2016年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料(湘教版)

加76%中冷毅等總復(fù)口貴料

代拆部臺(tái)

第一辛■:實(shí)救

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn):

一,實(shí)數(shù)的分類:

‘正整數(shù)'

整數(shù)零

有理數(shù)＜負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)〃數(shù)

實(shí)數(shù)＜'正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)＜

負(fù)分?jǐn)?shù)

正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

1,有理數(shù)：任何一個(gè)有理數(shù)總可以寫成￡的形式，其中

q

p,q是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征.

2,無(wú)理數(shù)：初中遇到的無(wú)理數(shù)有三種：開(kāi)不盡的方根,

如拉，毒；特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)無(wú)限小數(shù)，如

1.101001000100001...........；特定意義的數(shù)，如

兀,sin45°et..

3,判斷一個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺(jué),往往

要經(jīng)過(guò)整理化簡(jiǎn)后才下結(jié)論.

二,實(shí)數(shù)中的幾個(gè)概念

1,相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).

(1)實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；(2)a和b互為相反數(shù)

<^>a+b=0

2,倒數(shù):

(1)實(shí)數(shù)a(aWO)的倒數(shù)是L(2)a和b互為倒

a

數(shù)O必=1；(3)注意0沒(méi)有倒數(shù)

3,絕對(duì)值：

(1)一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值有以下三種情況：

a,a”0

\a\=<0,a=0

-a,aY0

(2)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)

數(shù)的絕對(duì)值，就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距

離

(3)去掉絕對(duì)值符號(hào)(化簡(jiǎn))必須要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)

里面的實(shí)數(shù)進(jìn)行數(shù)性(正，負(fù))確認(rèn)，再去掉絕對(duì)值符

號(hào)

4,n次方根

(1)平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a20,稱土而叫a的平方

根，6叫a的算術(shù)平方根.

(2)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；0的平

方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

(3)立方根：會(huì)叫實(shí)數(shù)a的立方根.

(4)一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；。的立方根是0；

一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根.

三，實(shí)數(shù)與數(shù)軸

L數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向,單位長(zhǎng)度的直線稱為數(shù)軸.

原點(diǎn)，正方向,單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素.

2,數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)

都表示一個(gè)實(shí)數(shù),而每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯

一的點(diǎn)來(lái)表示.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

四，實(shí)數(shù)大小的比較

1,在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

2,正數(shù)大于0；負(fù)數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)

負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小.

五，實(shí)數(shù)的運(yùn)算

L加法：

(1)同號(hào)兩數(shù)相加，取原來(lái)的符號(hào)，并把它們的絕對(duì)值

相加；

(2)異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較

大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.可使用加法交換律，結(jié)

合律.

2,減法:

減去一個(gè)數(shù)et.于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

3,乘法:

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)取正，異號(hào)取負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.

(2)n個(gè)實(shí)數(shù)相乘,有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0；若n個(gè)

非0的實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)

因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為

負(fù).

(3)乘法可使用乘法交換律，乘法結(jié)合律，乘法分配律.

4,除法：

(1)兩數(shù)相除，同號(hào)的正，異號(hào)的負(fù)，并把絕對(duì)值相除.

(2)除以一個(gè)數(shù)et.于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù).

(3)0除以任何數(shù)都et.于0,0不能做被除數(shù).

5,乘方與開(kāi)方：乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算.

6,實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：乘方，開(kāi)方為三級(jí)運(yùn)算，乘,除為二

級(jí)運(yùn)算，加，減是一級(jí)運(yùn)算,如果沒(méi)有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)

算中要從左到右依次運(yùn)算,不同級(jí)的運(yùn)算，先算高級(jí)的

運(yùn)算再算低級(jí)的運(yùn)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里的運(yùn)算.無(wú)

論何種運(yùn)算渚口要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

六，有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

1,科學(xué)記數(shù)法：設(shè)N>O〃JN=aXio〃（其中l(wèi)^a<10,n

為整數(shù)）.

2,有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù),

到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，叫做這個(gè)數(shù)的有效

數(shù)字.精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）

保留幾個(gè)有效數(shù)字.

例題：

例1,已知實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,

且向A網(wǎng).

化間：|4-卜+4-性-4

分析：從數(shù)軸上a,b兩點(diǎn)的位置可以看到：a<0,b>0

且時(shí)A網(wǎng)

所以可的：解：原式=-a+a+Z?-/?+〃=a

例2,若a=G）rb=_g）3,c=g『，比較a,b,c的大小.

分析：6=1且》YO；C>0；所以容易

的出：

a<b<c.解：略

例3,若*N邱+Z互為相反數(shù)，求a+b的值

分析：由絕對(duì)值非負(fù)特性，可知,一2|?。，性+2|“，又由題

意可知：卜-2|+|。+2|=。

所以只能是:a—2=0,b+2=0,即a=2,b=—2,所以a+b=O解:

略

例4,已知a與b互為相反數(shù),c與d互為倒數(shù),m的絕對(duì)

值是1,求*/的值.

m

解:原式=0-1+1=0

<I\2/I\2

e-f~—e——

例5,計(jì)算：(1)81994X0.1251994(2)―紇---

22

\J\)

解：(1)原式二(8x0.12寸網(wǎng)=產(chǎn)=1

(11)(11}

⑵原式二上e+—+刃e——.卜e+一—，e——~%1

代拆部今

第二幸：代熬K

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

一,代數(shù)式

’L代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)

而成的式子，叫代數(shù)式.單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是

代數(shù)式.

2,代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母,計(jì)算后

的到的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

3,代數(shù)式的分類：

’單項(xiàng)式

整式

有理式多項(xiàng)式

代數(shù)式

分式

無(wú)理式

二，整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

L概念

（1）單項(xiàng)式：像X,7,2/y,這種數(shù)與字母的積叫做

單項(xiàng)式.單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式.

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫

做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的

系數(shù).

（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.

多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式

的項(xiàng).一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng),就叫幾項(xiàng)式.

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),

就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng).

升（降）幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的

指數(shù)從小（大）到大（?。┑捻樞蚺帕衅饋?lái)，叫做把多

項(xiàng)式按這個(gè)字母升（降）幕排列.

（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指

數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).

2,運(yùn)算

（1）整式的加減：

合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所的結(jié)果作為

系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變.

