全國(guó)第八屆青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計(jì)：函數(shù)的單調(diào)性1 Word版含答案

《§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)新疆烏魯木齊八一中學(xué)韓昕課型：新授課一、 教學(xué)內(nèi)容解析及學(xué)情分析首先，從單調(diào)性知識(shí)本身來(lái)講.學(xué)生對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)共分為三個(gè)階段：第一階段是學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，對(duì)函數(shù)的增減性有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)，知圖象的變化趨勢(shì)；第二階段是在高一學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義，從數(shù)和形兩個(gè)方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高二利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性，并知其變化快慢.高一單調(diào)性的學(xué)習(xí)，既是初中學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化，義為高二的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).其次，從函數(shù)角度來(lái)講.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，也是第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時(shí)，函數(shù)值的變化規(guī)律；學(xué)生對(duì)于這些概念的認(rèn)識(shí)，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義三個(gè)階段，即都從觀察圖象，用自然語(yǔ)言描述函數(shù)圖象特征，以函數(shù)解析式為依據(jù)經(jīng)歷用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)圖形語(yǔ)言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過(guò)程.因此，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù).最后，從學(xué)科角度來(lái)講.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)習(xí)不等式、極限、導(dǎo)數(shù)等其它數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用工具，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材，同時(shí)是一節(jié)具有奠基意義的數(shù)學(xué)方法課.二、 教學(xué)目標(biāo)按照教學(xué)大綱的要求，根據(jù)教材和學(xué)情，確定如下教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能目標(biāo)：使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念；掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法；掌握利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性.隱性目標(biāo)：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，在體驗(yàn)函數(shù)單調(diào)性概念的建構(gòu)過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)的認(rèn)知策略.過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力：在體驗(yàn)函數(shù)單調(diào)性概念符號(hào)化的建構(gòu)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程：由形象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的概括能力和語(yǔ)言表達(dá)能力；通過(guò)課堂練習(xí)單及時(shí)鞏固學(xué)習(xí)成果，完成學(xué)習(xí)目標(biāo).情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生活?動(dòng)、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進(jìn)學(xué)生形成研究氛圍和合作意識(shí).重視知識(shí)的形成過(guò)程教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過(guò)學(xué)習(xí)新知識(shí)體會(huì)到前人探索的艱辛過(guò)程與收獲的樂(lè)趣.三、 教學(xué)重、難點(diǎn)對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：首先，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言去刻畫(huà)圖象的上升與下降，把對(duì)單調(diào)性直觀感性的認(rèn)識(shí)上升到理性的高度，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難.如何讓學(xué)生理解這種符號(hào)化的、抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，參與函數(shù)單調(diào)性概念的形成過(guò)程是本節(jié)課的第一個(gè)難點(diǎn).