2021-2022學(xué)年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：21，總分：1501.（單選題，4分）設(shè)集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，則A∩B=（）A.{2，3，4}B.{3，4}C.{2，3}D.{2}2.（單選題，4分）已知i為虛數(shù)單位，若（2+i）z=i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.（單選題，4分）設(shè)函數(shù)，則f（x）是（）A.奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增D.偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減4.（單選題，4分）將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和1本語(yǔ)文書(shū)在書(shū)架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的概率為（）A.B.C.D.5.（單選題，4分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2=3，S4=18，則S6=（）A.36B.45C.63D.756.（單選題，4分）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，并制成了頻率分布直方圖，如右圖所示，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根據(jù)頻率分布直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）A.56B.60C.120D.1407.（單選題，4分）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A.cb＜caB.logca＞logcbC.ac＜bcD.logac＞logbc8.（單選題，4分）在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=（）A.B.C.D.9.（單選題，4分）設(shè){an}是首項(xiàng)為-1的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n-1+a2n＞0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件10.（單選題，4分）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①AC⊥BE；

②△AEF的面積與△BEF的面積相等；

③三棱錐A-BEF的體積為定值．

其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.311.（填空題，5分）已知向量=（2，5），=（λ，4），若||，則λ=___．12.（填空題，5分）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__，漸近線方程為_(kāi)__．13.（填空題，5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則使f（x）≤2成立的x的取值范圍是___．14.（填空題，5分）若點(diǎn)P（cosθ，sinθ）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則θ的一個(gè)取值為_(kāi)__．15.（填空題，5分）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個(gè)半徑為r的小圓在一個(gè)半徑為4r的大圓內(nèi)部，小圓沿著大圓的圓周滾動(dòng)，小圓的圓周上任一點(diǎn)形成的軌跡即為星形線．如圖，已知r=1，起始位置時(shí)大圓與小圓的交點(diǎn)為A（A點(diǎn)為x軸正半軸上的點(diǎn)），滾動(dòng)過(guò)程中A點(diǎn)形成的軌跡記為星形線C．有如下結(jié)論：

①曲線C上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為8；

②曲線D：|x|+|y|=4的周長(zhǎng)大于曲線C的周長(zhǎng)；

③曲線C與圓x2+y2=4有且僅有4個(gè)公共點(diǎn)．

其中正確的序號(hào)為_(kāi)__．16.（問(wèn)答題，13分）已知函數(shù)，h（x）=cosx，從條件①f（x）=g（x）?h（x）、條件②f（x）=g（x）+h（x）這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

（Ⅰ）f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）f（x）在區(qū)間上的最小值．17.（問(wèn)答題，14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ADC=，側(cè)面PAD為直角三角形，∠PAD=，CD⊥平面PAD．

（Ⅰ）求證：CD||平面PAB；

（Ⅱ）求證：PA⊥平面ABCD；

（Ⅲ）若AB=3，PD=4，CD=AD=2，判斷在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線AM與平面PBC所成角的大小為．18.（問(wèn)答題，13分）某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的學(xué)生先在兩類問(wèn)題中選擇一類，然后從所選類別的問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，比賽結(jié)束．A類問(wèn)題回答正確得10分，否則得0分；B類問(wèn)題回答正確得30分，否則得0分．已知小明同學(xué)能正確回答A類中的每一個(gè)問(wèn)題的概率均為0.8，能正確回答B(yǎng)類中的每一個(gè)問(wèn)題的概率均為0.5，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．

（Ⅰ）若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（Ⅱ）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．19.（問(wèn)答題，15分）已知橢圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓C的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）橢圓C在y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P滿足，直線PF交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且，求此時(shí)∠OPF的大小．20.（問(wèn)答題，15分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，-1）處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）求證：當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）≥-e．21.（問(wèn)答題，15分）記實(shí)數(shù)a，b中的較大者為max{a，b}，例如max{1，2}=2，max{1，1}=1，對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{an}，記，若對(duì)于任意的k∈N*，均有φk+1＜φk，則稱數(shù)列{an}為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”．

（Ⅰ）已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=-2n+1，，判斷數(shù)列{an}，{bn}是否為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）已知首項(xiàng)為1公比為q的等比數(shù)列{cn}是“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，求q的取值范圍；

（Ⅲ）若數(shù)列{dn}滿足d1，d2為正實(shí)數(shù)，且dn+2=|dn+1-dn|，求證：{dn}為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的充要條件為{dn}的項(xiàng)中沒(méi)有0．

