圓錐曲線的離心率14種題型歸納與專項(xiàng)練習(xí)

圓錐曲線的離心率14種題型歸納與專項(xiàng)練習(xí)【題型一】判斷橫放豎放求參【典例分析】已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A． B．2 C．或2 D．或【答案】C【分析】根據(jù)成等比數(shù)列求得，再根據(jù)離心率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)成等比數(shù)列，故可得，解得或；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，此時(shí).故選：C.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】依據(jù)橢圓和雙曲線定義好幾何性質(zhì)，對(duì)方程中含參判斷，要從以下幾方面：通過討論，確定焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上判斷（即俗稱的橫放還是豎放）?！皺E圓”要注意避開倆分母相等這個(gè)計(jì)算坑【變式演練】1.已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線M的漸近線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由離心率的值求出的值，則可得雙曲線方程，從而可求出其漸近線方程【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，解得，所以雙曲線方程為，由，得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：A2.已知曲線C：的離心率，則實(shí)數(shù)m值為（）A．6 B．-6 C． D．【答案】D【分析】由曲線C：的離心率，得出是雙曲線，進(jìn)而得出，，由離心率，即可得出答案．【解析】因?yàn)榍€C：的離心率，所以曲線C：為雙曲線，即，所以，，所以離心率，解得，故選：D．3.設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)位置分情況討論.【解析】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓方程為，即，解得，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓方程為即，解得，綜上：，故選：B.【題型二】直接法【典例分析】橢圓上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的距離的最大值與橢圓的短軸長(zhǎng)相等，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而得，即，再解方程即可得答案.【解析】解：因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的距離的最大值為，橢圓的短軸長(zhǎng)為所以根據(jù)題意得，所以兩邊平方得，即等式兩邊同除以得，解得或（舍）所以橢圓的離心率為故選：B【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】直接利用橢圓和雙曲線的定義和基礎(chǔ)性質(zhì)求離心率離心率的公式：橢圓；雙曲線【變式演練】1.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為4，且焦距為10，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)焦距可得的值，根據(jù)右焦點(diǎn)到漸近線距離可求得的值，由可得的值，再由即可求解.【解析】因?yàn)榻咕酁?，所以，右焦點(diǎn)，，雙曲線漸近線方程為：，所以右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，所以，，所以離心率，故選：C.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓上存在點(diǎn)P，使得，其中?分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知結(jié)合橢圓定義，用a表示出和，再借助焦點(diǎn)三角形建立不等關(guān)系求解即得.【解析】因點(diǎn)P在橢圓上，則，又，于是得，，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)取“=”，即，解得，即，所以，橢圓的離心率取值范圍是.故選：D3.設(shè)雙曲線E：的離心率為，直線過點(diǎn)和雙曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得直線，由與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，化簡(jiǎn)得出方程，結(jié)合離心率的定義，得到，即可求解.【解析】不妨設(shè)直線右焦點(diǎn)，則直線的方程為，即，由直線與圓相切，且，可得，整理得，即，即，可得，即，解得或，因?yàn)?，可得，所?故選：D.【題型三】補(bǔ)連另一焦點(diǎn)利用定義【典例分析】已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】：由題設(shè)易知四邊形為矩形，可得，結(jié)合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【解析】：由橢圓的對(duì)稱性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，又即，綜上，，整理得，所以.故選：D.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】橢圓和雙曲線，與一個(gè)焦點(diǎn)有關(guān)，思維上優(yōu)先連接另一焦點(diǎn)，分析是否能借助定義解決?！咀兪窖菥殹?.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為?，直線與交于A?兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時(shí)，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】：結(jié)合題干條件得到，表達(dá)出，，利用橢圓定義得到關(guān)系，結(jié)合的范圍求出離心率的最小值.【解析】：連接，由題知點(diǎn)A?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，，則，，又，即，，由得，所以，D正確.2.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由已知條件知四邊形為矩形，利用橢圓的定義和勾股定理化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)，得到的范圍，然后利用對(duì)勾函數(shù)的值域得到的范圍，然后由求解.