其次，由于學(xué)生第一次接觸到代數(shù)證明，如何運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義嚴(yán)格證明函數(shù)的單調(diào)性并完成規(guī)范的書(shū)面表達(dá)則是本節(jié)課的另一難點(diǎn).根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱對(duì)單調(diào)性的教學(xué)要求，本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)是：教學(xué)重點(diǎn)：增（減）函數(shù)概念的形成；教學(xué)難點(diǎn)：①形成增（減）函數(shù)概念的過(guò)程中，如何從圖象升降的直觀認(rèn)識(shí)過(guò)渡到函數(shù)增減的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)：②用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.四、 教法、學(xué)法教法：本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平，主要采取教師啟發(fā)講解和學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法.教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)教材提供的線索，安排適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，讓學(xué)生展示相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念抽象的各個(gè)階段，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地開(kāi)展思維活動(dòng)，深入探究，從而創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，最終形成概念，獲得方法，培養(yǎng)能力.同時(shí)使用多媒體輔助教學(xué)以及幾何畫(huà)板的使用，增強(qiáng)動(dòng)感和直觀性，充分發(fā)揮其快捷、生動(dòng)、形象的特點(diǎn)，有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)，提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量；學(xué)法：合作實(shí)踐、學(xué)生展示、小組討論、發(fā)現(xiàn)總結(jié)等方法.五、 教具準(zhǔn)備實(shí)物展示臺(tái)、多媒體.六、 教學(xué)過(guò)程：（一）問(wèn)題情境：在2016年8月10號(hào)的里約奧運(yùn)會(huì)上，由陳若琳和劉蒸瑕組成的雙人組合獲得10米臺(tái)跳水冠軍，展示跳水動(dòng)圖，問(wèn)題1:跳水運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？問(wèn)題2:從左向右看，圖象的變化趨勢(shì)是什么？函數(shù)圖象的上升與下降的趨勢(shì)就反映了函數(shù)的單調(diào)性.設(shè)計(jì)意圖：把我國(guó)運(yùn)動(dòng)員獲得奧運(yùn)冠軍這件時(shí)事作為情境引入，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，另外根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線很自然地引入函數(shù)的單調(diào)性這節(jié)課，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)自生活.（二）建構(gòu)定義：概念探究階段第一次認(rèn)識(shí)：(圖形語(yǔ)言)觀察函數(shù)y=x2的圖象，思考1:從左向右看函數(shù)在區(qū)間(0,+oo)上的圖象有怎樣的變化趨勢(shì)？(上升？下降？)思考2:怎樣描述圖象的上升呢？第二次認(rèn)識(shí)：(文字語(yǔ)言)教師幾何畫(huà)板展示，點(diǎn)厶在(0,+oo)上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，厶點(diǎn)坐標(biāo)的變化.讓學(xué)生觀察到，函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+oo)上，隨著自變量尤的增大，函數(shù)值y也增大.這是我們從形的角度觀察到的，那么怎樣用符號(hào)和式子描述函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大呢？第三次認(rèn)識(shí)：(符號(hào)語(yǔ)言)首先：將兩個(gè)“增大”符號(hào)化，比較才能出大小，在區(qū)間(0,+oo)上的伊,知即當(dāng)X]V花時(shí)，/(x,)</(^).在區(qū)間。上的旳，如即當(dāng)而V毛時(shí)，此時(shí)一定能保證在區(qū)間。上的圖象是上升的嗎？圖象可能會(huì)出現(xiàn)哪些情況？需要添加什么條件使得在區(qū)間。上的圖象是上升的？所以，進(jìn)一步完善表達(dá)：對(duì)于區(qū)間(0,+8)上的任意的兩個(gè)自變量的值當(dāng)<X2時(shí)，都有f(x,)<f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(0,+00)上是增函數(shù).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)由圖象直觀感知一>自然語(yǔ)言描述一數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述，即從直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性的認(rèn)識(shí)過(guò)程，學(xué)生能夠更好的感受數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程.通過(guò)一系列的問(wèn)題逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)玉，瑪?shù)娜我庑?，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.