2021-2022學(xué)年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：21，總分：1501.（單選題，4分）設(shè)集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，則A∩B=（）A.{2，3，4}B.{3，4}C.{2，3}D.{2}【正確答案】：C【解析】：利用交集定義直接求解．

【解答】：解：∵集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，

∴A∩B={2，3}．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2.（單選題，4分）已知i為虛數(shù)單位，若（2+i）z=i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【正確答案】：A【解析】：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出z，從而求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限．

【解答】：解：∵（2+i）z=i，

∴z====+i，

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限，是基礎(chǔ)題．3.（單選題，4分）設(shè)函數(shù)，則f（x）是（）A.奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增D.偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減【正確答案】：A【解析】：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷即可．

【解答】：解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，

f（-x）=-x3+=-（x3-）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)，

當(dāng)x＞0時(shí)，y=x3和y=-是增函數(shù)，則f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4.（單選題，4分）將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和1本語(yǔ)文書(shū)在書(shū)架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的概率為（）A.B.C.D.【正確答案】：D【解析】：將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和1本語(yǔ)文書(shū)在書(shū)架上隨機(jī)排成一行的情況共有種，其中2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的情況有種，以此可解決此題．

【解答】：解：將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和1本語(yǔ)文書(shū)在書(shū)架上隨機(jī)排成一行的情況共有=6種，其中2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的情況有=4種，則2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的概率為=．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查排列數(shù)應(yīng)用及古典概型，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.（單選題，4分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2=3，S4=18，則S6=（）A.36B.45C.63D.75【正確答案】：B【解析】：利用等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出a1=0，d=3，由此能求出S6．

【解答】：解：Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2=3，S4=18，

∴，

解得a1=0，d=3，

∴S6=6×0+=45．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查等差數(shù)列的前6項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6.（單選題，4分）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，并制成了頻率分布直方圖，如右圖所示，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根據(jù)頻率分布直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）A.56B.60C.120D.140【正確答案】：D【解析】：根據(jù)直方圖確定自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率，再結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解．

【解答】：解：這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，

因此這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為200×0.7=140．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.（單選題，4分）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A.cb＜caB.logca＞logcbC.ac＜bcD.logac＞logbc【正確答案】：D【解析】：分別結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單調(diào)性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．

【解答】：解：因?yàn)?＜c＜1，a＞b，

所以y=cx在R上單調(diào)遞減，所以cb＞ca，A錯(cuò)誤；

y=logcx在（0，+∞）上單調(diào)遞減，logca＜logcb＜0，B錯(cuò)誤；

因?yàn)閥=xc在（0，+∞）上單調(diào)遞增且a＞b，

所以ac＞bc，C錯(cuò)誤；

所以logac＞logbc，D正確．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.（單選題，4分）在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=（）A.B.C.D.【正確答案】：C【解析】：直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．

【解答】：解：在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，

利用正弦定理：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB；

由于0＜A、B＜π，

所以cosB=，

解得B=．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9.（單選題，4分）設(shè){an}是首項(xiàng)為-1的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n-1+a2n＞0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】：B【解析】：由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別檢驗(yàn)充分性及必要性即可判斷．

【解答】：解：因?yàn)閍2n-1+a2n=-q2n-2+（-1）×q2n-1=-（q+1）?q2n-2，

當(dāng)q＜0時(shí)，無(wú)法確定q+1的正負(fù)，故無(wú)法確定a2n-1+a2n的正負(fù)，

當(dāng)a2n-1+a2n＞0時(shí)，可得-（q+1）?q2n-2＞0，

所以q+1＜0，即q＜-1，此時(shí)一定有q＜0，

故q＜0是對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n-1+a2n＞0的必要不充分條件．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，還考查了充分性及必要性的檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題．10.（單選題，4分）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①AC⊥BE；

②△AEF的面積與△BEF的面積相等；

③三棱錐A-BEF的體積為定值．

其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【正確答案】：C【解析】：①根據(jù)條件，可知AC⊥面DD1B1B，由線面垂直的性質(zhì)，可得AC⊥BE；②由△AEF與△BEF是同底不等高，得出面積不相等；③直接求出該三棱錐的體積即可判斷．

