF∥BD，∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．由折疊可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED===．∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴點G與點M重合．此時△EFG的直角頂點G落在⊙O上，對應(yīng)的x的值為2．∴當(dāng)△EFG的直角頂點G落在⊙O上時，對應(yīng)的x的值為2．（3）①如圖①，在Rt△EGF中，tan∠FEG===．∴FG=x．∴S=GE?FG=x?x=x2．②如圖③，ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．∵tan∠SRG===，∴SG=x﹣2．∴S=SG?RG=?（x﹣2）?（3x﹣6．△SGR=（x﹣2）2．∵S=x2，△GEF∴S=S﹣S△GEF △SGR=x2﹣（x﹣2）2．=﹣x2+6x﹣6．綜上所述：當(dāng)0≤x≤2時，S=x2；當(dāng)2＜x≤3時，S=﹣x2+6x﹣6．FG⊙OTFGADQFFK⊥AD，如圖④所示．∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°．∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四邊形ABFK是矩形．∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．∴FK=QK．∴3=2﹣2+x．解得：x=3﹣．∵0≤3﹣≤2，∴S=x2=×（3﹣）2=﹣6．∴FG與⊙O相切時，S的值為﹣6．30°等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性非常強．1（2014萊蕪，第2310）1，在⊙OEABC⊙O上的一動點CEABECABF，EB=（r⊙O（1）DABDC=DF，DC⊙OEFEC的值；2，F(xiàn)ABEC考 圓的綜合題點：專 綜合題題：分 （1）連結(jié)OC交AB于H，如圖1，由E是弧AB的中點，根據(jù)垂徑析：定理的推論得到OE⊥AB則∠HEF+∠HFE=90°由對頂相等得則∠HEF+∠CFD=90°，DC=DF∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以DC⊙O相切；AE=∠FEB=∠BEC，于是可判斷△EBF∽△ECB，利用相似比得到EFEC=BE2=（r）2=r2；2，OA，AE=BEAE=BE=rOH=x，Rt△OAHAH2+x2=r2Rt△EAHAH2+（r﹣x）x=r，則HE=r﹣r=r，在Rt△OAHAH=，由OE⊥ABAH=BH，F(xiàn)ABHF=AH=，Rt△EFHEF=r，然后利用（2）EC．解 （1）證明：連結(jié)OC、OE，OE交AB于H，如圖答：∵E是弧AB的中點，∴OE⊥AB，∴∠EHF=90°，∴∠HEF+∠HFE=90°，而∠HFE=∠CFD，∴∠HEF+∠CFD=90°，∵DC=DF，∴∠CFD=∠DCF，OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，∴OC⊥CD，∴直線DC與⊙O相切；BC，∵E是弧AB的中點，∴弧AE=弧BE，∴∠ABE=∠BCE，而∠FEB=∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF：BE=BE：EC，∴EF?EC=BE2=（r）2=r2；2，OA，∵弧AE=弧BE，∴AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=r﹣x，在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2，∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，∴HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，AH===，∵OE⊥AB，∴AH=BH，F(xiàn)AB∴HF=AH=，在Rt△EFH中，EF===r，∵EF?EC=r2，∴r?EC=r2，∴EC=r．點 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理評：圓周角定理；會利用勾股定理進行幾何計算，利用相似三角形的知識解有關(guān)線段等積的問題．14.（2014?樂ft，2612）O2D，直線lA、B，與直線O1、O2相交于點M，且tan∠AM01=，MD=4．求⊙O2求△ADB在直線lP，△MDBPO2若不存在，請說明理由．考 圓的綜合題點：專 綜合題題：分 （1）連結(jié)O1A、O2B，設(shè)⊙O1的半徑為r，⊙O2的半徑為R，根據(jù)兩圓析：切的性質(zhì)得到直線O1O2過點則再根據(jù)切線的性質(zhì)直線l與兩圓分別相切于點A、B得到O1A⊥AB，O2B⊥AB，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到Rt△MBO230MO2=O2B=2R，4+R=2RR=4；利用互余由∠AM02=30°得到∠MO2B=60°，O2BD三角形，所以BD=O2B=4，∠DBO2=60°，于是可計算出∠ABD=30°，同樣可得∠MO1A=60°，利用三角形外角性質(zhì)可計算得∠O1AD=∠MO1A=30°，則∠DAB=60°，所以∠ADB=90°，在Rt△ABD30邊的關(guān)系得AD=BD=4，AB=2AD=8，利用直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式得到△ADB內(nèi)切圓的半徑==2﹣2，然后根據(jù)圓的面積公式求解；先在Rt△MBO230MB=O2B=12，然后分類討論：△MO2P△MDB時，利用相似比可計算出O2P=8MO2P∽△MBD時，利用相似比可計算出O2P=8．解 解（1）連結(jié)O1A、O2B，如圖，設(shè)⊙O1的半徑為r，⊙O2的半徑為答：∵⊙O1與⊙O2外切與點D，∴直線O1O2過點D，∴MO2=MD+O2D=4+R，∵直線l與兩圓分別相切于點A、B，∴O1A⊥AB，O2B⊥AB，∵tan∠AM01=，∴∠AM01=30°，在Rt△MBO2中，MO2=O2B=2R，∴4+R=2R，即⊙O24；（2）∵∠AM02=30°，∴∠MO2B=60°，而O2B=O2D，∴△O2BD為等邊三角形，∴BD=O2B=4，∠DBO2=60°，∴∠ABD=30°，∵∠AM01=30°，∴∠MO1A=60°，而O1A=O1D，∴∠O1AD=∠O1DA，∴∠O1AD=∠MO1A=30°，∴∠DAB=60°，∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°