煤企對口單招數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大綱

/練習(xí)題１。如圖,四面體ＡBCD中,O、E分別是BD、BC的中點，（1)求證：平面ＢCD；（２)求異面直線ＡB與CD所成角的余弦;（3）求點E到平面ACD的距離。2．如圖,在組合體中，是一個長方體,是一個四棱錐．，,點且．第2題圖(Ⅰ）證明：；第2題圖（Ⅱ）若，當(dāng)為何值時，。3。在正三角形ABＣ中，E、F分別是ＡB、ＡC邊上的點，滿足（如圖1）.將△AEＦ沿ＥF折起到的位置,使二面角Ａ１－ＥＦ－B成直二面角，連結(jié)Ａ１B、A1C．(1)求證:A１E⊥平面BEＣ;(2）求四棱錐Ａ1ＢＣFE的體積.(３）在ＢE上是否存在一點M,使ＣＭ⊥平面BEA1若存在指出M點位置,不存在說明理由。４.如圖，正三棱柱中，，、分別是側(cè)棱、上的點，且使得折線的長最短．(1)證明:平面平面；（2)求直線與平面所成角的余弦值。４.如圖，四邊形ABＣD為矩形,ＡD⊥平面ＡBE，AＥ＝EB＝BC=２，為上的點，且ＢF⊥平面ＡＣE．（1）求證：AE⊥BE;（2)求三棱錐Ｄ-AEＣ的體積；BCADEFM（3)設(shè)M在線段ABBCADEFMCE上確定一點N，使得ＭN∥平面ＤAE。５.若關(guān)于的實系數(shù)方程有兩個根,一個根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，記點對應(yīng)的區(qū)域為。(１）設(shè),求的取值范圍；（2）過點的一束光線，射到軸被反射后經(jīng)過區(qū)域,求反射光線所在直線經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的整點（即橫縱坐標為整數(shù)的點)時直線的方程．6。在平面直角坐標系中,已知以為圓心的圓與直線：，恒有公共點，且要求使圓的面積最小。（1)寫出圓的方程;(２)圓與軸相交于A、B兩點,圓內(nèi)動點P使、、成等比數(shù)列，求的范圍；（3）已知定點Ｑ（，3），直線與圓交于M、Ｎ兩點，試判斷是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此時直線的方程，若不存在,給出理由.7。已知圓:，設(shè)點是直線：上的兩點,它們的橫坐標分別是，點在線段上,過點作圓的切線，切點為．（1)若，，求直線的方程；（2）經(jīng)過三點的圓的圓心是,求線段長的最小值．8。已知橢圓的左、右焦點分別為，若以為圓心,為半徑作圓，過橢圓上一點作此圓的切線,切點為,且的最小值不小于為．（1）求橢圓的離心率的取值范圍；F2TOPyx（２）設(shè)橢圓的短半軸長為，圓與軸的右交點為，過點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點，若,求直線被圓截得的弦長的最大值．F2TOPyx9。如圖所示，F(xiàn)1、F2是雙曲線x2–y2=1的兩個焦點，O為坐標原點，圓Ｏ是以F１F2為直徑的圓,直線l：ｙ=kx+ｂ與圓O相切，并與雙曲線交于A、B（Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式;（Ⅱ）當(dāng)，且滿足２≤ｍ≤４時，求△AＯB面積的取值范圍.10。點,圓：與橢圓:有一個公共點，分別是橢圓的左、右焦點，直線與圓相切．(Ⅰ)求的值與橢圓的方程；(Ⅱ）設(shè)為橢圓上的一個動點,求的取值范圍。11．已知圓為ΔABC的內(nèi)切園,且BC中點為（1，-1)，BC∥x軸。⑴求ΔABＣ頂點A的軌跡方程.⑵求｜BC｜的范圍。⑶試問ΔABC的面積是否存在最小值？請證明你的判斷１.如圖,四面體ＡBＣD中，O、E分別是BD、BC的中點，（１）求證：平面BCD；（2)求異面直線AB與CD所成角的余弦;（３）求點Ｅ到平面ＡCD的距離．2.如圖，在組合體中,是一個長方體,是一個四棱錐．，，點且．第2題圖（Ⅰ)證明：；第2題圖（Ⅱ）若，當(dāng)為何值時,．(Ⅰ）證明:因為，，所以為等腰直角三角形,所以.因為是一個長方體，所以,而，所以，所以.