數(shù)學(xué)破題36計(jì) 第1計(jì) 芝麻開(kāi)門 點(diǎn)到成功

rnC數(shù)學(xué)破題36計(jì)rnC

第

芝麻開(kāi)

點(diǎn)到成●名義七品芝麻官，說(shuō)是這個(gè)官很小，就是芝麻那么的一《阿里巴巴》用芝麻開(kāi)門的“以小見(jiàn)大就那點(diǎn)芝麻，竟把個(gè)龐然大門給“點(diǎn)”開(kāi)數(shù)學(xué)中，以點(diǎn)成、以點(diǎn)帶面、兩線交點(diǎn)、三線點(diǎn)、還有頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、極限點(diǎn)等，這些足以說(shuō)明“”的重要.因，以點(diǎn)破題，點(diǎn)到成功就了自然之中、情理之中的事了●例范［題（鄂第15題）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)

rn

1都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如下圖所示的分(Cr數(shù)三角形來(lái)萊布尼茨三角從萊布尼茨三角形可看出11(nCr(CxnCr

，其中

x

.令

a

111113123060nC2(C2

.［析一此題，文并舉，篇幅很大，還有省略省去的有無(wú)窮之多，真乃是個(gè)龐然大物從處破門呢？我們?nèi)匀辉凇包c(diǎn)”打主.1萊布三角形，它然沒(méi)有底邊，但有個(gè)頂點(diǎn)，我就打這個(gè)頂點(diǎn)的意1［Ⅰ將式

11(nCr(nCxnCrn

與右邊的頂點(diǎn)三形對(duì)應(yīng)（圖右然有

1(n

12

(n

x

1r

對(duì)此，心算可以到=1，r，x對(duì)一般情況講，是x=r+1這是本題第的答1

a1［語(yǔ)本是填空題要結(jié)不講道理因此有必要就一般情況進(jìn)解析，而是以點(diǎn)帶面，到成.要明的是，這個(gè)頂點(diǎn)也可以不選大三角形的頂.因三角形中任一個(gè)數(shù)，等于對(duì)應(yīng)的“腳下”兩數(shù)之和所以選擇任何一個(gè)“一頭兩腳”的小三角形，都能解x=r+1.a1第2道填，仍考慮以點(diǎn)帶面，先抓無(wú)窮數(shù)列的項(xiàng).［解Ⅱ］在三角形中先找到了數(shù)列首項(xiàng)

，并將和數(shù)列

n

13060

中的各項(xiàng)依次“點(diǎn)連線右線實(shí)線所串各數(shù)之就是a這個(gè)a，就等于首項(xiàng)左角的那個(gè)nn

.因?yàn)?/p>

在向下一分為二行依次列項(xiàng)時(shí)我們總?cè)∮疑嶙笕サ母黜?xiàng)（虛線串）所成數(shù)列的極限是0.因此得到n

這就是本題第空的答案［評(píng)解的關(guān)鍵是“以點(diǎn)破門的點(diǎn)是一個(gè)具體數(shù)，采用的方法是以3點(diǎn)串線——三角中的實(shí)線，實(shí)線上端折線所對(duì)那個(gè)數(shù)就問(wèn)題的答案事實(shí)上，三角形的任何一個(gè)數(shù)（點(diǎn)）都有這個(gè).例從

這個(gè)數(shù)開(kāi)始，向下連（無(wú)窮線連數(shù)的極限）就是

這個(gè)數(shù)的左上角那個(gè)數(shù).用式表示就是

1160［接本型為填空題，若改編成解答題，那就不是只有4分的題，而是一個(gè)10分上的大有關(guān)答附錄如.［］由

11(Cr(nrnCr

知，可用合項(xiàng)的法，將

a

n

的和式逐步合項(xiàng)a

11131230nC2(nCn2

211(C3C(3CC4C11211(C3C(3CC4C225CnC(n2(nC13nn

1(nC

1113C5C3n

1(n

111113C(nC21(2(nn21n

［2第二問(wèn)實(shí)質(zhì)是求萊布尼茨三角形中從第三起每一行的倒數(shù)的和，即a

11C4C12nCn(nCn

根據(jù)第一問(wèn)所推的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一

1(nC

，則由每一行中任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)和，結(jié)合給出的數(shù)表可次向上求和為

，故

1a2(C

，從而1limn2［3（）將

r

代入條件式，并形得

11(Crr(Crn取

r

令

得11221130(4C4C5C

1111213???

，1112(nC1(2nC1(

3

(2yV(2yV13棱柱V以上諸式兩邊分相加，得

11［明以三法都對(duì)答題而.如用在以上填空題中則是雞動(dòng)用了牛刀為此我們認(rèn)到“芝麻開(kāi)門，點(diǎn)到成功”使用對(duì)象上的真正意.●應(yīng)練1．如圖把橢圓

2225

的長(zhǎng)軸分8份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸垂交橢圓的上半部分于P，P，?12

7七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則FP|+??12+|PF72．如圖所示，直三棱ABC—A中，P，Q分是111側(cè)棱AA，上的，且PCQ，則四棱B—A1111的體積與多面體—Q的積值為.1●考答1．找“點(diǎn)”—橢的另一個(gè)焦點(diǎn)2連接PFF、?F，橢的定義Fa=10122225如此類推+F=FPPF=?=+F=×=12227由橢圓的對(duì)稱性知，本題的答案是7的一即.2．找“點(diǎn)”——?jiǎng)狱c(diǎn)Q的限如圖所示，令A(yù)P=CQ=0.即動(dòng)點(diǎn)與重合，動(dòng)點(diǎn)與重合.1則多面體蛻變?yōu)槔忮FC—BB錐蛻化為三棱錐11—AB.11顯然V∴—BC∶—AABB11