去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的

“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是”號(hào),

把括號(hào)和它前面的”號(hào)去掉，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào).

添括號(hào)法則：括號(hào)前面是號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)

都不變；括號(hào)前面是”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變

號(hào).

整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時(shí),如果遇

到括號(hào)，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).

(2)整式的乘除：

幕的運(yùn)算法則：其中m,n都是正整數(shù)

同底數(shù)塞相乘：同底數(shù)幕相除：優(yōu)'”=尸；

幕的乘方：(1)"=「積的乘方:(ab)"=anb".

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù),

對(duì)于相同的字母,用它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的

指數(shù)；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的

指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一

項(xiàng),再把所的的積相加.

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另

一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加.

單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除，作為商的

因式,對(duì)于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作

為商的一個(gè)因式.

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)

單項(xiàng),再把所的的商相加.

乘法公式：

平方差公式：3+。)3-。)=/_/；

方，公:(a+h)2=a2+2ab+b~,(a—h)2-a1—2ah+h~

三，因式分解

1,因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的

形式,叫因式分解.

2,常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+/?+c)

(2)運(yùn)用公式法：

平方差公式：a2-/=g+b)(a-b)；完全平方公式：

a2±2ab+b2=(a±h)2

(3)十字相乘法：J+(a+〃)x+a/?=(x+a)(x+b)

(4)分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能

提公因式或運(yùn)用公式分解.

(5)運(yùn)用求根公式法：若，+H+C=O("O)的兩個(gè)

根是范,％,則有：

a￡4-bx+c=a(x-x})(x-x2)

3,因式分解的一般步驟：

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因

式；

(2)提出公因式或無(wú)公因式可提，再考慮可否運(yùn)

用公式或十字相乘法；

(3)對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解,

不行的再用求根公式法.

(4)最后考慮用分組分解法.

四，分式

1,分式定義：形如9的式子叫分式，其中A,B是整式,

且B中含有字母.

（1）分式無(wú)意義：B=0時(shí),分式無(wú)意義；BWO時(shí)，分式

有意義.

（2）分式的值為0：A=0,BW0時(shí)，分式的值et.于0.

（3）分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因

式約去叫做分式的約分.方法是把分子，分母因式分解,

再約去公因式.

（4）最簡(jiǎn)分式：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式

時(shí),叫做最簡(jiǎn)分式.分式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式，一定

要化為最簡(jiǎn)分式.

（5）通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)分

式相et.的同分母分式的過(guò)程，叫做分式的通分.

（6）最簡(jiǎn)公分母：各分式的分母所有因式的最高次

幕的積.

（7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式.

2,分式的基本性質(zhì)：

（1）4=4_（/是/0的整式）；（2）4=絲（用是聲0的整式）

BB?MB

（3）分式的變號(hào)法則：分式的分子，分母與分式本身

的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變.

3,分式的運(yùn)算：

（1）加，減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加

減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分

式再相加減.

(2)乘：先對(duì)各分式的分子,分母因式分解，約分后再

分子乘以分子，分母乘以分母.

(3)除：除以一個(gè)分式et.于乘上它的倒數(shù)式.

(4)乘方：分式的乘方就是把分子，分母分別乘方.

五，二次根式

1,二次根式的概念：式子心(心0)叫做二次根式.

(1)最簡(jiǎn)二次根式：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是

整式，被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)的盡方的因式的二次根式

叫最簡(jiǎn)二次根式.

(2)同類二次根式：化為最簡(jiǎn)二次根式之后,被開(kāi)方

數(shù)相同的二次根式,叫做同類二次根式.

(3)分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有

理化.

(4)有理化因式：把兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相

乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代

數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化因式有：及與及;

ay[b+c4d與ajb-c4d)

2,二次根式的性質(zhì)：

2

(1)(Va)=a(a>0)；(2)=同=<"一°)；(3)4ab-4a-4b

[-a(a<0)

(a20,b20)；(4)口=以心0力N0)

Vby/b

3,運(yùn)算:

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡(jiǎn)二次

根式后，合并同類二次根式.

(2)二次根式的乘法：&.四=而(a，0,b20).

(3)二次根式的除法:^=ha>0,b>0)

y/bVb

二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式,要化成最簡(jiǎn)二

次根式.

例題：

一，因式分解：

1,提公因式法：

例l,24a2(x-y)+6b2(y-x)

分析：先提公因式,后用平方差公式解：略

［規(guī)律總結(jié)］因式分解本著先提取，后公式et.,但應(yīng)

把第一個(gè)因式都分解到不能再分解為止，往往需要對(duì)

分解后的每一個(gè)因式進(jìn)行最后的審查，如果還能分解,

應(yīng)繼續(xù)分解.

2,十字相乘法：

例2,(1)X4-5X2-36；(2)(x+y)2-4(x+y)-12

分析：可看成是Y和(x+y)的二次三項(xiàng)式，先用十字

相乘法，初步分解.解：略

［規(guī)律總結(jié)］應(yīng)用十字相乘法時(shí)，注意某一項(xiàng)可是單

項(xiàng)的一字母，也可是某個(gè)多項(xiàng)式或整式，有時(shí)還需要連

續(xù)用十字相乘法.

3,分組分解法：

例3,X3+2X2-x-2

分析：先分組，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)一組，第三，第四項(xiàng)

一組，后提取,再公式.解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)分組轉(zhuǎn)化成基本方法因

式分組，分組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或

公式法解題.

4,求根公式法：

例4,%2+5x+5解：略

二，式的運(yùn)算

巧用公式

例5,計(jì)算：（1-￡尸-（1+匕）2

分析：運(yùn)j平方差々式因式分解，使分式運(yùn)算簡(jiǎn)單

化.解：略

［規(guī)律總結(jié)］抓住三個(gè)乘法公式的特征，靈活運(yùn)用,

特別要掌握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運(yùn)用公

式的技巧，使運(yùn)算簡(jiǎn)便準(zhǔn)確.

2,化簡(jiǎn)求值：

例6,先化簡(jiǎn)，再求值:5x2-（3x2+5/）+（分2+7孫）淇中

x=-ly=i-V2

［規(guī)律總結(jié)］一定要先化到最簡(jiǎn)再代入求值,注意去

括號(hào)的法則.

