高斯公式應(yīng)用

。1、高斯公式在一般物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)中的高斯公式是場論中的一個(gè)基本公式。它成立了空間某一地區(qū)v上的體積分與其界限曲面S上的面積分之間的關(guān)系，即PQRpdydzQdzdx（1）xyyzs在物理學(xué)中，常用它的矢量形式：divFdvFdsvs式中FPiQjRk在一般物理學(xué)中，應(yīng)用高斯公式能夠簡短了然地證明某些重要的結(jié)論。下邊我們就用它來推證有名的阿基米德浮力定律和靜電場中的高斯定理。（1）高斯公式推證阿基米德浮力定律在一般物理的教科書中，一般對阿基米德浮力定律都不作嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，僅對它作一個(gè)說明。可是我們能夠依據(jù)重力場中靜止流體的壓強(qiáng)散布，應(yīng)用高斯公式給出一個(gè)證明。一物體浮在液面上，液體表面的平面把浮體表面的關(guān)閉曲面S分為兩部分S1和S2，也把整個(gè)浮體分為兩部分。此中浮在液面上的那部分為V1，淹沒在液體中的那部分為V2。成立坐標(biāo)系，取液體表面為xoy平面，Z軸的方向取為豎直向下。作用在曲面S1上的壓強(qiáng)就是大氣壓P0，而作用在曲面S2上的壓強(qiáng)則為PP0gz式中P為液體的密度，z為曲面S2上某點(diǎn)處位于液面下的深度。作用在物體上的浮力就是因?yàn)樽饔迷谖矬w下部的壓強(qiáng)盛于作用在物體上部的壓強(qiáng)而產(chǎn)生的，我們來詳細(xì)計(jì)算一下。因?yàn)樽饔迷谖矬w表面上任一面元上的壓力老是與面元的法向矢量n方向相反，所以有：F浮PdsPdsnssPcosicosjxcoskdssiPdscosjPdscoskPdscossssi(pi)dsj(pj)dsk(pk)dssss式中為n與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角，應(yīng)用在高斯公式，上式可化為體積分：。1。F浮i(pi)dvj(pj)dvk(pk)dvvvvidvjdvkdvvxvyvz(ijk)dvvxyzP0dvvPdvPdvv1v2P0dv(P0gz)dvv1v20gkdvv2v2gk上式即為我們所熟知的阿基米德浮力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它表明：浸在液體里的物體遇到向上的浮力，浮力的大小等于物體所排開的液體的重量。（2）高斯公式推證靜電場中的高斯定理靜電場中的高斯定理：eEds1qis0(S內(nèi))在一般的一般物理教科書中，對高斯定理都不作嚴(yán)格的證明，而是利用電力線的觀點(diǎn)加以說明，也有少量書中是采納引進(jìn)“立體角”的觀點(diǎn)來證明的。其實(shí)，應(yīng)用高斯公式能夠很簡短地證明高斯定理，并且不需要引進(jìn)“立體角”的觀點(diǎn)。我們先議論單個(gè)點(diǎn)電荷的狀況。在閉合曲面S內(nèi)有一點(diǎn)電荷q，它所產(chǎn)生的qr3，則穿出S的電通量為eqrds場強(qiáng)為EEdsr340rs40s注意，此刻我們還不可以利用高斯公式把上式中的面積分化為體積分。因?yàn)楦咚构匠闪⒌臈l件要求E在閉合曲面S所包圍的地區(qū)V內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。但明顯Eqr3在地區(qū)V內(nèi)r=0處（即點(diǎn)電荷q處）不連續(xù)。我們可在閉40r曲面S內(nèi)作一個(gè)以點(diǎn)電荷q為中心，以R為半徑的小球面S'的方向和S同樣都取為外法線方向。那么，在閉合曲面S和S'之間的地區(qū)中，r0，E知足連續(xù)的條件，于是我們可利用高斯公式來計(jì)算經(jīng)過地區(qū)的界限曲面的電通量。e

EdsEdvqr3dv40r。2。由直接計(jì)算可得，r0(r0)，所以e0。r3在面積分Eds，曲面的外法線方向在曲面S處與S的外法線方向相同，而在S'曲面處則與S'的外法線方向相反。于是有EdsEdsEdsss'

0所以EdsEdsss'這說明經(jīng)過包括點(diǎn)電荷的隨意閉合曲面的電通量都與經(jīng)過以該點(diǎn)電荷為中心的任一球面的電通量相等。而經(jīng)過球面的電通量很簡單算出：'eqr3dsq2dsq24R2qs'40r40Rs'40R0所以qe0當(dāng)點(diǎn)電荷q不在閉合曲面S內(nèi)時(shí)，則在S所包括的V地區(qū)內(nèi)，r0，可直接利用高斯公式求出：eEdsEdvqr3dv0sv40vr對于由一組點(diǎn)電荷q1q2qn所構(gòu)成的帶電系統(tǒng)來說，它們在空間所產(chǎn)生的總場強(qiáng)E是各點(diǎn)電荷獨(dú)自存在時(shí)所產(chǎn)生的場強(qiáng)的迭加：EE1E2En那么經(jīng)過隨意閉合曲面的電通量為：EdsE1dsE2dsEndssssse1e2en式中e1、e2en是各個(gè)點(diǎn)電荷的電場經(jīng)過閉合曲面S的電通量。由上述對于單個(gè)點(diǎn)電荷的結(jié)論可知：當(dāng)gi在S內(nèi)時(shí)qiei0當(dāng)gi在S外時(shí)ei0。3。所以e1qiei0(S內(nèi))這樣就證了然高斯定理。2、高斯公式與散度設(shè)空間閉地區(qū)是由分片圓滑的閉曲面所圍成，若函數(shù)P(x，y，z)，Q(x，y，z)與R(x，y，z)在上擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式（散度公式）：(PQQ)dvPdydzQdzdxRdxdy（是的整個(gè)界限曲面的外xyz側(cè)）在平時(shí)生活中，我們常常有到如圖1用榔頭釘釘子，圖2燈泡或太陽向四周輻射光芒，圖3點(diǎn)燃的煙花向四周爆炸等現(xiàn)象。對這些現(xiàn)象進(jìn)行對照察看，發(fā)現(xiàn)都具向四周散射的成效。我們不如對釘子受力會被釘進(jìn)桌面的現(xiàn)象進(jìn)行受力剖析，如圖4，釘子遇到榔頭的力A=(P，Q，R)作用，P，Q，R分別是力A在x，y，z三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分力，力A的作用成效（變化率）等效于分力P，Q，R在座標(biāo)軸方向上的作用成效（變化率），進(jìn)而我們可用胸懷A的（散射）作用成效，并稱之為散度。所以，我們能夠把高斯公式理解成：向量場（包括力場）A=(P，Q，R)經(jīng)過閉曲面流向外側(cè)的通量（流量或輻射量