2021數(shù)學(xué)（文）統(tǒng)考版二輪復(fù)習(xí)專題限時集訓(xùn)12統(tǒng)計與概率含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高考數(shù)學(xué)（文）統(tǒng)考版二輪復(fù)習(xí)專題限時集訓(xùn)12統(tǒng)計與概率含解析專題限時集訓(xùn)(十二)統(tǒng)計與概率1．（2019·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組,每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C）的估計值為0。70.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．［解］（1）由已知得0。70＝a＋0。20＋0.15，故a＝0.35。b＝1－0。05－0.15－0。70＝0。10。(2）甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0。20＋4×0。30＋5×0。20＋6×0。10＋7×0。05＝4。05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0。05＋4×0。10＋5×0。15＋6×0。35＋7×0。20＋8×0.15＝6。00。2．（2017·全國卷Ⅲ）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位:℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫［10，15)[15，20）［20,25）[25,30）［30,35）[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率．[解](1）這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36，90)＝0。6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0。6.（2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25,則Y＝6×450－4×450＝900;若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y＝6×300＋2（450－300）－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200）－4×450＝－100，所以,Y的所有可能值為900，300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4，90)＝0。8,因此Y大于零的概率的估計值為0.8.3．(2020·全國卷Ⅲ）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級［0，200］(200,400］（400,600］1(優(yōu)）216252（良)510123（輕度污染)6784（中度污染)720(1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3,4的概率；（2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95％的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次〉400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d),P(K2≥k)0。0500。0100。001k3.8416.63510。828［解］（1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2,3,4的概率的估計值如下表：空氣質(zhì)量等級1234概率的估計值0。430.270。210。09(2）一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為eq\f（1,100)（100×20＋300×35＋500×45）＝350。(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表:人次≤400人次＞400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得K2＝eq\f（100×33×8－22×372，55×45×70×30)≈5.820。由于5。820＞3.841，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．4．（2018·全國卷Ⅱ）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元)的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：eq\o（y，\s\up7(^））＝－30。4＋13。5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…,7)建立模型②:eq\o(y,\s\up7（^))＝99＋17。5t。（1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．[解］(1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為eq\o(y，\s\up7（^)）＝－30。4＋13。5×19＝226.1（億元)．利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為eq\o（y，\s\up7(^））＝99＋17.5×9＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13。5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o（y，\s\up7（^））＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．(ⅱ)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．(以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可)1．（2020·大教育名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考）我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡．使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星,每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是一定的，最小小到0.0014秒,最長的也不過11。765735秒．某一天文研究機(jī)構(gòu)觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆?（2)根據(jù)頻率分布直方圖,求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值．［解］（1）第一到第六組的頻率依次為0．1，0。2,0.3,0.2,2a，所以2a＝1－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0。1＋0。2＋0.3＋0。2＋0。05))，解得a＝0.075，所以，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有93×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－0.15))＝79。05≈79(顆)．（2）新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為0．1×1＋0.2×3＋0.3×5＋0。2×7＋0。15×9＋0.05×11＝5。5(秒）．故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5。5秒．2．(2020·滁州模擬）某機(jī)構(gòu)為了了解不同年齡的人對一款智能家電的評價，隨機(jī)選取了50名購買該家電的消費者,讓他們根據(jù)實際使用體驗進(jìn)行評分．(1）設(shè)消費者的年齡為x，對該款智能家電的評分為y.若根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o（y,\s\up7（^）)＝1.2x＋40，且年齡x的方差為seq\o\al(2,x)＝14.4,評分y的方差為seq\o\al（2，y)＝22.5。求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷對該款智能家電的評分與年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱；(2）按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，將50名消費者的年齡劃分為“青年"和“中老年”，評分劃分為“好評"和“差評”，整理得到如下數(shù)據(jù),請判斷是否有99%的把握認(rèn)為對該智能家電的評價與年齡有關(guān)．