因為垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理,可得。（Ⅱ）解：當(dāng)時,。當(dāng)時,四邊形是一個正方形,所以，而，所以，所以．而,與在同一個平面內(nèi)，所以．而，所以,所以．3.在正三角形ＡＢＣ中，Ｅ、Ｆ分別是AＢ、ＡC邊上的點，滿足（如圖１）.將△ＡEF沿EF折起到的位置，使二面角Ａ1－ＥＦ－B成直二面角，連結(jié)A1Ｂ、A1C．（1）求證:A1Ｅ⊥平面BEC;(2）求四棱錐A1BCFE的體積。（3)在BＥ上是否存在一點M,使CＭ⊥平面ＢEA１若存在指出Ｍ點位置,不存在說明理由。解不妨設(shè)正三角形的邊長為3，則（１）在圖1中，取中點，連結(jié)，則∵，∴，而，∴∴在圖2中有，，∴為二面角的平面角∵二面角為直二面角,∴又∵，∴⊥平面.4.如圖,正三棱柱中,,、分別是側(cè)棱、上的點，且使得折線的長最短。（1)證明:平面平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．解：（1)∵正三棱柱中，，∴將側(cè)面展開后，得到一個由三個正方形拼接而成的矩形（如圖）,從而,折線的長最短，當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點共線,∴、分別是、上的三等分點,其中.（注：直接正確指出點、的位置，不扣分)連結(jié),取中點，中點,連結(jié)、、。由正三棱柱的性質(zhì),平面平面，而，平面，平面平面，∴平面．又由（１）知，，∴四邊形是平行四邊形，從而.∴平面。而平面,∴平面平面．（２)（法一）由（2），同理可證，平面平面．而平面,平面平面，∴即為在平面上的射影，從而是直線與平面所成的角.在△中,，，，由余弦定理,,即直線與平面所成角的余弦值為。5.如圖，四邊形AＢCＤ為矩形，AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2，為上的點，且BＦ⊥平面ACE．（１）求證：AE⊥ＢＥ；（2)求三棱錐Ｄ－AEＣ的體積；BCADEFM（３)設(shè)M在線段ABBCADEFMCＥ上確定一點Ｎ，使得MN∥平面DＡE。（1)證明:,∴，則又,則∴又∴(2)××（３)在三角形ＡBE中過Ｍ點作MG∥ＡＥ交ＢE于G點，在三角形BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點,連MN，則由比例關(guān)系易得CN＝MG∥ＡＥMG平面ＡＤE,AE平面ADE,MG∥平面ＡDE同理,GN∥平面ADE平面MGＮ∥平面AＤE又ＭＮ平面MGNＭN∥平面ADEN點為線段CE上靠近Ｃ點的一個三等分點6．若關(guān)于的實系數(shù)方程有兩個根，一個根在區(qū)間內(nèi),另一根在區(qū)間內(nèi),記點對應(yīng)的區(qū)域為。（1）設(shè)，求的取值范圍；（2）過點的一束光線，射到軸被反射后經(jīng)過區(qū)域，求反射光線所在直線經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的整點（即橫縱坐標為整數(shù)的點）時直線的方程.解：方程的兩根在區(qū)間和上的幾何意義是:函數(shù)與軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間和內(nèi),由此可得不等式組abA(-4,3)BCO,即，則在坐標平面內(nèi)，點對應(yīng)的區(qū)域如圖陰影部分所示，易得圖中abA(-4,3)BCO,.（１)令,則直線經(jīng)過點時取得最小值，經(jīng)過點時取得最大值，即,又三點的值沒有取到，所以(2)過點的光線經(jīng)軸反射后的光線必過點，由圖可知可能滿足條件的整點為，再結(jié)合不等式知點符合條件，所以此時直線方程為:，即7.在平面直角坐標系中,已知以為圓心的圓與直線:，恒有公共點,且要求使圓的面積最小。(1)寫出圓的方程；（２)圓與軸相交于A、Ｂ兩點,圓內(nèi)動點P使、、成等比數(shù)列,求的范圍；(3)已知定點Q（,３)，直線與圓交于M、N兩點,試判斷是否有最大值,若存在求出最大值，并求出此時直線的方程，若不存在,給出理由．