【解答】：解：對(duì)于①，根據(jù)題意，結(jié)合圖形知，AC⊥面DD1B1B，BE?平面DD1B1B，

∴AC⊥BE，命題①正確；

對(duì)于②，∵點(diǎn)B到直線EF的距離與點(diǎn)A到直線EF的距離不相等，

∴△AEF與△BEF的面積不相等，命題②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，三棱錐A-BEF的體積為V三棱錐A-BEF=?S△BEF?h=×××1×=，

∴三棱錐A-BEF的體積為定值，命題③正確；

對(duì)于綜上，正確的命題有2個(gè)．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題以正方體為載體，考查了空間中的平行與垂直關(guān)系，面積與體積的計(jì)算問(wèn)題，是綜合性題目，屬中檔題．11.（填空題，5分）已知向量=（2，5），=（λ，4），若||，則λ=___．【正確答案】：[1]【解析】：根據(jù)題意，由||，可得關(guān)于λ的方程，再求出λ即可．

【解答】：解：因?yàn)?（2，5），=（λ，4），||，

所以8-5λ=0，解得λ=．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．12.（填空題，5分）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__，漸近線方程為_(kāi)__．【正確答案】：[1]（±4，0）;[2]y=x【解析】：直接利用雙曲線方程求解焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程即可．

【解答】：解：雙曲線，可得a=2，b=2，c=4，

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4，0），

漸近線方程為：y=x．

故答案為：（±4，0）；y=x．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題．13.（填空題，5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則使f（x）≤2成立的x的取值范圍是___．【正確答案】：[1]（-∞，4]【解析】：由分段函數(shù)可得當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）≤2即為2x-1≤2，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤2即為≤2，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，解出不等式，最后求并集即可．

【解答】：解：函數(shù)f（x）=，

當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）≤2即為2x-1≤2，解得x≤2，即為x＜1；

當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤2即為≤2，解得x≤4，即為1≤x≤4．

則有x的取值范圍是（-∞，1）∪[1，4]=（-∞，4]．

故答案為：（-∞，4]．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：解不等式，主要考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．14.（填空題，5分）若點(diǎn)P（cosθ，sinθ）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則θ的一個(gè)取值為_(kāi)__．【正確答案】：[1]-【解析】：直接利用點(diǎn)的對(duì)稱的應(yīng)用和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．

【解答】：解：∵點(diǎn)P（cosθ，sinθ）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，

∴cosθ=cos（θ+），sinθ=-sin（θ+）．

由sinθ+sin（θ+）=0，整理得：sinθ+sinθ+cosθ=0，

即+cosθ=0，sin（θ+）=0，

故θ=-時(shí)，上式成立，

故答案為：-．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．15.（填空題，5分）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個(gè)半徑為r的小圓在一個(gè)半徑為4r的大圓內(nèi)部，小圓沿著大圓的圓周滾動(dòng)，小圓的圓周上任一點(diǎn)形成的軌跡即為星形線．如圖，已知r=1，起始位置時(shí)大圓與小圓的交點(diǎn)為A（A點(diǎn)為x軸正半軸上的點(diǎn)），滾動(dòng)過(guò)程中A點(diǎn)形成的軌跡記為星形線C．有如下結(jié)論：

①曲線C上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為8；

②曲線D：|x|+|y|=4的周長(zhǎng)大于曲線C的周長(zhǎng)；

③曲線C與圓x2+y2=4有且僅有4個(gè)公共點(diǎn)．

其中正確的序號(hào)為_(kāi)__．【正確答案】：[1]①③【解析】：根據(jù)題意，分析曲線C的圖形，據(jù)此分析3個(gè)結(jié)論，即可得答案．

【解答】：解：根據(jù)題意，曲線C的形狀如圖：其中A（0，4），B（-4，0），C（0，-4），D（4，0），

由此分析3個(gè)結(jié)論：

對(duì)于①，曲線C上，AC或BD之間的距離最大，且|AC|=|BD|=8，即任曲線C上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為8，正確；

對(duì)于②曲線D：|x|+|y|=4，圖形為圖中的正方形，必有D的周長(zhǎng)小于曲線C的周長(zhǎng)；

對(duì)于③，曲線C與圓x2+y2=4有且僅有4個(gè)公共點(diǎn)，即ABCD四點(diǎn)，正確；

正確的是①③，

故答案為：①③．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查曲線的軌跡，涉及命題真假的判斷，屬于中檔題．16.（問(wèn)答題，13分）已知函數(shù)，h（x）=cosx，從條件①f（x）=g（x）?h（x）、條件②f（x）=g（x）+h（x）這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

