電磁場(chǎng)與電磁波計(jì)算題解

電磁場(chǎng)與電磁波計(jì)算題題解例1 在坐標(biāo)原點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)，傳導(dǎo)電流密度為：Jc ar10r1.5 A/m2求：① 通過半徑r=1mm的球面的電流值。② 在r=1mm的球面上電荷密度的增加率。③在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率。IJcds210r1.5r2sindddr1mm解：①0040r0.5r1mm3.97A②因?yàn)镴c1d(r210r1.5)5r2.5r2dr由電流連續(xù)性方程，得到：t r 1mm Jcr1mm1.58108 A/m3③ 在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率dI 3.97At例2在無源的自由空間中，已知磁場(chǎng)強(qiáng)度H ay2.63 105cos(3 109t 10z) A/m求位移電流密度 Jd。解：由于Jc 0，麥克斯韋第一方程成為HDt∴JdDHtaxayazx y z0 Hy 0axHyax2.63104sin(3109t10z)A/m2z例3在無源的區(qū)域中，已知調(diào)頻廣播電臺(tái)輻射的電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E ay102sin(6.28 109 20.9z) v/m求空間任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度 B。解：由麥克斯韋第二方程axayazEyBaxExyztz0Ey0ax20.9102cos(6.28109t20.9z)將上式對(duì)時(shí)間t積分，若不考慮靜態(tài)場(chǎng)，則有BBdtax20.9102cos(6.28109t20.9z)tdtax3.331011sin(6.28109t20.9z)T例4 已知自由空間中，電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為Eaxcos(wtz);求磁場(chǎng)強(qiáng)度的H表達(dá)式。解：EB第二方程t且在自由空間中HB∴∴

H1E1(ayEx)ay1sin(wtz)t00z0Haysin(wtz)dt0ay cos(wt z)w上式積分的常數(shù)項(xiàng)對(duì)時(shí)間是恒定的量， 在時(shí)變場(chǎng)中一般取這種與 t無關(guān)的恒定分量為0。例5有一個(gè)廣播電臺(tái)在某處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 0.20cos[2.1(3108t x)]az A/m 媒介為空氣，求該處的位移電流密度。解：在該處無傳導(dǎo)電流JdDtB0D0Jdt∴Jd1B0在直角坐標(biāo)系中：Bz0.20cos[2.1(3108tx)]axayazByzxBxByBz=(BBy)axBxBByBx)azzz(z)ay(yyzxx∴Jd1B=1(Bz)ay=10.20sin2.1(3108tx)(2.1x)00x0例6同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體外半徑a=1mm，外導(dǎo)體內(nèi)半徑b=4mm，內(nèi)外導(dǎo)體之間是空氣介質(zhì)，且電場(chǎng)強(qiáng)度為E100cos(108taz)aV/mrr①用麥克斯韋方程求а。②求磁感應(yīng)強(qiáng)度B。③求內(nèi)導(dǎo)體表面電荷密度s。④求長(zhǎng)度0≤z≤1m中總的位移電流。解：