3,分式的計(jì)算：

例7,化簡(jiǎn)廣4+（—四一加3）

2a-6a-3

分析：-〃一3可看成-二解：略

a-3

［規(guī)律總結(jié)］分式計(jì)算過(guò)程中：（1）除法轉(zhuǎn)化為乘法時(shí),

要倒轉(zhuǎn)分子,分母；（2）注意負(fù)號(hào)

4,根式計(jì)算

例8,已知最簡(jiǎn)二次根式歷T和E是同類二次

根式，求b的值.

分析：根據(jù)同類二次根式定義可的：2b+l=7-b.

解：略

［規(guī)律總結(jié)］二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算是中考必考內(nèi)

容，特別是二次根式的化簡(jiǎn)，求值及性質(zhì)的運(yùn)用是中考

的主要考查內(nèi)容.

代皴都臺(tái)

第三*；方程和方程低

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

一,方程有關(guān)概念

1,方程：含有未知數(shù)的et.式叫做方程.

2,方程的解：使方程左右兩邊的值相et.的未知數(shù)的值

叫方程的解，含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程

的根.

3,解方程：求方程的解或方判斷方程無(wú)解的過(guò)程叫做

解方程.

4,方程的增根：在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的

根叫做原方程的增根.

二，一元方程

L一元一次方程

(1)一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=O(其中x是

未知數(shù),a,b是已知數(shù),aWO)

(2)一玩一次方程的最簡(jiǎn)形式：ax=b(其中x是未

知數(shù),a,b是已知數(shù),aWO)

(3)解一元一次方程的一般步驟：去分母，去括號(hào)，移

項(xiàng)，合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為1.

(4)一元一次方程有唯一的一個(gè)解.

2,一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c^O(其中X

是未知數(shù),a,b,c是已知數(shù),aWO)

(2)一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法，配方法，公

式法，因式分解法

(3)一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一

般，如沒(méi)有要求，一般不用配方法.

(4)一元二次方程的根的判別式：—ac

當(dāng)△>0時(shí)=方程有兩個(gè)不相et.的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時(shí)o方程有兩個(gè)相et.的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△<()時(shí)。方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,無(wú)解；

當(dāng)△時(shí)=方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

(5)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

若是一兀二次方程af+bx+c=O的兩個(gè)根，那么：

(6)以兩個(gè)數(shù)?血為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)

2

為1)是：X一(2+x2)x+x]x2=0

三，分式方程

(1)定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母.

特殊方法：換元法.

(3)檢驗(yàn)方法：一般把求的的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)

公分母，使最簡(jiǎn)公分母不為0的就是原方程的根；使的

最簡(jiǎn)公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去,

也可以把求的的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn).

四,方程組

1,方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組

的解.

2,解方程組：求方程組的解或判斷方程組無(wú)解的過(guò)程

叫做解方程組

3,一次方程組：

(1)二元一次方程組：

一般形式：口+?M(卬0，4也工”,不全為0)

a2x+b2y^c2

解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無(wú)解,當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有

無(wú)數(shù)的解.

(2)三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4,二元二次方程組：

(1)定義：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方

程組成的方程組以及由兩個(gè)二元二次方程組成的方

程組叫做二元二次方程組.

(2)解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次,

轉(zhuǎn)化為二元一次方程組.

考點(diǎn)與命題趨向分析

例題：

一,一元二次方程的解法

例1,解下列方程：

(1)g(x+3)2=2;(2)2X2+3X=\;(3)4(X+3)2=25(X-2)2

分析：(1)用直接開(kāi)方法解；(2)用公式法；(3)用

因式分解法解：略

［規(guī)律總結(jié)］如果一元二次方程形如(X+〃?)2=〃(心0),就可

以用直接開(kāi)方法來(lái)解；利用公式法可以解任何一個(gè)有

解的一元二次方程，運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，一

定要把方程化成一般形式.

例2,解下列方程：

(1)x?-a(3x-2a+/?)=0(x為未知數(shù))；(2)x1+2ax-8a2=0

分析：(1)先化為一般形式，再用公式法解；(2)直接

可以十字相乘法因式分解后可求解.

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程

沒(méi)有什么區(qū)別，在用公式法時(shí)要注意判斷△的正負(fù).

二，分式方程的解法：

例3,解下列方程：

(2)一1；(2)衛(wèi)+鳥=5

1-xx+1xx+2

分析：(1)用去分母的方法；(2)用換元法解：略

［規(guī)律總結(jié)］一般的分式方程用去分母法來(lái)解，一些具有

特殊關(guān)系如：有平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系et.的分式方程，可

采用換元法來(lái)解.

三，根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例4,已知關(guān)于X的方程：(p_l)x2+2px+p+3=0有兩個(gè)相

et.的實(shí)數(shù)根，求p的值.

分析：由題意可的A=0,把各系數(shù)代入△二0中就可求出

p,但要先化為一般形式.

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于根的判別式的三種情況要很熟練，還有

要特別留意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0

例5,已知a,b是方程/一四＞1=()的兩個(gè)根，求下列各式

的值：

(1)/+〃；⑵/］

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把(1)(2)變形

后的式子就可求出解.

［規(guī)律總結(jié)］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積,

再把要求的式子變形成含有兩根之和和兩根之積的

形式，再代入計(jì)算.但要注意檢驗(yàn)一下方程是否有解.

例6,求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別比方

程/7-5=0的兩個(gè)根小3

分析：先出求原方程的兩根之和王+Z和兩根之積尤也再

代入求出(?-3)+(々-2)和(七-3)?-3)的值,所求的方程也

就容易寫出來(lái).解：略

［規(guī)律總結(jié)］此類題目可以先解出第一方程的兩個(gè)解，但

有時(shí)這樣又太復(fù)雜，用根與系數(shù)的關(guān)系就比較簡(jiǎn)單.

三,方程組

例7,解下列方程組:

y-2z=1

(1)產(chǎn)+3y=3；Q)2x-y-z=5

x-2y=5x+y+3z=4

分析：(1)用加減消元法消x較簡(jiǎn)單；(2)應(yīng)該先用

加減消元法消去y,變成二元一次方程組，較易求解.解:

略

［規(guī)律總結(jié)］加減消元法是最常用的消元方法，消元時(shí)那

個(gè)未知數(shù)的系數(shù)最簡(jiǎn)單就先消那個(gè)未知數(shù).

