數(shù)字圖像降噪技術(shù)的研究

PAGEPAGEIIXX大學畢業(yè)設(shè)計(論文)數(shù)字圖像降噪技術(shù)的研究：XX指導教師：XX職稱：XX完成日期：XX年X月XX日摘要在圖像處理過程中，圖像的采集、轉(zhuǎn)換和傳輸常常受到成像設(shè)備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響，從而使圖像降質(zhì)。圖像噪聲對數(shù)字圖像的后續(xù)處理影響較大，因此對圖像噪聲的去除有很重要的現(xiàn)實意義。圖像降噪是圖像預(yù)處理中一項廣泛的技術(shù),其目的是為了提高圖像的信噪比,突出圖像的期望特征。數(shù)字圖像噪聲去除涉及光學系統(tǒng)、微電子技術(shù)、計算機科學、數(shù)學分析等領(lǐng)域，是一門綜合性很強的邊緣科學，如今其理論體系已十分完善，且其實踐應(yīng)用很廣泛，在醫(yī)學、軍事、藝術(shù)、農(nóng)業(yè)等都有廣泛且成熟的應(yīng)用。MATLAB是一種高效的工程計算語言，在數(shù)值計算、數(shù)據(jù)處理、圖像處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等方面都有廣泛的應(yīng)用。MATLAB是一種向量語言，它非常適合于進行圖像處理。本文概述了基于小波變換的圖像降噪的方法。由于傳統(tǒng)的中值濾波等降噪方法無法刻劃信號的非平穩(wěn)性和相關(guān)性，而這正是圖像所必需的，小波變換具有良好的時頻局部特性，所以小波變換這一數(shù)學工具在圖像降噪方面得到了廣泛的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：小波變換;圖像去噪;MATLABAbstractInthecourseofimageprocessing，thecollection，transformationandtransmissionofimagesarefrequentlyaffectedbyimagingequipmentsandnoisesinexteriorenvironment，therefore，imagequalitydeclines．Becausenoiseshavebiginfectiontothecontinuousprocessingofimages，ithasveryimportantpracticalmeaningtonoisesreduction．Imagenoisereductionisawidelyimagepreprocessingoftechnology.It’spurposeistoenhancetheSNRbetweenoriginalimageandde-noisedimage,improvethecharacteristicsofimage.Thedigitalimagede-noiseinvolvesdomainsandsoonopticalsystem,microelectronictechnology,computerscience，mathematicalanalysis,it’saverycomprehensiveinterdisciplinaryscience,nowitspracticeapplicationisverywidespread:Inthemedicine,themilitary,art,theagricultureandallhaveveryextensiveandripeusingsoon.MATLABisonekindofhighlyeffectiveengineeringcalculationlanguage，inaspectsandsoonvaluecomputation,dataprocessing,imageryprocessing,neuralnetwork,waveletanalysisallhasthewidespreadapplication.Thisarticlehasoutlinedbasedonwavelettransformationnoisereductionmethodofimage,thetraditionalmedianfilterandnoisereductionmethodcannotcharacterizethesignalofnon-stationaryandcorrelation,andthisisnecessarytotheimage.Becauseofthewavelettransformhasgoodtime-frequencylocalcharacteristics,byusingwavelettransformthemathematicaltoolsinimagenoisereductioninawiderangeofapplications.Keywords：Wavelettransformation;Imagenoise;Waveletthreshold;MATLAB目錄1引言 