新高考數學強化訓練-專題03 函數零點問題

2新高考數學強訓練一、解答題2020·湖省高三考試）設函數

f

b，F

,

（1）如果

f

的解析式；（2）若

f

為偶函數，且

g

有零點，求實數k的值范.2020·全高三專題練習）已知函數

f(x)sin

3

，

f

為

fx)

的導函數.（1）求

fx)

在

處的切線方程；（2）求證：

f

在

上有且僅有兩個零點.2020·安省高三期末）已知函數f(x)

(x

1x

2)

在區(qū)間1,0)內在零點．（1）求的范圍；（2）設a

2

，(xx)

是

fx)

的兩個零點，求證：x

．2020·安省高三月考）已知函數f

axaaR.32（1）若a，求函數

f

的極值；（2）當

時，判斷函數

f

上零點的個數.極值；2020·四省棠湖中學高三月考）已知設函數（1）若a，求f()

f(xxe

（2）證明：當

a，函數(x)

在

(

上存在零點.2020·湖省高三期末）已知函數

f(x)x(

（1）若

，求函數

fx)

的所有零點；（2）若

，證明函數

fx)

不存在的極值.2020·河省高三期末）已知函數

f

xx

11（Ⅰ）討論

f

的單調性，并證明

f

有且僅有兩個零點；（Ⅱ）設

是

f

的一個零點，證明曲線

y

在點

處切線也是曲線

yx

的切線2020·重高三月考）已知函數（1）求實數a的；

f(x)lnx

（常數）的最大值為（2設函數

F()m(x1)lnx(x)

3e

當m

時證函數

F

有兩個不同的零點x，x1（

x21

2020·安省高三期末）已知函數f

（1）當a時討論

f

的單調性；（2）若

f

有兩個不同零點，，證明：a且12

xx1

新疆維吾爾自治區(qū)高三月考）已知函數(x)

2x2

ln(a)（1）若

時，討論

fx)

的單調性；（2）設

g)f()x，若()

有兩個零點，求a的值范圍112020·全高三專題練習）已知函數ff時，證明：；（1）當

xax

（2）若

f

在上且只有一個零點，求a的值范圍．天津南開中學高三月考）已知函數（Ⅰ）求a的值范圍；的兩個零點，證明：（Ⅱ）設xx是廣東省執(zhí)信中學高三月考）已知函數的極值點個數，并說明理由；

f

有兩個零點.，其中為零常數．

的極值點為f1的零點且

x，求證：x101

．

,x河南省高三開學考試）已知函數

f

（

）.（1）若函數

f

有兩個零點，求實數取值范圍（2）證明：

12xlnx

12

ln2一、解答題2020·湖省高三考試）設函數

f

，F

（1）如果

f

的解析式；（2）若

f

為偶函數，且

有零點，求實數k的值范.【答案）

xFxxx

（2

【解析）為

f

，所以

即b所以

xFxxx

（2）因為

f

為偶函數，所以

b

，即

因為

x

f

x

有零點，所以方程

kx0有數根所以20，所以

k

2020·全高三專題練習）已知函數

f(x)sin

，

f

為

fx)

的導函數.（1）求

fx)在處切線方程；（2）求證：

f

在

上有且僅有兩個零點.【答案））證明見解析.【解析）

f

，

0,0,0,0,,又

f

，所以切點為

故

f

在

處的切線方程為y；（2）

f

cosx2因f

為偶函數，且

，則只需證明

f

上有且僅有一個零點即可f

，當

時

f

，故

f

在

上單調遞減，因為

f

，

，由零點存在定理，可知存在

2

使得

f

，所以f

上有且僅有一個零點，因此

f

在

上有且僅有兩個零點.2020·安省高三期末）已知函數f(x)

(x

在區(qū)間

(

內存在零點．（1）求的范圍；（2）設a

2

，(xx)

是

fx)

的兩個零點，求證：x

．【答案）a（）證明見解析【解析）題意，方程e

1x

2)

在區(qū)間(有，即方程

(x

在區(qū)間有，設函數g()x，g()在間(存在零點．因為

x1)(e

)

，

①若，則

a

，

，

g

0

成立，)

在區(qū)間

(1,0)

單調遞增，g

1，g(

，

g(0)

，所以

)在區(qū)間1,0)存零點；②若a

，則g

xe

，)在1,0)內調遞減，且

g(x(0)，所以)在間(1,0)無點；③若a，則x

，a(x，當

x

時，

，

g()(故)在間無點；綜上所述，

．（2）由（）可知，

e

時，

g()

在區(qū)間

(

單調遞減，在區(qū)間

(

單調遞增，且)在間存一個零點；又g(

e

，

g(

，所以

)