（Ⅰ）f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）f（x）在區(qū)間上的最小值．【正確答案】：

【解析】：選擇條件①：（Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求函數(shù)解析式為f（x）=sin（2x-）-，利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解；（Ⅱ）由已知可求2x-∈[-，]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最大值．

選擇條件②：（Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求函數(shù)解析式為f（x）=sin（x+），利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解；（Ⅱ）由已知可求得x+∈[，]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最大值．

【解答】：解：選擇條件①：f（x）=g（x）?h（x），

（Ⅰ）f（x）=sin（x-）cosx=（sinx-cosx）cosx

=sinxcosx-cos2x=××sin2x-×=sin2x-cos2x-

=sin（2x-）-，

所以f（x）的最小正周期T==π．

（Ⅱ）因?yàn)閤∈[0，]，可得2x-∈[-，]，

所以sin（2x-）∈[-，1]，可得sin（2x-）-∈[-，]，

當(dāng)2x-=，即x=時(shí)，f（x）有最大值．

選擇條件②：f（x）=g（x）+h（x），

（Ⅰ）f（x）=sin（x-）+cosx=（sinx-cosx）+cosx

=sinx+cosx=sin（x+），

所以f（x）的最小正周期T==2π．

（Ⅱ）因?yàn)閤∈[0，]，可得x+∈[，]，

所以sin（x+）∈[，1]，

當(dāng)x+=，即x=時(shí)，f（x）有最大值1．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的周期公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17.（問(wèn)答題，14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ADC=，側(cè)面PAD為直角三角形，∠PAD=，CD⊥平面PAD．

（Ⅰ）求證：CD||平面PAB；

（Ⅱ）求證：PA⊥平面ABCD；

（Ⅲ）若AB=3，PD=4，CD=AD=2，判斷在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線AM與平面PBC所成角的大小為．【正確答案】：

【解析】：（I）由條件得到AB||CD即可；

（II）由條件可得CD⊥PA，AD⊥PA，即可證明；

（III）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，算出平面PBC的法向量，設(shè)，然后可得，然后可建立方程求解．

【解答】：證明：（I）因?yàn)樗睦忮FP-ABCD中，，

所以AB||CD，

因?yàn)锳B?平面PAB，CD?平面PAB，

所以CD||平面PAB．

證明：（II）因?yàn)镃D⊥平面PAD，PA?平面PAD，所以CD⊥PA，

又因?yàn)椋訟D⊥PA，

因?yàn)镃D，AD?平面ABCD，CD∩AD=D，

所以PA⊥平面ABCD．

解：（III）存在，當(dāng)M為線段PD中點(diǎn)時(shí)，理由如下：

由（II）可知，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，

所以AB⊥PA，

又AD⊥PA，AB⊥AD，

如圖以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

則．

設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），

由得

令，所以．

設(shè)，

則，

所以，

直線AM與平面PBC所成角為θ，

所以，

解得，符合題意，

所以當(dāng)M為線段PD中點(diǎn)時(shí)，直線AM與平面PBC所成角的大小為．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查利用空間向量解決立體幾何的問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18.（問(wèn)答題，13分）某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的學(xué)生先在兩類問(wèn)題中選擇一類，然后從所選類別的問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，比賽結(jié)束．A類問(wèn)題回答正確得10分，否則得0分；B類問(wèn)題回答正確得30分，否則得0分．已知小明同學(xué)能正確回答A類中的每一個(gè)問(wèn)題的概率均為0.8，能正確回答B(yǎng)類中的每一個(gè)問(wèn)題的概率均為0.5，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．

（Ⅰ）若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（Ⅱ）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）得分情況有三種可能性，第一個(gè)問(wèn)題錯(cuò)誤，0分；第一個(gè)問(wèn)題正確，第二個(gè)錯(cuò)誤，10分；兩個(gè)問(wèn)題都正確，40分，分別求出相應(yīng)的概率，能求出X的分布列；