好評差評青年816中老年206附:線性回歸直線eq\o（y，\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7（^)）x＋eq\o（a，\s\up7(^)）的斜率eq\o(b,\s\up7(^）)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,）xi－\x\to(x）yi－\x\to(y)，\i\su（i＝1，n，）xi－\x\to（x)2)；相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su（i＝1,n，）xi－\x\to（x）yi－\x\to(y),\r（\i\su（i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su（i＝1,n,）yi－\x\to(y）2）),獨立性檢驗中K2＝eq\f（nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d）,其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：P(K2≥k)0.0500.0100。001k3。8416.63510.828[解]（1)相關(guān)系數(shù)r＝eq\f（\i\su（i＝1，50,）xi－\x\to(x)yi－\x\to（y），\r(\i\su（i＝1,50，）xi－\x\to(x）2\i\su（i＝1,50,）yi－\x\to（y)2)）＝eq\f(\i\su(i＝1,50,)\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up7（－))）)\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(yi－\o（y,\s\up7（－)））),\i\su（i＝1，50,)\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（xi－\o(x，\s\up7（－））））eq\s\up12（2））·eq\f(\r(\i\su(i＝1,50,）\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（xi－\o（x,\s\up7（－）））)eq\s\up12(2）），\r（\i\su（i＝1,50，）\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(yi－\o（y,\s\up7（－）)））eq\s\up12（2）)）＝eq\o(b,\s\up7(^)）·eq\f（\r（50s\o\al（2，x）)，\r(50s\o\al（2，y)）)＝1.2×eq\f(12,15)＝0。96。故對該款智能家電的評分與年齡的相關(guān)性較強(qiáng)．(2）由列聯(lián)表可得K2＝eq\f（50×8×6－20×162,24×26×28×22)≈9。624〉6.635。故有99%的把握認(rèn)為對該智能家電的評價與年齡有關(guān)．3．（2020·長沙雅禮中學(xué)模擬）某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間買二手房情況，首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者，并對其購房面積m（單位：平方米,60≤m≤130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價y(單位:萬元/平方米),制成了如圖2所示的散點圖(圖中月份代碼1~13分別對應(yīng)2018年1月至2019年1月）．(1)試估計該市市民的購房面積的中位數(shù)m0;（2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(110，130)）的40位市民中隨機(jī)抽取4人，再從這4人中隨機(jī)抽取2人,求這2人的購房面積恰好有一人在eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（120,130）)的概率；(3）根據(jù)散點圖選擇eq\o(y,\s\up7（^））＝eq\o（a，\s\up7（^))＋eq\o（b，\s\up7（^)）eq\r(x）和eq\o(y，\s\up7（^））＝eq\o（c，\s\up7(^))＋eq\o（d,\s\up7(^））lnx兩個模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程,分別為eq\o（y,\s\up7（^)）＝0.9369＋0.0285eq\r(x）和eq\o（y,\s\up7(^））＝0.9554＋0.0306lnx，并得到一些統(tǒng)計量的值如下表所示：eq\o（y,\s\up7（^))＝0.9369＋0.0285eq\r（x)eq\o（y，\s\up7（^）)＝0。9554＋0。0306lnxeq\i\su(i＝1,13，)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(yi－\o(y，\s\up7（^))i))eq\s\up12(2）0。0005910.000164eq\i\su(i＝1,13，)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(yi－\x\to（y）))eq\s\up12（2)0.006050請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好,并用擬合效果更好的模型預(yù)測出2021年6月份的二手房購房均價(精確到0。001）．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0。69,ln3≈1.10，ln14≈2。64,ln19≈2。94，eq\r（2）≈1.41，eq\r（3)≈1.73,eq\r（10）≈3。16,eq\r（19)≈4。36.參考公式：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n，）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yi－\o(y,\s\up7(^）)i））eq\s\up12(2)，\i\su(i＝1，n,)\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（yi－\o(y,\s\up7(－))））eq\s\up12（2)））．[解］(1)由頻率分布直方圖可得，前三組頻率和為0。05＋0。1＋0。2＝0.35,前四組頻率和為0。05＋0.1＋0.2＋0。25＝0。6，故中位數(shù)出現(xiàn)在第四組，且m0＝90＋10×eq\f(0。15，0.25)＝96.(2）設(shè)從位于eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(110，120)）的市民中抽取x人，從位于[120，130］的市民中抽取y人,由分層抽樣可知：eq\f(4，40)＝eq\f（x，30)＝eq\f(y,10），則x＝3，y＝1在抽取的4人中，記3名位于［110,120）的市民為A1，A2,A3，位于eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（120，130)）的市民為B，則所有抽樣情況為:（A1，A2），(A1，A3）,(A1，B）,(A2，A3），（A2，B)，（A3，B)共6種．而其中恰有一人在[120,130]的情況共有3種，故所求概率P＝eq\f（3,6)＝eq\f(1,2)。（3）設(shè)模型eq\o（y，\s\up7(^））＝0。9369＋0.0285eq\r(x）和eq\o（y,\s\up7(^))＝0.9554＋0.0306lnx的相關(guān)指數(shù)分別為Req\o\al(2,1）,Req\o\al（2，2），則Req\o\al（2,1）＝1－eq\f(0.000591,0.006050），Req\o\al（2，2)＝1－eq\f(0.000164，0。006050）,顯然Req\o\al(2,1)<Req\o\al(2，2），故模型eq\o(y,\s\up7(^））＝0。9554＋0.0306lnx的擬合效果更好．由2021年6月份對應(yīng)的代碼為42,則eq\o(y，\s\up7（^）)＝0。9554＋0。0306ln42＝0.9554＋0。0306（ln3＋ln14）≈1。070萬元/平方米4．(2020·華南師大附中等三校聯(lián)考）已知某保險公司的某險種的基本保費為a(單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)0123≥4保費（元）0。9a1.52.54隨機(jī)調(diào)查了該險種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到下表:出險次數(shù)0123≥4頻數(shù)2808024124該保險公司這種保險的賠付規(guī)定如下：出險序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上賠付金（元）2。51。5a0.50將所抽樣本的頻率視為概率．(1)求本年度續(xù)保人保費的平均值的估計值；(2)按保險合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險3次,則可獲得賠付（2.5a＋1。5a＋a）元；若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險6次，則可獲得賠付(2。5a＋1.5a＋(3）續(xù)保人原定約了保險公司的銷售人員在上午10：30～11：30之間上門簽合同，因為續(xù)保人臨時有事，外出的時間在上午10：45～11：05之間,請問續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是多少？[解](1）由題意可得：保費(元)0。9a1。52。54概率0。70。20。060。030.01本年度續(xù)保人保費的平均值的估計值為：0．9a×0。7＋a×0。2＋1。5a×0。06＋2。5a×0。03＋4(2）由題意可得：賠償金額(元)02。5455