例8,解下列方程組：

（］）x+y=7.（2）13尤2一孫一42_3x+4y=0

孫=12，［x2+y2=25

分析：（1）可用代入消遠(yuǎn)法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)

求解；（2）要先把第一個(gè)方程因式分解化成兩個(gè)二元

一次方程，再與第二個(gè)方程分別組成兩個(gè)方程組來(lái)解.

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方

程組成的方程組一般用代入消元法，對(duì)于兩個(gè)二元二

次方程組成的方程組，一定要先把其中一個(gè)方程因式

分解化為兩個(gè)一次方程再和第二個(gè)方程組成兩個(gè)方

程組來(lái)求解.

代蚪部今

第四幸：列方程（做）解成用效

知識(shí)點(diǎn)：

一,列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟

1,審題：

2,設(shè)未知數(shù)；

3,找出相et.關(guān)系,列方程（組）；

4,解方程（組）；

5,檢驗(yàn),作答；

二,列方程（組）解應(yīng)用題常見(jiàn)類型題及其et.量關(guān)系;

1,工程問(wèn)題

（1）基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率X工作時(shí)

間

(2)常見(jiàn)的et.量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量二甲,

乙合作的工作總量

(3)注意：工程問(wèn)題常把總工程看作“1”，水池注水

問(wèn)題屬于工程問(wèn)題

2,行程問(wèn)題

(1)基本量之間的關(guān)系：路程二速度X時(shí)間

(2)常見(jiàn)et?量關(guān)系：

相遇問(wèn)題：甲走的路程+乙走的路程二全路程

追及問(wèn)題(設(shè)甲速度快)：

同時(shí)不同地：甲的時(shí)間二乙的時(shí)間；甲走的路程-乙走

的路程=原來(lái)甲，乙相距路程

同地不同時(shí)：甲的時(shí)間二乙的時(shí)間-時(shí)間差；甲的路程

=乙的路程

3,水中航行問(wèn)題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4,增長(zhǎng)率問(wèn)題：

常見(jiàn)et.量關(guān)系：增長(zhǎng)后的量=原來(lái)的量+增長(zhǎng)的

量；增長(zhǎng)的量=原來(lái)的量X(1+增長(zhǎng)率)；

5,數(shù)字問(wèn)題：

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)二個(gè)位上的數(shù)+十位上

的數(shù)X10+百位上的數(shù)X100

三,列方程解應(yīng)用題的常用方法

L譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語(yǔ)言或數(shù)量及

各數(shù)量間的關(guān)系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)

在聯(lián)系找出et.量關(guān)系.

2,線示法：就是用同一直線上的線段表示應(yīng)用題

中的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)線段長(zhǎng)度的內(nèi)在聯(lián)系，找出et.

量關(guān)系.

3,列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入

表格，從而找出各種量之間的關(guān)系.

4,圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可

以使量與量之間的關(guān)系更為直觀，這種方法能幫助我

們更好地理解題意.

例題：

例1,甲，乙兩組工人合作完成一項(xiàng)工程，合作5天

后,甲組另有任務(wù)，由乙組再單獨(dú)工作1天就可完成，若

單獨(dú)完成這項(xiàng)工程乙組比甲組多用2天，求甲，乙兩組

單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需幾天？？

分析：設(shè)工作總量為1,設(shè)甲組單獨(dú)完成工程需要

x天,則乙組完成工程需要(x+2)天,et.量關(guān)系是甲組5

天的工作量+乙組6天的工作量=工作總量解：略

例2,某部隊(duì)奉命派甲連跑步前往90千米外的A

地,1小時(shí)45分后，因任務(wù)需要，又增派乙連乘車前往支

援，已知乙連比甲連每小時(shí)快28千米，恰好在全程的"

處追上甲連.求乙連的行進(jìn)速度及追上甲連的時(shí)間

分析：設(shè)乙連的速度為v千米/小時(shí)，追上甲連的

時(shí)間為t小時(shí)，則甲連的速度為(v-28)千米/小時(shí)，這

時(shí)乙連行了“+：)小時(shí)，其et?量關(guān)系為：甲走的路程=乙

4

走的路程=30

例3,某工廠原計(jì)劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備

60臺(tái)支援抗洪，由于改進(jìn)了操作技術(shù)；每天生產(chǎn)的臺(tái)

數(shù)比原計(jì)劃多50%,結(jié)果提前2天完成任務(wù)，求改進(jìn)操

作技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多少臺(tái)？？

分析：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)通訊設(shè)備x臺(tái),則改進(jìn)操

作技術(shù)后每天生產(chǎn)x(1+0.5)臺(tái)網(wǎng).量關(guān)系為：原計(jì)劃

所用時(shí)間-改進(jìn)技術(shù)后所用時(shí)間=2天解：略

例4,某商廈今年一月份銷售額為60萬(wàn)元,二月份

由于種種原因，經(jīng)營(yíng)不善，銷售額下降10%,以后經(jīng)加強(qiáng)

管理，又使月銷售額上升，到四月份銷售額增加到96萬(wàn)

元，求三，四月份平均每月增長(zhǎng)的百分率是多少？？

分析：設(shè)三，四月份平均每月增長(zhǎng)率為x%,二月份

的銷售額為60(1-10%)萬(wàn)元，三月份的銷售額為二月

份的(1+x)倍，四月份的銷售額又是三月份的(1+x)

倍，所以四月份的銷售額為二月份的(1+x)2倍,出.量

關(guān)系為：四月份銷售額為=96萬(wàn)元.解：略

例5,一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為2.25%,所的利息要

交納20%的利息稅，例如存入一年期100元，到期儲(chǔ)戶

納稅后所的到利息的計(jì)算公式為：

稅后利息=100x2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%(1-20%)

已知某儲(chǔ)戶存下一筆一年期定期儲(chǔ)蓄到期納稅

后的到利息是450元,問(wèn)該儲(chǔ)戶存入了多少本金？？

分析：設(shè)存入x元本金,多一年期定期儲(chǔ)蓄到期納稅后

利息為2.25%(l-20%)x元，方程容易的出.