本著從特殊到一般的原則，對(duì)于一般函數(shù)，我們來(lái)定義増函數(shù)：設(shè)函數(shù)f⑴的定義域?yàn)镮,D^I，任意xpx2eO,當(dāng)而〈赴時(shí)，都有/a,)<f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)/(%)在區(qū)間D上是增函數(shù).對(duì)比増函數(shù)的定義，由學(xué)生歸納出減函數(shù)的定義.設(shè)函數(shù)/的定義域?yàn)镮,D"任意西,沔€。，當(dāng)X|V馮時(shí)，都有/(X,)>f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)/(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).即減函數(shù)圖象在區(qū)間。內(nèi)呈下降趨勢(shì)，當(dāng)x的值增大時(shí)，函數(shù)值y減小.設(shè)計(jì)意圖：得出減函數(shù)定義，培養(yǎng)學(xué)生的類比能力.對(duì)定義的理解：同,易的任意性；教師幾何畫(huà)板展示，幫助學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解Xx>X2的任意性.對(duì)X,<x2的理解：此時(shí)/(履)與/不等，說(shuō)明變量不同，函數(shù)值不同，所以我們不在一點(diǎn)出討論函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)端點(diǎn)在定義域的范圍內(nèi)，區(qū)間可開(kāi)可閉，當(dāng)端點(diǎn)不在定義域的范圍內(nèi)，區(qū)間是開(kāi)區(qū)間.分析定義中自變量與因變量的變化關(guān)系，當(dāng)玉力易時(shí)，(。以3)-/卜))>0說(shuō)明了什么？設(shè)計(jì)意圖：定義是數(shù)學(xué)的核心，通過(guò)教師帶領(lǐng)學(xué)生理解定義，可以提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)和理解.函數(shù)的單調(diào)性定義如果函數(shù)y=八同在區(qū)間d上是增函數(shù)或者減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=fM在區(qū)間。上具有單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；增函數(shù)與減函數(shù)也分別叫做單調(diào)遞増函數(shù)，單調(diào)遞減函數(shù)；區(qū)間。叫做函數(shù)y=fM的單調(diào)區(qū)間.所以，函數(shù)的單調(diào)性是定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì).探究：函數(shù)y=-在定義域上的單調(diào)性是怎樣的？x設(shè)計(jì)意圖：再次讓學(xué)生體會(huì)和理解函數(shù)單調(diào)性的定義，多個(gè)單調(diào)增(減)區(qū)間用“，"“和"連接，不用“U".類型一：根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的単調(diào)區(qū)間例1.下圖是定義在［—5,5］上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)。解：y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[一5,—2),[—2,1),[1,3),[3,5].

其中＞,=/W在[—5,—2),[1,3)上是減函數(shù);在[一2,1), [3,5)上是増函數(shù).變式1：設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例1和變式，學(xué)生知道可以借助函數(shù)圖象找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解.類型二：根據(jù)函數(shù)的単調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性.例2.用函數(shù)的單調(diào)性定義證明：函數(shù)y=-伏>0)在區(qū)間(0,+oo)上是減函x數(shù).證明：設(shè)知心是(°，+°°)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X]<X2,0<X)<x2,得xtx2>0,x2-x(>0,由k>0于是ZU,)-f(x2)>0,即/(x,)>f(x2)所以，函數(shù)y=—(^>0)在(0,+co)上是減函數(shù)。x說(shuō)明：這兩道例題介紹了判斷函數(shù)單調(diào)性的兩種方法：根據(jù)圖像觀察，根據(jù)定義證明；證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值，設(shè)任意羽、七屬于給定區(qū)間，并規(guī)定大?。蛔鞑钭冃?(^)-/(%2),變形的常用方法：因式分解、配方、有理化等；定號(hào)確定/(x()-/(x2)的正員號(hào)；下結(jié)論：由定義得出函數(shù)的單調(diào)性.即時(shí)練習(xí)：利用定義證明函數(shù)y=x+-在(0,1)上是減函數(shù).、課堂練習(xí)：討論以下函數(shù)的單調(diào)性：y=kx+by=ax2+bx+c(a*0)y=—(k*0)x設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)到有的函數(shù)可能在整個(gè)定義域上單調(diào)，有的函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).3.利用定義證明函數(shù)y=4x在(0,+司上是增函數(shù).（五） 、小結(jié)判定函數(shù)單調(diào)性的方法：圖象法，定義法；定義法步驟：取值，作差變形，定號(hào)，F(xiàn)結(jié)論；増（減）函數(shù)概念的形成，經(jīng)歷了哪些過(guò)程？憑借直觀的圖象，我們能判斷函數(shù)的單調(diào)性，為什么還要用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言定義増（減）函數(shù)呢？