（Ⅱ）將兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，比較大小即可得出結(jié)論．

【解答】：解：（Ⅰ）得分情況有三種可能性，第一個(gè)問(wèn)題錯(cuò)誤，X=0分，

P（X=0）=1-0.8=0.2，

第一個(gè)問(wèn)題正確，第二個(gè)錯(cuò)誤，X=10分，

P（X=10）=0.8×（1-0.5）=0.4，

兩個(gè)問(wèn)題都正確，X=40分，

P（X=40）=0.8×0.5=0.4，

∴X的分布列為：X1040P0.20.40.4（Ⅱ）由（1）知，若小明先回答A問(wèn)題，則E（X）=0×0.2+10×0.4+40×0.4=20，

若小明先回答B(yǎng)問(wèn)題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的可能取值為0，30，40，

P（Y=0）=1-0.5=0.5，

P（Y=30）=0.5×（1-0.8）=0.1，

P（Y=40）=0.5×0.8=0.4，

∴E（Y）=0×0.5+30×0.1+40×0.4=19，

∵19＜20，∴小明應(yīng)選擇先回答A類問(wèn)題．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19.（問(wèn)答題，15分）已知橢圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓C的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）橢圓C在y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P滿足，直線PF交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且，求此時(shí)∠OPF的大小．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓的離心率可求解；

（Ⅱ）分析可知直線PF斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式可知直線PF的方程為，再利用，知點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求解．

【解答】：解：（Ⅰ）因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，所以，

因?yàn)殡x心率，

所以，

所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）當(dāng)直線PF垂直于x軸時(shí)，（舍）；

當(dāng)直線PF不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線PF的方程為，

由，整理得，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由題意Δ＞0恒成立，

所以，

利用弦長(zhǎng)公式知=，

解得k=±1，

所以直線PF的方程為，

因?yàn)锳，B為橢圓C在y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)A（0，1），B（0，-1），

因?yàn)?，設(shè)P（m，n），

所以（m，n-1）?（m，n+1）=0，

即m2+n2=1，

即點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，

因?yàn)樵c(diǎn)到直線PF的距離，

所以直線PF與圓m2+n2=1相切，

所以∠OPF=90°．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，屬于中檔題．20.（問(wèn)答題，15分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，-1）處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）求證：當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）≥-e．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；

（Ⅱ）求出f'（x），分0＜a＜、a=、a＞，討論y=f（x）的單調(diào)性可得答案；

（Ⅲ）當(dāng)a≤-1時(shí)，令f'（x）=0，得x=或x=2，f（x）取得極小值f（）=-，-∈[-e，1），由極小值定義及f（x）的單調(diào)性可知：

當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）≥-e；當(dāng)x≥2時(shí)，設(shè)g（x）=-ax2+x-1，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知g（x）＞g（2）＞0恒成立，可得答案．

【解答】：解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）===，

所以f'（0）=2，f（0）=-1，

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，-1）處的切線方程為y=2x-1．

（Ⅱ）由（1）知：f'（x）=，

因?yàn)閍＞0，令f'（x）=0，所以x=或x=2．

當(dāng)0＜a＜時(shí)，，則

當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（2，）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)a=時(shí)，f'（x）≥0恒成立，f（x）在R上恒為增函數(shù)；

當(dāng)a＞時(shí)，0＜＜2，則

當(dāng)x∈（-∞，）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)0＜a＜時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，2）和（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，）；

當(dāng)a=時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是R，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a＞時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（，2）．

（Ⅲ）當(dāng)a≤-1時(shí)，令f'（x）=0得x=或x=2，則

當(dāng)x∈（-∞，）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（，2）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

所以當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得極小值f（）=-，

因?yàn)閍≤-1，所以-∈[-e，-1），

所以由極小值定義及f（x）的單調(diào)性可知：

當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）≥-e；

接下來(lái)，研究f（x）在x≥2的變化情況，

因?yàn)閑x＞0恒成立，設(shè)g（x）=-ax2+x-1，x≥2，a≤-1，則

對(duì)稱軸x=＜0，Δ=1-4a＞0，拋物線開(kāi)口向上，g（2）=1-4a＞0，

所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：g（x）＞g（2）＞0恒成立，

所以f（x）＞0在x≥2上恒成立．

綜上所述，當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）≥-e．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值與極值，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．21.（問(wèn)答題，15分）記實(shí)數(shù)a，b中的較大者為max{a，b}，例如max{1，2}=2，max{1，1}=1，對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{an}，記，若對(duì)于任意的k∈N*，均有φk+1＜φk，則稱數(shù)列{an}為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”．

（Ⅰ）已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=-2n+1，，判斷數(shù)列{an}，{bn}是否為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）已知首項(xiàng)為1