Bt

E=

araazrrrzArAAzarazrar=rzAr00=(Ara1Araz)zr=[100az)0]100asin(108tsin(108tz)rrB100d8cos(108taz)∴r10∵在內(nèi)外中間的空氣中，、0D0Jc又由∵HD1B0Ett0將B代入，則：11002sin(108tz)a1000108sin(108tz)a108rrrr0∴1100210008108rr100∴210160001109法拉/米36∴210161101604107H/m9∴13②∴B1106cos(108t1z)a3r3③在內(nèi)外導(dǎo)體之間作園柱形高斯面，有0EdS dV sdsv s∴ 0Erd dz saddz12Errddz12saddz00000∴s0rEra∴0r1008s1103rcos(10tz)ar=0105cos(108t1z)3JdDt④IdsDdSs0EdStt=0100108[sin(108tz)]ardsr=01010sin(108tz)rddzr=0121010sin(108t1z)rddz00r3=101012sin(108t1z)ddz0003=610100cos(108t1z)10610100[cos108tcos(108t1)]33=10sin1sin(108t1)366例7、在兩導(dǎo)體平板（z0和zd）之間的空氣中傳輸?shù)碾姶挪?，其電?chǎng)強(qiáng)度矢量EeyE0sin(dz)cos(tkxx)其中kx為常數(shù)。試求：（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量 H。（2）兩導(dǎo)體表面上的面電流密度 Js。解：（1）由麥克斯韋方程可得：EyEyBEexzezxt對(duì)上式積分后得：exE0cos(dz)sin(kxx)E0kxkxx)Bdtezsin(dz)cos(t即：E0cos(dkxx)exE0kxsin(dz)cos(tkxx)Hexd0z)sin(t0（2）導(dǎo)體表面上的電流存在于兩導(dǎo)體板相向的一面，故在z0表面上，法線nez，面電流密度JsezHz0eyE0sin(tkx)0dx在zd表面上，法線nez，面電流密度JsezHzdeE0sin(tkx)y0dx例8、一段由理想導(dǎo)體構(gòu)成的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，同軸線兩端用理想導(dǎo)體板短路。已知在arb、0zL區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)為：EerAsinkz，HeBcoskzrr（1）確定A、B之間的關(guān)系。（2）確定k。（3）求ra及rb面上的s、Js。解：由題意可知，電磁場(chǎng)在同軸線內(nèi)形成駐波狀態(tài)。（1）A、B之間的關(guān)系。因?yàn)镋 e Er e Akcoskz j Hz r所以jk（2）因?yàn)镠1[e(rH)e(rH)]eBksinkzjErrzzrrr所以kjjk，kkj（3）因?yàn)槭抢硐雽?dǎo)體構(gòu)成的同軸線，所以邊界條件為：nHJs，nDs在ra的導(dǎo)體面上，法線ner，所以JsanHraeBcoskzraeBcoskzzrzasanDraAsinkzraAsinkzra在rb的導(dǎo)體面上，法線ner，所以JsbnHrbeBcoskzrbeBcoskzzrzbsbnDrbAsinkzrbAsinkzrb例9、電磁波在真空中傳播，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為：E(t)(eje)104ej20z(V/m)xy試求：（1）工作頻率f。（2）磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式。（3）坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。解：由題意可得：k2000，6109c所以工作頻率f 3109Hz（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為：H1ezE1(eyjex)104ej20z(A/m)0其中波阻抗0120。（2）坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。電磁波的瞬時(shí)值為：E(t)Re[Eejt](exjey)104cos(t20z)(V/m)H(t)Re[Hejt]1(eyjex)104cos(t20z)(A/m)0所以，坡印廷矢量的瞬時(shí)值：S(t)E(t)H(t)1108cos(t20z)(eje)(eje)0W/m220xyyx同理可得坡印廷矢量的時(shí)間平均值：SRe[1EH]0W/m2av2例10、已知空氣中一均勻平面電磁波的磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為：H(exey26ez4)ej(4x3z)(A/m)試求：（1）波長(zhǎng)、傳播方向單位矢量及傳播方向與z軸的夾角。（2）常數(shù)A。（3）電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。解：（1）波長(zhǎng)、傳播方向單位矢量及傳播方向與z軸的夾角分別為：kkxkz(4)2(3)25，20.4mkek4ex3ez0.8ex0.6ez，cosz0.6ej(4x3z)k故53（2）因?yàn)?H 0，所以HxHyHz4jA12j0Hyzx解之得A3。（3）電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量E0Hek0(ex3ey26ez4)ej(4x3z)(0.8ex0.6ez)0(66e5ey86e)ej(4x3z)V/m5x5z例11、假設(shè)真空中一均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為：j(2x2y3z)E3(ex2ey)e6V/m試求：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅、波矢量和波長(zhǎng)。（2）電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式。解：依題意知，電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅：E0 E02x E02y 3 3 V/m而kk2k2k22xyz所以波矢量k kek，其中2ex2ey3ezek333從而4mk（1）電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式為：E(t)Re[Eejt]3(e2e)cos[t(2x2y3z)](V/m)xy6磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式為：H(t)1ekE(t)1(6e3e32e)cost6(2x2y3z)](A/m)0xyz[例12、已知在無源的自由空間中，磁場(chǎng)為H ey2cos(1x5 )sin[96 1z0 t（A/m）]利用麥克斯韋方程求相應(yīng)的電場(chǎng) E及常數(shù) 。解：將H表示為復(fù)數(shù)形式:H(x,z)eyi2cos(15x)eiz由時(shí)諧形式的麥克斯韋第二方程可得：E(x,z)1H1exii001ex2cos(15x)ezi30i0