【解析】：如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形為矩形，，設(shè)，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B3.設(shè)橢圓（）的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過點(diǎn)F且斜率為的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為Q（點(diǎn)Q在x軸上方），且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】：連接Q和右焦點(diǎn)，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫出兩直線方程，聯(lián)立可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，Q點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得a、b、c關(guān)系﹒【解析】：設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，F(xiàn)Q過F(－c，0)，Q過(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率．故選：D．【題型四】余弦定理1：基礎(chǔ)型【典例分析】已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線漸近線上一點(diǎn)，且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】：根據(jù)雙曲線的定義和余弦定理建立關(guān)于的方程，從而可得雙曲線的離心率．【解析】：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，設(shè)，因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義可知，在中，由余弦定理可得，整理得，所以，即離心率.故選：C.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】一般情況下，焦點(diǎn)三角形，可以構(gòu)造余弦定理?！咀兪窖菥殹?.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的右支上，與交于點(diǎn)，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】：由題設(shè)知△為等腰直角三角形，即、，結(jié)合雙曲線的定義求、，在△中應(yīng)用余弦定理，構(gòu)造齊次方程，求離心率即可.【解析】：由且知：△為等腰直角三角形且、，即，∵，∴，故，則，而在△中，，∴，則，故.故選：B.2.設(shè)點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn).點(diǎn)，分別在雙曲線的左，右支上，若，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】：由及數(shù)量積的運(yùn)算律可得，設(shè)，則，，利用雙曲線的定義及直角三角形可求得（不合題意舍去），然后求出，再用余弦定理得出關(guān)系求得離心率．【解析】：，共線，且，，，則，故有，設(shè)，則，，由雙曲線的定義可得∴，整理得，解得：或，若，則，，不滿足，舍去；若，，符合題意，則，，此時(shí)，在中，，即，得到，即，∴．故選：B．3.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線左右兩支交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】：由題意可得△MNF2為等腰直角三角形，設(shè)|MF2|＝|NF2|＝m，則|MN|m，運(yùn)用雙曲線的定義，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的關(guān)系，即可得到所求離心率．【解析】：因?yàn)榧此栽谌切沃校杏嘞叶ɡ砜傻茫核约匆驗(yàn)橐訫N為直徑的圓經(jīng)過右焦點(diǎn)F2，所以，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2為等腰直角三角形，設(shè)|MF2|＝|NF2|＝m，則|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，兩式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化為c2＝3a2，即e．故選：B．【題型五】余弦定理2：勾股定理用兩次【典例分析】如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)是E的右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)PO，PF分別交E于Q，R兩點(diǎn)，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】：令雙曲線E的左焦點(diǎn)為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【解析】：如圖，令雙曲線E的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為．故選：B【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】焦點(diǎn)三角形或者焦點(diǎn)弦，有垂直（或者在圓上）可以構(gòu)造勾股定理，特別是焦點(diǎn)弦，倆交點(diǎn)，可以構(gòu)造兩個(gè)勾股定理?！咀兪窖菥殹?.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點(diǎn)，若，且的周長(zhǎng)為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】：根據(jù)條件求得，∴，在中，由勾股定理可得關(guān)于的等式，進(jìn)而可求得離心率.【解析】：由雙曲線定義知，則，，所以，∴的周長(zhǎng)為，∴，，由，所以，故，∴，∴，，∴，在中，，故.故選：A.2.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項(xiàng).【解析】：由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)?，且圓：，所以點(diǎn)在以焦距為直徑的圓上，則，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則為的中位線，所以，則，又點(diǎn)在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A．3.已知，是雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)，.