在區(qū)間

(

也存在一個零點，從而

，所以x2

，不等式得證．2020·安省高三月考）已知函數

11aa（1）若，求函數

f

的極值；（2）當

時，判斷函數

f【答案】(1)詳見解;詳見解析.【解析）

f

11x3a23

，∴

ax

a

，

,1,1因為，所以

0

1a

，當x變化時，

x如表：x1

f

-0

f

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增由表可得當

x

1a

時，

f

有極大值，且極大值為

6

，當

時，

f

有極小值，且極小值為f

16

（2）由（）得

f

x

a

x

x

．∵

，∴

1a

①當

1，0時在0,1上單調遞增，在2

上遞減又因為

f

10,f10,f2063所以

f

在（）（）各有一個零點，所以

f②當

即2

時f在上調遞增，在減在

上遞增，又因為

f

0,f1a0,f

a

所以

f所以在有個綜上：當

12

時，

f

上有兩個零點；

當

12

時，

f

上有且只有一個零點．極值；2020·四省棠湖中學高三月考）已知設函數（1）若a，求f()

f(xxe

.（2）證明：當

a時，數(

在

上存在零點.【答案）

f

取得極大值0，無極小值（）見證明【解析

時f

義為

得

．當x變時，

f

的變化情況如下表：

f

f

極大值故當

時，

f

取得極大值

ln

，無極小值．（2）

f

x

，

．當

a

時，因為

x

，所以

f

1x

，f

因為

f

，

f

，所以有且僅有一個

x11

，當

xx時1

x時，1

，所以

f1

單調遞增，在

1

單調遞減．所以

f0

，所以

f當

時，由1得

，

于是

x，以

e

．所以

f

ax

．11于是faa

．因為

f

，所以所以

1fx在a綜上，當

，

時，函數

f2020·湖省高三期末）已知函數

f(x)xax

(R)

（1）若

，求函數

fx)

的所有零點；（2）若

，證明函數

fx)

不存在的極值.【答案】(1)

(2)見證明【解析）a

時，

f

，函數

f

的定義域為

，且

f

x

．設

x

，則

12x2

x

0

．當x

時，

；當

時，

，即函數

g

上單調遞增，所以當

時，

（當且僅當

時取等號即當

時，

f

（當且僅當

時取等號所以函數

f

單調遞增，至多有一個零因為

f

，是數

f

唯一的零點.

所以若

，則函數

f

的所有零點只有

．（2）證法1因為

f

x

x

2

x

，函數

f

x

的定義域為

，且

f

xx

ax

．當

2時，flnxx

，由（）知

x

．即當

x

時

f

，所以

f

上單調遞增．所以

f

不存在極值．證法：因為

f

2

x

，函數

f

的定義域為

xx

ax

．設

xx

ax

，則

12ax2

0

．設

h

，則

同號．當

時，由

，解得

1a，x

0．可知當

時

，當

時

，所以

f

在

2

上單調遞減，在

上單調遞增．由（）知

x

．則

f2

．所以

f

2

，

在定義域上單調遞增．

12x12xf所以不存在極值．2020·河省高三期末）已知函數

f

xx

（Ⅰ）討論

f

x

的單調性，并證明

f

x

有且僅有兩個零點；（Ⅱ）設

是

f

的一個零點，證明曲線

y

x

在點

處的切線也是曲線

yx

的切線【答案）

f

單調遞增，證明見解析）解.【解析）

f

的定義域為

，因為

f

x

2x

，以

單調遞因為

f

1，f，以f在有唯一零點x，3因為

f

12

，由3，

f

0

；因為

ff

在

有唯一零點

x

2

綜上，

f

有且僅有兩個零.（Ⅱ）由題設知

f0

，即

00

，由

y

x

，得

y

x

，曲線

y

x

在

處的切線

l1

為：y

x

x

，

y

x

x

x

由

yln

，得

y

1x

，則曲線

yx

的斜率為

x

的切線的切點橫坐標滿0

，解得

，代入

yln

，得

yln

0

，故曲線

yln

的斜率為e

x

的切線l方為2

x

x

，由0

，得ex0

為同一條直線.022020·重高三月考）已知函數（1）求實數a的；

f(x)lnx

（常數）的最大值為

11a211a2（2設函數

F()m(x1)lnx(x)

3e

當m

時證函數

F

有兩個不同的零點

x，x1（x

x21

【答案）a（）見解析【解析）數

fx)

的定義域為：(0,

axx當a時

f

0

，則函數

fx)