例6,某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天售出20件，每

件盈利40元,為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少庫(kù)存，商場(chǎng)

決定采取適當(dāng)?shù)慕档统杀敬胧?，?jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件

襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.若商場(chǎng)

平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？？

分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)該降價(jià)x元,則每件襯衫的利潤(rùn)為

（40-x）元,平均每天的銷售量為（20+2x）件,由關(guān)系

式：

總利潤(rùn)二每件的利潤(rùn)X售出商品的叫量，可列出方程

解:略

代猿斯臺(tái)

第五本:不以代&不必代做

知識(shí)點(diǎn)：

一，不et.式與不et.式的性質(zhì)

1,不et.式：表示不et.關(guān)系的式子.（表示不et.關(guān)系的

常用符號(hào)：吟〈,〉）.

2,不et.式的性質(zhì)：

（1）不et.式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不et.

號(hào)方向不改變，如a>b,c為實(shí)數(shù)=a+c>b+c

（2）不et.式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù),

不et.號(hào)方向不變，如a>b,c>0=>ac>bc.

（3）不et.式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),

不et.號(hào)方向改變，如a>b,c<0=>ac<bc.

注：在不et.式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí),

一定要養(yǎng)成好的習(xí)慣，就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù),

零,負(fù)數(shù)）再確定不et.號(hào)方向是否改變，不能像應(yīng)用et.

式的性質(zhì)那樣隨便，以防出錯(cuò).

3,任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系（三種）：

（1）a—b>O=a>b

（2）a—b=O=a=b

（3）a—bVO=a〈b

4,（1）a>b>0。G>石

（2）a>b>0<^?2<b2

二，不et.式（組）的解，解集，解不et?式

1,能使一個(gè)不et.式（組）成立的未知數(shù)的一個(gè)值叫做

這個(gè)不et.式（組）的一個(gè)解.

不et?式的所有解的集合，叫做這個(gè)不et?式的解集.

不et.式組中各個(gè)不et.式的解集的公共部分叫做不et.

式組的解集.

2.求不et.式（組）的解集的過(guò)程叫做解不et.式（組）.

三，不et.式（組）的類型及解法

1,一元一次不et.式：

（1）概念：含有一個(gè)未知數(shù)并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)

是一次的不et.式，叫做一元一次不et?式.

（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當(dāng)

不et.式的兩邊同乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不et.號(hào)

方向要改變.

2,一元一次不et.式組：

（1）概念：含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不et?式

所組成的不et.式組，叫做一元一次不et.式組.

(2)解法：先求出各不et?式的解集，再確定解集的公

共部分.

&：求不et.式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便.

例題：

方法1：利用不et.式的基本性質(zhì)

1,判斷正誤：

(1)若a>b,c為實(shí)數(shù)，則4c2>如；

(2)若">叱2,則a>b

分析：在(1)中，若c=0,則小=兒2；在(2)分因?yàn)?

>"，所以.CWO,否則應(yīng)有碇2=如故a>b解：略

［規(guī)律總結(jié)］將不et.式正確變形的關(guān)鍵是牢記不et.

式的三條基本性質(zhì)，不et.式的兩邊都乘以或除以含有

字母的式子時(shí)，要對(duì)字母進(jìn)行討論.

方法2：特殊值法

例2,若aVbVO,那么下列各式成立的是()

A」JB,abVOC;

abhb

分析：使用直接解法解答常常費(fèi)時(shí)間，又因?yàn)榇鸢冈谝?/p>

般情況下成立，當(dāng)然特殊情況也成立，因此采用特殊值

法.

解：根據(jù)a<b<0的條件，可取a=-2,b=-l,代入檢驗(yàn)，易

知￡>i,所以選D

［規(guī)律總結(jié)］此種方法常用于解選擇題，學(xué)生知識(shí)有限,

不能直接解答時(shí)使用特殊值法，既快，又能找到符合條

件的答案.

方法3：類比法

例3,解下列一元一次不et.式，并把解集在數(shù)軸上表示

出來(lái).

(1)8-2(x+2)<4x-2；(2)

23

分析：解一元一次不et?式的步驟與解一元一次方程類

似，主要步驟有去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把系

數(shù)化成1,需要注意的是，不et?式的兩邊同時(shí)乘以或除

以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不et.號(hào)要改變方向.解：略

［規(guī)律總結(jié)］解一元一次不et.式與解一元一次方程的

步驟類似,但要注意當(dāng)不et?式的兩邊都乘以或除以同

一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不et.號(hào)的方向必須改變，類比法解題，使學(xué)

生容易理解新知識(shí)和掌握新知識(shí).

方法4：數(shù)形結(jié)合法

2(x+8)<10-4(x-3)

例4,求不et.式組：x+16x+7的非負(fù)整數(shù)解

-------------------<1

I23

分析:要求一個(gè)不et.式組的非負(fù)整數(shù)解，就應(yīng)先求出不

et.式組的解集，再?gòu)慕饧姓页銎渲械姆秦?fù)整數(shù)解.解:

略

方法5：逆向思考法

例5,已知關(guān)于X的不et.式(0-2)%>10-a的解集是X>3,

求a的值.

分析：因?yàn)殛P(guān)于x的不et?式的解集為x>3,與原不et.

式的不et.號(hào)同向，所以有a-2>0,即原不et.式的解集為

口,4=3解此方程求出a的值.解：略

a-2a-2

［規(guī)律總結(jié)］此題先解字母不et?式,后著眼已知的解集,

探求成立的條件，此種類型題都采用逆向思考法來(lái)解.

代孤郡今

第六摩：備熱及其圖侏

知識(shí)點(diǎn)：

一，平面直角坐標(biāo)系

1,平面內(nèi)有公共原點(diǎn)且互相垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)

成平面直角坐標(biāo)系.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和有序

實(shí)數(shù)對(duì)之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

2,不同位置點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

(1)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)有如下特征：

點(diǎn)P(x,y)在第一象限=x>0,y>0；

點(diǎn)P(x,y)在第二象限ox<0,y>0；

點(diǎn)P(x,y)在第三象限=x<0,y<0；

點(diǎn)P(x,y)在第四象限=x>0,y<0.

(2)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有如下特征：

點(diǎn)P(x,y)在x軸上=y為0,x為任意實(shí)數(shù).

點(diǎn)P(x,y)在y軸上ox為0,y為任意實(shí)數(shù).