解：(1）因為直線：過定點T(4,３)由題意，要使圓的面積最小,定點Ｔ（４,3)在圓上，所以圓的方程為；（2）Ａ（-5，0），B(5，0）,設(shè),則……（１），,由成等比數(shù)列得，，即，整理得:，即……（2)由（1)（2)得：,,…(3）,由題意,得直線與圓O的一個交點為M（4，3)，又知定點Q(,3），直線：,，則當(dāng)時有最大值32.即有最大值為32，此時直線的方程為.8。已知圓:,設(shè)點是直線:上的兩點,它們的橫坐標分別是,點在線段上,過點作圓的切線，切點為．(1）若，，求直線的方程；（2)經(jīng)過三點的圓的圓心是，求線段長的最小值.解：(1)設(shè) 解得或（舍去).?由題意知切線PＡ的斜率存在，設(shè)斜率為ｋ。 所以直線PA的方程為，即 直線PA與圓M相切，，解得或?直線PＡ的方程是或（2）設(shè)與圓Ｍ相切于點A，經(jīng)過三點的圓的圓心D是線段MP的中點．的坐標是設(shè)當(dāng),即時,當(dāng)，即時,當(dāng)，即時則9.已知橢圓的左、右焦點分別為，若以為圓心，為半徑作圓,過橢圓上一點作此圓的切線，切點為，且的最小值不小于為．（1)求橢圓的離心率的取值范圍；F2TOPyx（2）設(shè)橢圓的短半軸長為,圓與軸的右交點為，過點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點，若，求直線被圓截得的弦長的最大值．F2TOPyx解:(1）依題意設(shè)切線長∴當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值時取得最小值，而，,，從而解得,故離心率的取值范圍是；（2)依題意點的坐標為,則直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，則有，,代入直線方程得，,又，,，直線的方程為，圓心到直線的距離，由圖象可知，,，,所以．10。如圖所示,Ｆ1、F2是雙曲線x2–ｙ2＝1的兩個焦點，Ｏ為坐標原點，圓O是以F?１F2為直徑的圓,直線ｌ：y＝kｘ+ｂ與圓O相切,并與雙曲線交于A、B(Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式;(Ⅱ）當(dāng)，且滿足2≤m≤４時，求△ＡOB面積的取值范圍.．解（Ⅰ)因為圓O的方程為ｘ2+y2=2，所以ｄ=，可得ｂ2=2(k2+1)(k≠±1）．（Ⅱ)設(shè)A（x1，y1）,B（x2,y2），由，所以，所以==，因為｜ＡB｜＝×＝，Ｏ到AB的距離，所以＝∈．11.點,圓:與橢圓:有一個公共點，分別是橢圓的左、右焦點,直線與圓相切．（Ⅰ）求的值與橢圓的方程；?(Ⅱ）設(shè)為橢圓上的一個動點,求的取值范圍。解:（Ⅰ）點A代入圓C方程,?得．∵ｍ＜3，∴m＝1.圓C:．設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：,即．∵直線PF1與圓Ｃ相切,∴．解得．當(dāng)ｋ＝時，直線PＦ1與ｘ軸的交點橫坐標為,不合題意，舍去．當(dāng)ｋ＝時，直線PＦ1與ｘ軸的交點橫坐標為—4,∴c=4.F1（－4，0），F(xiàn)２(４,０）.2a=AF1+AＦ2＝，，ａ2=１8，b2＝2．橢圓Ｅ的方程為：．（Ⅱ）,設(shè)Q（x，y），,.∵，即，而，∴－1８≤6ｘy≤18．則的取值范圍是[0,36］．的取值范圍是[-6,6]．12。已知圓為ΔＡＢC的內(nèi)切園,且BC中點為（1，－１），ＢC∥x軸。⑴求ΔＡBC頂點A的軌跡方程。⑵求｜BＣ|的范圍。⑶試問ΔABC的面積是否存在最小值？請證明你的判斷解⑴設(shè)A（m,n），過A的園的切線y-n=k（ｘ—m）即kx—y+ｎ－kｍ=0則，即（ｍ2－1)k2－2mnk+n2—1＝0Δ>0得m2+n２〉1①設(shè)此方程兩解ｋ1=ｋABk2=kＡＣ則②另一方面BC：y=-１由AＢ：y—ｎ=k1(ｘ—ｍ)AC：y—n＝k2(x－m)解得：由于ＢC中點為（1,-1