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】：設(shè)，據(jù)雙曲線的定義可用表示，作，構(gòu)造直角三角形可計(jì)算得，并用勾股定理列出了，進(jìn)而可求.【解析】：設(shè)，則，從而，進(jìn)而.過作，則.如圖：在中，，；在中，，即，所以.故選：A【題型六】余弦定理3：余弦定理用兩次【典例分析】已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上且不與頂點(diǎn)重合，過作的角平分線的垂線，垂足為．若，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B根據(jù)題中的條件求出，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得到，再根據(jù)，得到，即可求出離心率的取值范圍.【解析】：解：如圖所示：，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是的角平分線，，又點(diǎn)在雙曲線上，，，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，，即，在中，，，，由三角形兩邊之和大于第三邊得：，兩邊平方得：，即，兩邊同除以并化簡(jiǎn)得：，解得：，又，，在中，由余弦定理可知，，在中，，即，又，解得：，又，,即，，綜上所述：.故選：B.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】焦點(diǎn)弦倆交點(diǎn)，可以分開為兩次構(gòu)造余弦定理【變式演練】1.設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，由，利用余弦定理，可得，在中，利用余弦定理，即可求橢圓的離心率.【解析】：由題意，如圖：設(shè)，因，則，由橢圓的定義知，，，在中，由余弦定理得：，即，整理得，在中，由余弦定理得：，即，即，即，所以，橢圓的離心率為.故選：A.2.已知梯形ABCD滿足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D為焦點(diǎn)的雙曲線Γ經(jīng)過B，C兩點(diǎn).若CD＝7AB，則雙曲線Γ的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先畫出大致圖象，結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理求得a，c之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.【解析】：如圖：連接AC，BD，設(shè)雙曲線的焦距AD＝2c，實(shí)軸長(zhǎng)為2a，則BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，設(shè)AB＝m，則CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，在△ABD中，由余弦定理及題設(shè)可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2，在△ACD中，由余弦定理及題設(shè)可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14，整理得：（c2﹣a2）＝m（a+c），（c2﹣a2）＝7m（a﹣c），兩式相結(jié)合得：a+c＝7（a﹣c），故6a＝8c，∴雙曲線Γ的離心率為e.故選：A.3.．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若且，則橢圓的離心率為（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)所給關(guān)系式利用橢圓的定義用a、c表示出邊、、、，在、中利用余弦定理求出、，再根據(jù)兩角互補(bǔ)列出關(guān)系式即可求得離心率.【解析】：由題意作出草圖，如下圖所示，由橢圓的定義可知，，，則，，，，則，在中由余弦定理可得，在中有余弦定理可得，，，，化簡(jiǎn)得，.所以橢圓的離心率為．故選：C【題型七】中點(diǎn)型【典例分析】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】：依據(jù)題給條件得到關(guān)于的關(guān)系式，即可求得橢圓的離心率.【解析】：設(shè)在橢圓上，所以，兩式相減，得，由直線AB的傾斜角為，可知，所以；設(shè)，，所以，所以，所以，即，所以.故選：B.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】中點(diǎn)型可以點(diǎn)差法，，點(diǎn)代入法計(jì)算【變式演練】1.已知О為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線C的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，其中M為線段OB的中點(diǎn)．O、A、F、M四點(diǎn)共圓，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】：根據(jù)題意得到，，，，再根據(jù)O、A、F、M四點(diǎn)共圓，可知四邊形為等腰梯形，利用，求得a，b關(guān)系即可.【解析】：由題意得：，，，因?yàn)镸為線段OB的中點(diǎn)，又為AB的中點(diǎn)，，即四邊形為梯形，又O、A、F、M四點(diǎn)共圓，即四邊形為圓內(nèi)接四邊形，而圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可知四邊形為等腰梯形，，即，整理得，所以，故選：A2.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn).點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且.若，則雙曲線的離心率是（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】:設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義得出，從而求出，在中利用余弦定理以及離心率的定義即可求解.【解析】:點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，則,設(shè)，則，又為直角三角形，，即，，，由雙曲線的定義可得，，，，，又，在中，由余弦定理可得，，離心率.故選：A3.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若橢圓上存在點(diǎn)，使得線段的垂直平分線恰好經(jīng)過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】:根據(jù)中垂直的性質(zhì)可得，根據(jù)列不等式，結(jié)合離心率公式以及橢圓離心率即可得解.【解析】:如圖：因?yàn)榫€段的垂直平分線恰好經(jīng)過焦點(diǎn)，所以，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，最大為；當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，最小為；所以，可得，所以，故選：C【題型八】多曲線交點(diǎn)1：和拋物線【典例分析】已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】B【解析】：過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|