3.點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)的幾何意義：

(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離是|y|；

(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)袖的距離是|x|；

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是尸萬(wàn)

4.關(guān)于坐標(biāo)軸，原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

(1)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是63-力;

(2)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是鳥(-。向；

(3)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是R(-a,詢；

-k函婁攵的布圖會(huì)"

L魯量和變高在某一變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的

量叫做變量；保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量.

2,函數(shù)：一般地，設(shè)在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和

y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那

么就說(shuō)x是自變量,y是x的函數(shù).

(1)自變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個(gè)自變量的整式的函數(shù),自變量

取值范圍是全體實(shí)數(shù).

②解析式是只含有一個(gè)自變量的分式的函數(shù),自變量

取值范圍是使分母不為0的實(shí)數(shù).

③解析式是只含有一個(gè)自變量的偶次根式的函數(shù)，自

變量取值范圍是使被開(kāi)方數(shù)非負(fù)的實(shí)數(shù).

注意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時(shí)，如果遇到實(shí)

際問(wèn)題，還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義.

(2)函數(shù)值：給自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值所求

的的函數(shù)的對(duì)應(yīng)值.

(3)函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖

像法

(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像,一般步驟是：①

列表；②描點(diǎn)；③連線

三，幾種特殊的函數(shù)

1,一次函數(shù)

函數(shù)解析式瞌藉

圖像性質(zhì)

■

Et函

數(shù)

時(shí)

①當(dāng)k>1oy

隨

的

也

曾

h而

Xr大

增

大

時(shí)

②當(dāng)k<1Oy

隨

X的增大而

減

y

次

一=kx

數(shù)

函k+b

#o)

直線位置與k,b的關(guān)系：

(1)k>0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的

夾角為銳角；

(2)k<0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的

夾角為鈍角；

(3)b>0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的上方；

(4)b=0直線過(guò)原點(diǎn)；

(5)bVO直線與y軸交點(diǎn)在x軸的下方；

2,二次函數(shù)

(1)a決定拋物線的開(kāi)口方向口？!

口<00開(kāi)口向下

(2)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置：

c>0=圖像與y軸交點(diǎn)在x軸上方;c=0=圖像過(guò)原點(diǎn);

c<0=圖像與y軸交點(diǎn)在x軸下方；

(3)a,b決定拋物線對(duì)稱軸的位置：a,b同號(hào),對(duì)稱軸

在y軸左側(cè)；b=0,對(duì)稱軸是y軸；a,b異號(hào).對(duì)稱軸在

y軸右側(cè)；

4,正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對(duì)照表:

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx(k^O)y=—(4#0)

X

圖像直線，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)雙曲線，與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)

自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)工，0的一切實(shí)數(shù)

圖像的位置當(dāng)人>0時(shí)，在一、三象限；當(dāng)A>0時(shí)，在一、三象限；

當(dāng)L<0時(shí)，在二、四象限。當(dāng)A<0時(shí)，在二、四象限。

性質(zhì)當(dāng)人>0時(shí),夕隨力增大而增大；當(dāng)A>0時(shí),y隨工增大而減??；

當(dāng)人<0時(shí),y施力的增大而減小。當(dāng)A<0時(shí)，y隨x增大而增大。

例題：

例1,正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

(m,4),已知點(diǎn)P到x軸的距離是至Ijy軸的距

離2倍.

⑴求點(diǎn)P的坐標(biāo).；

⑵求正比例函數(shù),反比例函數(shù)的解析式.

分析：由點(diǎn)P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知:

21ml=4,易求出點(diǎn)P的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求出

這正,反比例函數(shù)的解析式.解：略

例2,已知a,b是常數(shù),且y+b與x+a成正比例.求證：

y是x的一次函數(shù).

分析：應(yīng)寫出y+b與x+a成正比例的表達(dá)式，然后

判斷所的結(jié)果是否符合一次函數(shù)定義.

證明：由已知，有y+b=k(x+a),其中kWO.

整理，的y=kx+(ka—b).①

因?yàn)閗WO且ka—b是常數(shù)，故y=kx+(ka—b)是x

的一次函數(shù)式.

例3,填空:如果直線方程ax+by+c=0中,a<0,b<0

且bc<0,則此直線經(jīng)過(guò)第象限.

分析：先把a(bǔ)x+by+c=0化為-齊-，因?yàn)閍VO,b

bb

<0,所以？。，4〈。，又bc<0,即2<0,故一?>0.相當(dāng)

bbbb

于在一次函數(shù)y=kx+1中，k二一巴VO,1二一：>0,此直

bb

線與y軸的交點(diǎn)(0,一￡)在x軸上方.且此直線的向上

方向與X軸正方向所成角是鈍角，所以此直線過(guò)第一,

二，四象限._

例4,把反比例函數(shù)y二七與二次函數(shù)y二kx"kWO)畫在

X

同一個(gè)坐標(biāo)系里,正確的是().

答：選(D).這兩個(gè)函數(shù)式中的k的正，負(fù)號(hào)應(yīng)相同(圖

答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)x=-1,1,3時(shí)y的值是多少？？

(2)當(dāng)y=2時(shí),對(duì)應(yīng)的x值是多少？?

(3)當(dāng)x>3時(shí)，隨x值的增大y的值怎樣變化？？

(4)當(dāng)x的值由3增加1時(shí),對(duì)應(yīng)的y值增加多

少？？

分析：要畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象，首先用配方法

把y二x?-6x+7變形為y二(x-3)?-2,確定拋物線的開(kāi)口

方向,對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后列表，描點(diǎn)，畫圖.解：圖象

略.

例6,拖拉機(jī)開(kāi)始工作時(shí)，油箱有油45升，如果每小

時(shí)耗油6升.

（1）求油箱中的余油量Q（升）與工作時(shí)間t（時(shí)）

之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）畫出函數(shù)的圖象.

答：（1）Q=45-6t.

（2）圖象略.注意：這是實(shí)際問(wèn)題，圖象只能由自

變量t的取值范圍0WtW7.5決定是一條線段,而不是

直線.