（1）HyHyzezxsin(15x)eizH(x,z)1EeyExEzi0i0zxeyi2(2)2(15)2)cos(15x)eiz200比較（1）式何（2）式，有2(15)2)200(6109)24107400236109所以4002225241.56(rad/m)所以，相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為：E(x,z,t)ex496cos(15x)sin(6109t41.56z)ey565.5sin(15x)cos(6109t41.56z)V/m例13、同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑a1mm，外導(dǎo)體內(nèi)半徑b4mm，內(nèi)外導(dǎo)體間為空氣介質(zhì)，并且電場(chǎng)強(qiáng)度為E er100cos[108t 0.5z] （V/m）r求磁場(chǎng)強(qiáng)度H的表達(dá)式；（2）求內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度；（3）計(jì)算0z1m中的位移電流id。解：將E表示為復(fù)數(shù)形式:E(r,z)er100ei0.5zr則由時(shí)諧形式的麥克斯韋方程可得：H(x,z)1E1Eriez0i0e0.398ei0.5z(A/m)r而磁場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式為H(r,z,t)e5cos(108t0.5z)(A/m)4r（2）內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度JsnHraeHrae397.9cos(108t0.5z)(A/m)rz（3）Jd0Eer5sin(108t0.5z)(A/m2)t18r所以，在0z1中的位移電流iJds1Je2rdz0.55sin(108t0.25)(A)ddd0rs例14、已知在自由空間傳播的平面電磁波的電場(chǎng)的振幅 E0 800(V/m)，方向?yàn)閑x，如果波沿著z方向傳播，波長(zhǎng)為0.61m，求：（1）電磁波的頻率f；（2）電磁波的周期T；（3）如果將場(chǎng)量表示為Acos(tkz)，其k值為多少？（4）磁場(chǎng)的振幅H0?解：在空氣中，電磁波的速度為c13108(m/s)00本征阻抗0120377所以（1）電磁波頻率f=c31084.92108Hz492MHz0.61（2）電磁波周期T10.203108s2.03nsf（3）k 2 /

10.3( rad /m)（4）H 0

E

00

8002.12( A/m)377例15、在自由空間傳播的均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為－4i(t20z)－4i(t20z2)Eex10ey10e(V/m)e求：(1)平面波的傳播方向；（2）電磁波的頻率；（3）波的極化方式；（4）磁場(chǎng)強(qiáng)度H；（5）電磁波流過沿傳播方向單位面積的平均功率。解：（1）從電場(chǎng)方程可知，傳播方向?yàn)?ez（2）從電場(chǎng)方程可知，k2000所以20f2103109(Hz)3GHz0000（1）原電場(chǎng)可表示為E(ex4i20ziey)10e是左旋圓極化波（2）由H1ezE可得0H104(eyiex)ei(t20z)1207i(t20z)7i(t2z0)ex2.6510e2ey2.6510e（5）平均功率Sav1Re[EH*]21Re[(e104ei20ei(20z)zy104e2)2x7i(20z)7i20z(ex2.6510e2ey2.6510e)]eZ2.651011(W/m2)即P2.651011(W/m2)av例16、電磁波磁場(chǎng)振幅為1，在自由空間沿－ez方向傳播，當(dāng)t=0,z=0時(shí)，H在ey方向，A/m3相位常數(shù)=30rad/m。（1）寫出H和E的表達(dá)式；（2）求頻率和波長(zhǎng)。解：（1）在自由空間中，0120377而所以

0 0 30(rad)9 109(rad /m)0 0于是得磁場(chǎng)電場(chǎng)（2）

H(z,t）19z30)eycos(91t03E=0H(-ez) ex40cos(99t10 z30 )f1.43109(Hz)220.20m9( )例17、在r1、r4、0的媒質(zhì)中，有一均勻平面波，其電場(chǎng)強(qiáng)度EEmsin(tkz)，3若已知平面波的頻率f150MHz，任意點(diǎn)的平均功率密度為0.265W/m2。試求：（1）電磁波的波數(shù)、相速、波長(zhǎng)、波阻抗；（2）t=0,z=0時(shí)的電場(chǎng)E(0,0)等于多少？（3）經(jīng)過t0.1s后，電場(chǎng)E(0,0)值傳到什么位置？（1）波數(shù)61（rad/m）k2f00rr215010310822相速vp1211.5108（m/s）002波長(zhǎng) 1（m）k波阻抗

12

60（）0（2）均勻平面波的平均坡印廷矢量1262）S平均ez2Emez0.26510（W/m得Em10103（V/m）當(dāng)t=0，z=0時(shí)EEmsin101030.8668.66103（V/m）3(3)t=0.1s后E102sin2ftkz3102sin215010611072z8.6610331得 sin30 2 z 8.66 10z 15（m）例18、空氣中某一均勻平面波的波長(zhǎng)為長(zhǎng)減小為8cm，且已知在媒質(zhì)中的E和和無損耗媒質(zhì)的 r與r。解：電磁波的頻率為8f v0 310在無損耗