∴，設(shè)PA的傾斜角為，則，當(dāng)m取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，

∴P（2，1），∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為PA﹣PB=2（﹣1），∴雙曲線的離心率為．故選B．【變式演練】1.已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)Р為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以F，為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】：過點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于D，根據(jù)拋物線的定義可知，記，根據(jù)題意，當(dāng)最小，即直線與拋物線相切時(shí)滿足題意，進(jìn)而解出此時(shí)P的坐標(biāo)，解得答案即可.【解析】：如圖，易知點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上，作PD垂直于準(zhǔn)線，且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當(dāng)取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)切線方程為，代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.2.已知拋物線和橢圓（），直線l與拋物線M相切，其傾斜角為，l過橢圓N的右焦點(diǎn)F，與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，，則橢圓N的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的方程，以及點(diǎn)坐標(biāo)，則可得到方程，求得，則離心率得解.【解析】：根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)椋士傻?，根?jù)直線斜率為，解得切點(diǎn)為，故直線的方程為，整理得故可得橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.過點(diǎn)作軸的垂直，垂足為，則在中，由，容易得，則可得，又點(diǎn)在橢圓上，故可得，結(jié)合，解得，故離心率為.故選：B.3.已知拋物線的焦點(diǎn)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若是正三角形，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出幾何圖形,由橢圓和拋物線的對(duì)稱性可知AB與軸交于橢圓的另一焦點(diǎn),則.根據(jù)正三角形性質(zhì)可得結(jié)合橢圓定義,可由勾股定理求得橢圓的離心率.【解析】：由題意可知,畫出幾何圖形如下圖所示:由橢圓與拋物線的對(duì)稱性可知,AB與軸交于橢圓的另一焦點(diǎn),則.由橢圓定義可知,且為正三角形.所以則由正三角形性質(zhì)可知為直角三角形.所以即,化簡(jiǎn)可得所以故選:C【題型九】多曲線交點(diǎn)2：與圓【典例分析】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以實(shí)軸為直徑的圓與其中一條漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為，若直線與另一條漸近線平行，則的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】：將一條漸近線方程與以實(shí)軸為直徑的圓方程聯(lián)立可得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的斜率，通過直線與另一條漸近線斜率相等即可得出的關(guān)系，從而求得雙曲線的離心率.【解析】：不妨設(shè)為第一象限的交點(diǎn).聯(lián)立方程組可得的坐標(biāo)為，所以直線的斜率.因?yàn)橹本€與另一條漸近線平行，所以，所以，則，故的離心率.故選：D.【變式演練】1.如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作直線，交雙曲線于，，，四點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】：利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及對(duì)稱性，再利用平行四邊形的特點(diǎn)，以及點(diǎn)在圓周上的向量垂直特點(diǎn)，列方程可解.【解析】：設(shè)，則，由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知：，連接，則有，由于在以AD為直徑的圓周上，，∵ABCD為平行四邊形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故選：D.2.已知雙曲線與圓在第二象限相交于點(diǎn)分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．2【答案】C【分析】：根據(jù)正弦定理得，結(jié)合雙曲線定義可求，可判斷為直角三角形，故可求M點(diǎn)坐標(biāo)，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求得a與b關(guān)系，故而求出離心率的值.【解析】：在中，∵，∴由正弦定理知，，又∵，∴，，∴在中，，，，∴，∴.設(shè)，則由等面積得：，即，∵在上，∴，∵在上，∴，即，即，即，即，即，即，即，∴.故選：C.3.已知，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)四邊形的周長(zhǎng)C與面積S滿足則該雙曲線的離心率的平方為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】：聯(lián)立圓和雙曲線的方程，并利用對(duì)稱性、雙曲線的定義、勾股定理，結(jié)合，解得雙曲線的離心率的平方為【解析】：如圖所示，根據(jù)題意繪出雙曲線與圓的圖像，設(shè)由圓與雙曲線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得：因?yàn)閳A是以為直徑，所以圓的半徑為。