代數(shù)鄙臺(tái)

第七本；院針初步

知識(shí)點(diǎn)：

一,總體和樣本：

在統(tǒng)計(jì)時(shí)，我們把所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其

中每一考察對(duì)象叫做個(gè)體.從總體中抽取的一部分個(gè)

體叫做總體的一個(gè)樣本,樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本

容量

二,反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)

L平均數(shù)

（1）X1,x,x,???,%?的平均數(shù)/」區(qū)+Z+???+￡）

23n

（2）加權(quán)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)據(jù)中新出現(xiàn)力次出現(xiàn)

于2次，，4出現(xiàn)二次（這里力+于2+???+/?=〃），則

-1

x=-(V1+x2/2+...+x,/,)

(3)平均數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算：

當(dāng)一組數(shù)據(jù)為.七,…,Z中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都與

常數(shù)a接近時(shí)，設(shè)%,-a,x2-a,x3-a,---,xn-a的平均數(shù)為7則：

x=x'+a.

2,中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的順序排列，處在最

中間位置上的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)

的個(gè)數(shù)為偶數(shù)中位數(shù)就是處在中間位置上兩個(gè)數(shù)據(jù)

的平均數(shù).

3,眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組

數(shù)據(jù)的眾數(shù).一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè).

三，反映數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù)：

1,方差：

(1)和―的方差,S?=區(qū)一工+(%-遍+???+(超國(guó)

n

222

(2)簡(jiǎn)化計(jì)算公式：S2=XJ+"2七3\(和孫孫…,Z為

n

較小的整數(shù)時(shí)用這個(gè)公式要比較方便)

(3)記X|,X2,七,，，，'X”的方差為力，設(shè)a為常

數(shù),%-a,x2-a,x3，…,-a的方差為則S2=S、2.

注：當(dāng)x-…居各數(shù)據(jù)較大而常數(shù)a較接近時(shí),用該法

計(jì)算方差較簡(jiǎn)便.

2,標(biāo)準(zhǔn)差：方差I(lǐng)s?)的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差(S).

注：通常由方差求標(biāo)準(zhǔn)差.

四，頻率分布

L有關(guān)概念

(1)分組：將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)分成若干組

稱為分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，通常分成5—12組.

(2)頻數(shù)：每個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做該組的頻

數(shù).各個(gè)小組的頻數(shù)之和et.于數(shù)據(jù)總數(shù)n.

(3)頻率：每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)n的比值叫

做這一小組的頻率，各小組頻率之和為1.

(4)頻率分布表：將一組數(shù)據(jù)的分組及各組相應(yīng)的

頻數(shù)，頻率所列成的表格叫做頻率分布表.

(5)頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結(jié)果，繪制

成的，以數(shù)據(jù)的各分點(diǎn)為橫坐標(biāo)，以頻率除以組距為縱

坐標(biāo)的直方圖，叫做頻率分布直方圖.

圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的高et.于該組的頻率除以組距.

每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積et.于該組的頻率.

所有小長(zhǎng)方形的面積之和et.于各組頻率之和et.于1.

樣本的頻率分布反映樣本中各數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別占樣

本容量n的比例的大小，總體分布反映總體中各組數(shù)

據(jù)的個(gè)數(shù)分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣

本的頻率分布去估計(jì)總體的頻率分布.

2,研究頻率分布的方法；的到一數(shù)據(jù)的頻率分布和方

法，通常是先整理數(shù)據(jù)，后畫出頻率分布直方圖,其步驟

是：

(1)計(jì)算最大值與最小值的差；(2)決定組距與組

數(shù)；(3)決定分點(diǎn)；(4)列領(lǐng)率分布表；(5)繪頻率

分布直方圖.

例題：

例L某養(yǎng)魚戶搞池塘養(yǎng)魚，放養(yǎng)鰭魚苗20000尾，其成

活率為70%,隨意撈出10尾魚,稱的每尾的重量如下

（單位：千克）

0.8,0.9,1.2,1.3,0.8,1.1,1.0,1.2,0.8,0.9

根據(jù)樣本平均數(shù)估計(jì)這塘魚的總產(chǎn)量是多少千

克？？

分析：先算出樣本的平均數(shù)，以樣本平均數(shù)乘以20000,

再乘以70%.解：略

［規(guī)律總結(jié)］求平均數(shù)有三種方法，即當(dāng)所給數(shù)據(jù)比較

分散時(shí)，一般用平均數(shù)的概念來(lái)求；著所給數(shù)據(jù)較大且

都在某一數(shù)a上下波動(dòng)時(shí),通常采用簡(jiǎn)化公式；若所給

教據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí),通常采用加權(quán)平均數(shù)公式來(lái)計(jì)算.

例2,一次科技知識(shí)競(jìng)賽，兩次學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下

分?jǐn)?shù)5060708090100

甲組人數(shù)2510-13146

乙組人數(shù)441621212

已經(jīng)算的兩個(gè)組的人均分都是80分，請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過(guò)

的統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組成績(jī)誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)次，并說(shuō)

明理由

解：（1）甲組成績(jī)的眾數(shù)90分，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70

分,從眾數(shù)比較看，甲組成績(jī)好些.

（2）算的S甲2=172,s乙2=256

所以甲組成績(jī)較乙組波動(dòng)要小.

（3）甲，乙兩組成績(jī)的中位數(shù)都是80分，甲組成績(jī)?cè)?/p>

中位數(shù)以上的有33人,乙組成績(jī)?cè)谥形粩?shù)以上的有26

人，從這一角度看甲組的成績(jī)總體要好.

(4)從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看,甲組成績(jī)高于80分的人數(shù)為

20人,乙組成績(jī)高于80分的人數(shù)為24人，所以，乙組成

績(jī)集中在高分段的人數(shù)多，同時(shí)，乙組的滿分的人數(shù)比

甲組的滿分的人數(shù)多6人,從這一角度看，乙組的成績(jī)

較好.

［規(guī)律總結(jié)］明確方差或標(biāo)準(zhǔn)差是衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)

的大小的，恰當(dāng)選用方差的三個(gè)計(jì)算公式，應(yīng)抓住三個(gè)

公式的特征，根據(jù)題中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)選用計(jì)算公式.