在數(shù)學(xué)中，描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型是——函數(shù)，要把握相應(yīng)事物的變化規(guī)律，就需要了解函數(shù)的變化規(guī)律，通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們知道函數(shù)的變化規(guī)律可以用什么來(lái)描述呢？（函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的其它性質(zhì)），所以，實(shí)際生活中，我們可以用它來(lái)分析事物的變化規(guī)律.（展示氣溫變化曲稅圖，股票走勢(shì)圖，GDP走勢(shì)圖）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中有著廣泛應(yīng)用.（六） 、深后作業(yè)：一、 必做題：課本％：A組1,2;課時(shí)九；二、 選做題：求函數(shù)y=x+-的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明.X已知函數(shù)y=fM是定義在區(qū)間［-1,1］上的增函數(shù)，且./?“一2）＜/（i-X）,求工的取值范圍.已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+2在區(qū)間（-8,6】上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.（七） 、板書(shū)設(shè)計(jì)函數(shù)的單調(diào)性定義：理解：①②③④⑤⑥多媒體例2七.教學(xué)反思本節(jié)教學(xué)，始于今年奧運(yùn)時(shí)事，讓學(xué)生在提升民族自豪感的同時(shí)，增加感性體驗(yàn)，只有溝通生活中的數(shù)學(xué)與教科書(shū)上的數(shù)學(xué)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)才能真正走進(jìn)學(xué)生的生活.這一教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，揭示了學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀體驗(yàn).概念建構(gòu)階段：増（減）函數(shù)概念的形成是本節(jié)課的重難點(diǎn)，難在如何從圖象升降的直觀認(rèn)識(shí)過(guò)渡到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述，我把發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的機(jī)會(huì)還給學(xué)生，通過(guò)一系列的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極參與思考探究，經(jīng)歷了有限（到）一-無(wú)限（再到）---任意的探索過(guò)程，最終得岀玉，旳的任意性?這樣既保護(hù)學(xué)生的積極性，又促進(jìn)了學(xué)生的思維發(fā)展.完成了從圖象直觀感知一語(yǔ)言描述一數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述，并依次形成對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”的翻譯.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，本節(jié)課很好地完成了這一教學(xué)目標(biāo)。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生理解定義，達(dá)到內(nèi)容上的升華，也是本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn)所在.通過(guò)幾何畫(huà)板動(dòng)圖演示，學(xué)生可以很直觀地感受數(shù)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)變化.例題和練習(xí)題的設(shè)置，使學(xué)生在完成必修教材基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生自主發(fā)展、合作探究的學(xué)習(xí)氛圍的形成。例1的三個(gè)變式也是本節(jié)課的一個(gè)新穎之處.小結(jié)部分的思考“為什么要學(xué)習(xí)單調(diào)性的定義"，突出課題的提出，讓學(xué)生體會(huì)到任何科學(xué)研究都是從問(wèn)題開(kāi)始，這也是數(shù)學(xué)由來(lái)的重要方面，所以數(shù)學(xué)的發(fā)生，發(fā)展都是很自然的一個(gè)過(guò)程.對(duì)本節(jié)課的再次思考：概念探究階段，拋出問(wèn)題“如何描述函數(shù)值y隨著自變量a?的增大而增大呢？"后，經(jīng)過(guò)學(xué)生的小組討論，原設(shè)想會(huì)有很多學(xué)生說(shuō)出自己的想法，沒(méi)想到第二個(gè)學(xué)生就給出了特別完美的解答，這個(gè)學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀而且進(jìn)行過(guò)預(yù)科，這一環(huán)節(jié)沒(méi)有達(dá)到自己預(yù)想的高潮.另外，我直接給出了分子有理化這個(gè)新的方法，因?yàn)槲艺J(rèn)為有些知識(shí)是學(xué)生探究不出來(lái)的，不知道自己有沒(méi)有太主觀，請(qǐng)專家指正.本節(jié)教學(xué)，我始終以學(xué)生為主體，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考探究，最終較好的完成了教學(xué).在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生最重要的收獲也許就是體驗(yàn)和感悟蘊(yùn)含在函數(shù)單調(diào)性概念的建構(gòu)過(guò)程中的策略性知識(shí).每一節(jié)課，我都遵守著“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”的理念進(jìn)行教學(xué)，致力于上好每一節(jié)