因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，也在雙曲線上，所以有，聯(lián)立化簡(jiǎn)可得：。整理可得：，則有：因?yàn)?，所以，因?yàn)榭傻茫阂驗(yàn)?，?lián)立可得：因?yàn)闉閳A的直徑，可得：，即，以離心率的平方為：又，則故選：A【題型十】多曲線交點(diǎn)3：雙曲線和橢圓【典例分析】已知有相同焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線，則橢圓與雙曲線的離心率之積的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由橢圓和雙曲線的方程有相同的焦點(diǎn)，得出，再表示出橢圓與雙曲線的離心率之積，即可求出范圍．【解析】：由題可知，橢圓焦點(diǎn)在軸上，則，對(duì)于雙曲線焦點(diǎn)在軸上，則，橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則，即，設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，則，∴．故選：A．【變式演練】1.已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共交點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率倒數(shù)之和的最大值為A． B． C．2 D．【答案】A設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，焦距為由橢圓和雙曲線的定義，不妨設(shè)在第一象限，求出為焦點(diǎn)），在中利用余弦定理，求出關(guān)系，進(jìn)而得出橢圓與雙曲線的離心率關(guān)系，利用三角換元，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性，即可求解.【解析】：設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，左右焦點(diǎn)分別為不妨設(shè)在第一象限，，得，在中，，即，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，設(shè)，取，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選:A.2.橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．【答案】B【分析】先將橢圓和雙曲線的、、分別設(shè)出,并設(shè),,在中,根據(jù)余弦定理可得,根據(jù)幾何意義,整理為；再分別根據(jù)橢圓與雙曲線的定義,將該式分別整理為,,利用,對(duì)等式兩邊同除,分別得到,,建立兩式的聯(lián)系,即可得出結(jié)果【解析】：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為,雙曲線的實(shí)半軸為,半焦距為,設(shè),,,橢圓與雙曲線的離心率分別為，,由余弦定理可得，,即,即①,在橢圓中，由定義得,①化簡(jiǎn)可得,即,等式兩邊同除,得,即②在雙曲線中，由定義得,①化簡(jiǎn)可得,即,等式兩邊同除,得,即③聯(lián)立②③得,即,.故選B3.已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，，為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，P點(diǎn)為它們?cè)诘谝幌笙薜囊粋€(gè)交點(diǎn)，且，設(shè)，分別為橢圓雙曲線離心率，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半焦距為,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為,半焦距為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得,,然后在焦點(diǎn)三角形中,由余弦定理以及離心率公式可得,最后利用柯西不等式即可得到.【解析】：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,半焦距為,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為,半焦距為,根據(jù)橢圓的定義可得:,根據(jù)雙曲線的定義可得:,兩式聯(lián)立解得:,,在焦點(diǎn)三角形中,由余弦定理得:,化簡(jiǎn)得:,兩邊同時(shí)除以,得:,由柯西不等式得:,即,所以,所以.故選B.【題型十一】雙曲線特性1：漸近線【典例分析】已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，，在其漸近線上存在一點(diǎn)，滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】：由題意問題轉(zhuǎn)化為雙曲線的漸近線與雙曲線有公共點(diǎn)即可，據(jù)此可得兩曲線漸近線斜率間的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率范圍.【解析】：雙曲線的漸近線方程為，,點(diǎn)P在雙曲線上，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)榕c雙曲線相交，所以由雙曲線漸近線性質(zhì)可知只需，即，則，解得，故該雙曲線離心率的取值范圍是，故選：A【變式演練】1.已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且平分，則的離心率為(

)A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】：根據(jù)已知條件求出P點(diǎn)坐標(biāo)和直線PA方程，平分，則O到PM的距離等于到AP的距離，列式可求離心率﹒【解析】：如圖，雙曲線的漸近線取，則，由，∴P()，，故，∴，即∵平分，∴O到PM的距離等于O到AP的距離|OM|，即，化簡(jiǎn)整理得，解得e=2，故選：A﹒2.已知雙曲線：（，）的左右焦點(diǎn)分別為、、A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于、兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】：先由題意，得到以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，設(shè)，則，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，得出，，根據(jù)，再利用余弦定理求出，之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率．【解析】：由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為．設(shè)，則，由，解得或，∴，．