在單遞增，無最大值；當

時，令f

(

x

，(ax，得0

1a

，所以函數

1fx)在)上調遞增，a

(

上單調遞減，11f(x)f()ln易知函數yln與數aa1ln的解為；a

y

的圖像相交于點(1,0)，以方程（2）

F(x)(xxln

3emxFm(lnx)Fxx2當m

時

F

，則

在單遞增，又因為

()在(0,1)上單調遞減，在

上單調遞增，又

312F，F)(1)ee

e2，F(m(ee所以函數

有兩個不同的零點

1x,1)e

，

x(1,)2

，故

x1

2020·安省高三期末）已知函數f

（1）當a時討論

f

的單調性；（2）若

f

有兩個不同零點，，證明：a且12

xx1

【答案）類討論，詳見解析）見解析.【解析）f因為a，由

f

得，或xln

i

即a時，f2a

在

1，

單調遞增，在

單

a2a211調遞減；ii）

2a

即

a

12

時，

f

在

單調遞減；iii2a

即

1時，f2

x

單調遞減

1單調遞減.（2）由（）知，

時，

f

的極小值為

1fln

，時2

的極小值為

f

，a時f2

在

單調，故a時

f

至多有一個零點當a

時，易知

f

單調遞減，在

單調遞增.要使

f

有兩個零點，則

f

，即a

，得a令

F

xF

x

，所以

F

在x時調遞增，F

，

f

不妨設x

，則

x1

，

x

，

，

f

由

f

單調遞減得，

12

，即

xx01

新疆維吾爾自治區(qū)高三月考）已知函數(x)

2x

2

ln(a)（1）若時，討論()

的單調性；（2）設

f(x)x，()

有兩個零點，求a的取值范圍【答案）案不唯一，具體見解析2

a【解析）知

fx)

的定義域為且fx)

2x2ax

，對于2x2，，又，

在上單調遞增，在,1在上單調遞增，在,1①若2時

0,f

，f(

在

上是增函數；②若a時

f0

，得x

aa20,x4

f()在

和

,

，在

x,x12

上是減函數.（2）由

(

x

，定域為(0,

()

aax1axx①當時

g

0恒立，g()在(0,單遞，則

(x)

至多有一個零點，不符合題意；②當時，

g

x

1a

，()

10,a

上單調遞減g(x)

max

a要g()

有兩個零點，則ln，由a解

a此時

,易知當a時

a

,e

glne

a

2

，令

()

x

2,x(,

x

，令

h()

x

，所以

h

x)

x

，xe,h

m)

在

xe

為增函數，

mxm)e0(x)在x(e

為增函數，

m()m(ee20

，所以

e

g

函()在

各存在一個零點綜上所述，.112020·全高三專題練習）已知函數f（1）當

時，證明：

f

；

11（2）若

f

在上有且只有一個零點，求的值范圍．【答案）解析；（2）

【解析）

時，f2

，所以

f()

的定義域為,且

f()f(x),

故

fx)

為偶函數．當x,f

，記

g

x所以g

x

．因為

g

上單調遞增，即

f

上單調遞增，故

f

，所以

f

上單調遞增，所以

f

，因為

f()

為偶函數所以當x時f(x)

（2）①當a時

f

，令x，解得

xk

，所以函數

fx)

有無數個零點，不符合題意；②當時

f

，當且僅當

時等號成立，故a符合題意；③因為

f

，所以

f

是偶函數，又因為

f

，故

是

f

的零點當

時，

f

，記

g

，則

g

）當

a

12

時，

g

，故

g

單調遞增，故當

x時

即

，故

f

單調遞增，故

f

x

所以

f

沒有零因為

f

是偶函數所以

f

在R有且只有一個零

0,10,1）當

12

時，當

時，存在

，使得xa

，且當

0

時，

g

單調遞減，故

，即

xf

x

，

單調遞減，

f

，又

所以

f

x

f

，由零點存在性定理知

f

在

x,2

上有零點，又因為

是

f

的零點，故0不符合題意；綜上所述，a的值范圍為

,天津南開中學高三月考）已知函數（Ⅰ）求a的值范圍；的兩個零點，證明：（Ⅱ）設xx是【答案））見解析

有兩個零點.【解析）（Ⅰ）設，則

，

只有一個零點．

．（Ⅱ）設

，則當

時，

；當

時，

．所以

在

單調遞減，在又

單調遞增．，，滿

且

，則，故

存在兩個零點．（Ⅲ）設

，由

得

或

．若

，則

，故當

時，

，因此

在

單調遞增．又當

時，所以

不存在兩個零點．若

，則

，故當

時，

；當

時，

．因此在

單調遞減在

單調遞增又

時，

所

不存在兩個零

點．綜上，的值范圍為

．（Ⅱ）不妨設

，由（Ⅰ）知

，

，

在

單調遞減，所以

等價于

，即

．由于

，而

，所以．設所以當從而

時，

，則，而，故

，故當．

．時，．廣東省執(zhí)信中學高三月考）已知函數的極值點個數，并說明理由；

f

x

，其中為零常數．

的極值點為f1的零點且

x，求證：x101

．【答案）解析）明解析ii）證明見解析.【解析】

解：由已知，

f

的定義域為

f

ax

2

e

，①當

時，

x

，而

f'

x

，所以

f②當

時，令

2ex

，則由于

a

1

，所以存在唯一的

x0

，所以當

x'0

，

0000所以當

時，

f綜上所述，當a，函數

f

無極值點；當

時，函數

f

只有一個極值點；

a

2

e

．令

2ex

，由a得

，所以

f'不妨設為x，則f0所以x是f的唯一極值點．

上單調遞減，