例3,到從某學(xué)校3600人中抽出50名男生，取的他們的

身高(單位cm)，數(shù)據(jù)如下：

1811811791771771771761751751751751741741741741

7317317317317217217217217217117117117017016916

9168167167167166166166166166165165165163163162

161160158157

1,計(jì)算頻率，并畫出頻率分布直方圖

2,上指出身高在哪一組內(nèi)的男學(xué)生人數(shù)所占的比最大

3.請(qǐng)估計(jì)這些初三男學(xué)生身高在166.5cm以下的約

有多少人？？

分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率

156.5—161.57F4

161.5—166.5正正一11

166.5—171.5正正一11

171.5一176.5正正正下18

176.5一181.5正一6

合計(jì)50

解：1,各組頻率依次是：0.08,0.22,0.22,0.36,0.12

頻率

組距

身高(an)

1565161.51665171.51765181.5

2,從頻率分布表(或圖)中，可見(jiàn)身高在171.5—176.5

組內(nèi)男學(xué)生人數(shù)所占的比最大.

3,這個(gè)地方男學(xué)生身高166.5側(cè)以下的約為

3000x(0.08+0.22)=900(人)

［規(guī)律總結(jié)］要掌握獲的一組數(shù)據(jù)的頻率分布的五大步

驟,掌握整理數(shù)據(jù)的步驟和方法.會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的

分組.

瓜何郡今

第一*:線段，角，相入錢,平行錢

知'^點(diǎn).

一,3直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的

兩大特征是“直”和“向兩方無(wú)限延伸”.

二,直線的性質(zhì)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條

直線，直線的這條性質(zhì)是以公理的形式給出的，可簡(jiǎn)述

為：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，兩直線相交，只有一個(gè)

交占

三,射線：

1,射線的定義：直線上一點(diǎn)和它們的一旁的部分

叫做射線.

2.射線的特征：“向一方無(wú)限延伸,它有一個(gè)端點(diǎn)

四,線段:

L線段的定義：直線上兩點(diǎn)和它之間的部分叫做線段,

這兩點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).

2,線段的性質(zhì)（公理）：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最

短.

五,線段的中點(diǎn)：

L定義如圖1一1中，點(diǎn)B把線段AC分成兩條相et.

的線段，點(diǎn)B叫做線段圖1—1AC的中點(diǎn).

2,表不法：|______（_____,

VAB=BCABC

???點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)圖1T

或,?，AB=；MAC

???點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，或???AC=2AB,???點(diǎn)B為AC的

中I占八、、

反之也成立

,?,點(diǎn)B為AC的中點(diǎn),???AB=BC

或丁點(diǎn)B為AC的中點(diǎn),???AB=jAC

或???點(diǎn)B為AC的中點(diǎn),???AC=2BC

六，角

1,角的擊種定義：一種是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組

成的圖形叫做角.要弄清定義中的兩個(gè)重點(diǎn)①角是由

兩條射線組成的圖形;②這兩條射線必/8

須有一個(gè)公共端點(diǎn).另一種是一條射線

繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位

圖1-2

置所形成的圖形.可以看出在起始位置的射線與終止

位置的射線就形成了一個(gè)角.

2.角的平分線定義：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相

et.的角，

這條射器叫做這個(gè)角的平分線.表示法有三種：如圖1

—2

(1)NAOC=NBOC

(2)ZAOB=2ZAOC=2ZCOB

(3)ZAOC=ZCOB=iZAOB

2

七，角的度量：度量角的大小，可用“度”作為度量單

位.把一個(gè)圓周分成360et.份,每一份叫做一度的角.1度

=60分；1分=60秒.

八，角的分類：

(1)銳角：小于直角的角叫做銳角

(2)直角：平角的一半叫做直角

(3)鈍角：大于直角而小于平角的角

(4)平角：把一條射線,繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向

旋轉(zhuǎn),當(dāng)終止位置和起始位置成一直線時(shí)，所成的角叫

做平角.

(5)周角：把一條射線,繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊重合時(shí),所成的角叫做周角.

(6)周角，平角，直角的關(guān)系是：1周角=2平角=4直角

=360°

九，相關(guān)的角：

IX寸頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反

向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.

2,互為補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角做

互為補(bǔ)角.

3,互為余角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫

做互為余角.

4,鄰補(bǔ)角：有公共頂點(diǎn)，一條公共邊，另兩條邊互為反向

延長(zhǎng)線的兩個(gè)角做互為鄰補(bǔ)角.

注意：互余,互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的

位置無(wú)關(guān),而互為鄰補(bǔ)角則要求兩個(gè)角有特殊的位置

關(guān)系.

十，角的性質(zhì)

L對(duì)頂角相et.

2,同角或et.角的余角相et..

3,同角或et.角的補(bǔ)角相et..

H^一，相交線

1,斜套：兩條直線相交不成直角時(shí)，其中一條直線叫做

另一條直線的斜線.它們的交點(diǎn)叫做斜足.

2,兩條直線互相垂直：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角

中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直.

3,垂線：當(dāng)兩條直線互相垂直時(shí),其中的一條直線叫做

另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

4,垂線的性質(zhì)

(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直.

(2)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂

線段最短.簡(jiǎn)單說(shuō)：垂線段最短.

十二，距離

L兩點(diǎn)的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)的距

離

2,從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到

直線的距離.

3,兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的

任意一點(diǎn)向另一條直線引垂線，垂線段的長(zhǎng)度,叫做兩

條平行線的距離.

說(shuō)明：點(diǎn)到直線的距離和平行線的距離實(shí)際上是兩個(gè)

特殊點(diǎn)之間的距離，它們與點(diǎn)到直線的垂線段是分不

開(kāi)的.

十三,平行線

1,定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

2,平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這

條直線平行.

3,平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平

行，那么這兩條直線也互相平行.

說(shuō)明：也可以說(shuō)兩條射線或兩條線段平行，這實(shí)際上是

指它們所在的直線平行.

4,平行線的判定：

（1）同位角相et.,兩直線平行.

（2）內(nèi)錯(cuò)角相et.,兩直線平行.

（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

5,平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相et..

（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相et..

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

說(shuō)明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在

已知條件中有兩條直線平行時(shí)，則應(yīng)用性質(zhì)定理.

6,如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那

么這兩個(gè)角相et.或互補(bǔ).

注意：當(dāng)角的兩邊平行且方向相同（或相反）時(shí)，這兩

個(gè)角相et..當(dāng)角的兩邊平行且一邊方向相同另一方向

相反時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ).

例題：

方法1：利用特殊“點(diǎn)”和線段的長(zhǎng)

例1,已知：如圖1—3,C是線段AB的中點(diǎn),D是線段

CB

的中點(diǎn),BD=1.2cm.求：AD的長(zhǎng).

［思路分析］由D