又為雙曲線的左頂點(diǎn)，則，∴，，，在中，，由余弦定理得，即，即，則，所以，則，即，所以∴．故選：C.3.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若線段交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C根據(jù)題意，不妨取點(diǎn)在第二象限，題中條件，得到，記，求出，根據(jù)雙曲線定義，得到，，在中，由余弦定理，即可得出結(jié)果.【解析】：因?yàn)橐詾橹睆降膱A與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，不妨取點(diǎn)在第二象限，所以，則，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則，所以；記，則，由解得，因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，，由余弦定理可得：，則，所以，整理得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.【題型十二】雙曲線特性2：內(nèi)心【典例分析】已知雙曲線，直線與C交于A、B兩點(diǎn)（A在B的上方），，點(diǎn)E在y軸上，且軸．若的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離為，則C的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】：根據(jù)題目信息畫出準(zhǔn)確圖像，本題重難點(diǎn)在于合理利用三角形內(nèi)心性質(zhì)，以及角平分線定理，得到關(guān)系后即可求出離心率.【解析】：因?yàn)锳在B的上方，且這兩點(diǎn)都在C上，所以，則．因?yàn)椋訟是線段的中點(diǎn)，又軸，所以，，所以的內(nèi)心G在線段上．因?yàn)镚到y(tǒng)軸的距離為，所以，所以，因此，即．故．故選：B【變式演練】1.設(shè)分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，若的重心和內(nèi)心的連線與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】：先求出的重心坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線定義及切線長(zhǎng)定理求出的內(nèi)心橫坐標(biāo)，根據(jù)重心與內(nèi)心橫坐標(biāo)相同得到方程，求出離心率.【解析】：將代入，解得：，即，不妨令，則，，所以重心坐標(biāo)為，設(shè)的內(nèi)心為D，內(nèi)切圓與，的切點(diǎn)分別為A，B，與x軸切點(diǎn)為C，則PA=PB，，，且點(diǎn)D與點(diǎn)C橫坐標(biāo)相同，又由雙曲線定義知：，從而，設(shè)，則，解得：，故點(diǎn)C為雙曲線的右頂點(diǎn)，故D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，因?yàn)榈闹匦暮蛢?nèi)心的連線與x軸垂直，所以，解得：，即，解得：.故選：A2.已知雙曲線，的左右焦點(diǎn)記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點(diǎn)為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】：根據(jù)給定條件探求出的內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，再借助點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.【解析】：令雙曲線的半焦距為c，則，由對(duì)稱性不妨令與平行的漸近線為，直線方程為：，即，令的內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)分別為A，B，C，令點(diǎn)，如圖，由切線長(zhǎng)定理及雙曲線定義得：，即，而軸，圓半徑為，則有，點(diǎn)到直線的距離：，整理得，即，而，解得，所以雙曲線的離心率為2.故選：A3.如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】：設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，運(yùn)用三角形的等面積法，以及雙曲線的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)變形可得關(guān)于，的方程，結(jié)合離心率公式可得所求值．【解析】：設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，可得，，設(shè)，，由三角形的等面積法可得，化簡(jiǎn)可得，①由雙曲線的定義可得，②在三角形中，為直線的傾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化簡(jiǎn)可得，即為，可得，則．故選：A．【題型十三】難點(diǎn)1：借助向量構(gòu)造【典例分析】已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】：根據(jù)條件可確定在的角平分線上，且是的內(nèi)心，由向量關(guān)系式求出線段長(zhǎng)的比，利用雙曲線定義求解.【解析】：由，，則點(diǎn)在的角平分線上，由點(diǎn)在直線上，則是的內(nèi)心，由，由奔馳定理（已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝.）知，,即則，設(shè)，，，則，，則.故選：C【變式演練】1.已知橢圓的焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的內(nèi)切圓的半徑滿足，則橢圓的離心率為（

）【答案】C由已知，得，在中，利用余弦定理及面積公式可得，再利用的內(nèi)切圓的半徑，可知，建立等式關(guān)系，再由已知結(jié)合正弦定理得到關(guān)系式，結(jié)合，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，從而求得離心率.【解析】：由題可知，即，在中，利用橢圓定義知，由余弦定理得即，整理得易得面積又的內(nèi)切圓的半徑為，利用等面積法可知，所以由已知，得，則，即在中，利用正弦定理知即，又，整理得兩邊同除以，則，解得或（舍去）故選：C.2.橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交于，兩點(diǎn)，若，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】：由可得，若，有，結(jié)合可求得，，最后結(jié)合幾何圖形有即可求得離心率【解析】：由題意，有，即，知過左焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，令，有，，且由上知①又∵有，且知：∴由知：②