11.1數(shù)字圖像處理簡介 11.2圖像降噪的背景和意義 21.3噪聲圖像模型及噪聲特性 31.3.1含噪模型 31.3.2噪聲特性 41.4數(shù)字圖像評價的原理 42圖像去噪的方法 62.1傳統(tǒng)的去噪方法 62.2圖像去噪方法概述 62.3小波去噪方法 73小波變換基本理論 83.1小波變換發(fā)展歷程 83.2小波變換的特點 83.3從傅立葉變換到小波變換 93.4連續(xù)小波變換 103.5離散小波變換 114小波閾值去噪及MATLAB仿真 144.1小波閾值去噪的簡介 144.2小波閾值去噪方法 144.3基于MATLAB的小波去噪函數(shù)簡介 154.4編程實現(xiàn)圖像去噪 175結(jié)論 20謝辭 21參考文獻 22 PAGE1數(shù)字圖像降噪技術(shù)的研究1引言1.1數(shù)字圖像處理簡介據(jù)研究，在人類所接收到的全部信息中，通過視覺得到的信息占70%以上[1]，與語言信息或文學信息相比，圖像包含的信息量更大、更直觀、更確切，因而具有更高的使用效率和更廣泛的適應(yīng)性。當圖像以數(shù)字形式進行處理和傳輸時，由于具有質(zhì)量好、成本低、小型化和易于實現(xiàn)等優(yōu)點，這種存儲和傳輸格式已經(jīng)成為圖像領(lǐng)域當前和未來的主要發(fā)展趨勢。在研究圖像時，首先要對獲得的圖像信息進行預(yù)處理以濾去干擾、噪聲，作幾何、彩色校正等，這樣可提高信噪比。有的圖像由于有用信息微弱無法辨識，還需要進行圖像增強處理。圖像增強的作用，在于提供一個滿足一定要求的圖像，或?qū)D像進行變換，以便人、機分析。并且為了從圖像中找到需要識別的目標，還必須對圖像進行分割，也就是進行定位和分離。圖像復(fù)原處理是把已經(jīng)退化了的圖像加以重建或恢復(fù)的過程，達到提高圖像的保真度的目的。在實際圖像處理中，由于圖像信息量非常大，在存儲和傳送時還要對圖像信息進行壓縮。這些都屬于圖像處理范疇，而圖像處理中很重要的一個部分就是對獲得的圖像信息進行預(yù)處理以濾去干擾、噪聲。數(shù)字圖像處理，就是把數(shù)字圖像經(jīng)過一些特定數(shù)理模式的加工處理，以達到符合人眼視覺或某種接收系統(tǒng)所需要的圖像質(zhì)量標準的過程。一般而言，人們希望獲得的是真實準確的圖像，而在圖像的獲取、傳輸和存儲的過程中總不可避免受到各種噪聲的干擾，使觀測到的往往都是受到了不可預(yù)知的噪聲污染的圖像，這些噪聲污染的存在使得所獲得的圖像模糊不清，某些應(yīng)該注意的細節(jié)被忽略，使得應(yīng)該可識別的目標變得無法識別，嚴重影響了圖像的應(yīng)用效果，為了從圖像中獲取更準確的信息，圖像降噪預(yù)處理方法的好壞成為后續(xù)處理的關(guān)鍵。圖像降噪指的是利用濾波等各種手段，通過多點平滑等方法從已獲得的含有噪聲的圖像中取出噪聲成分，以便提高圖像的信噪比。圖像降噪包含兩方面內(nèi)容：消除噪聲和增強圖像特征。但有兩個目標在一定程度上是一對矛盾的要求。因為去除噪聲意味著除去圖像的高頻部分，而圖像的邊界也屬于圖像的高頻部分，所以去除噪聲的同時往往會使圖像的邊界變得模糊。如何解決好這一對矛盾是評價圖像降噪好壞的一個重要標準。1.2圖像降噪的背景和意義圖像去噪是圖像處理領(lǐng)域中一項基本，而又十分關(guān)鍵的技術(shù)，一直是圖像處理領(lǐng)域的一個難題。在圖像的獲取、傳輸和存貯的過程中總是不可避免地受到各種噪聲源的干擾。圖像去噪是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域一個古老的研究課題，是目標提取和模式識別的前期工作。人們根據(jù)實際圖像的特點、噪聲的統(tǒng)計特征和頻譜的分布規(guī)律，提出了各種去噪方法，一種好的去噪方法在平滑圖像的同時不應(yīng)模糊圖像邊緣。數(shù)字圖像處理技術(shù)是隨著計算機技術(shù)發(fā)展而開拓出來的一個新的應(yīng)用領(lǐng)域，匯聚了光學、電子學、數(shù)學、攝影技術(shù)、計算機技術(shù)等學科的眾多方面。它把圖像轉(zhuǎn)換成一個數(shù)據(jù)矩陣，在計算機上對其進行處理.計算機圖像處理和計算機圖形學的結(jié)合已經(jīng)成為計算機輔助設(shè)計的主要基礎(chǔ)?？梢灶A(yù)計，隨著計算機規(guī)模和速度的大幅度提高，數(shù)字圖像處理技術(shù)的發(fā)展前途和應(yīng)用領(lǐng)域?qū)⒏訌V闊。人們可以通過多種不同方法獲取圖像，對這些圖像進行數(shù)字化處理，可以使圖像的視覺效果得到增強或者得到特殊的效果，以滿足人們不同的需要。從遙感、遙測、醫(yī)學等許多重要的民用和軍事成像領(lǐng)域，很多因素會導致圖像質(zhì)量的退化，比如圖像的混疊、降晰和扭曲等噪聲更是無處不在，圖像在采集、傳輸和轉(zhuǎn)換中常常受到成像設(shè)備和外部環(huán)境的干擾，在原圖像中夾雜了噪聲的干擾，使得圖像降質(zhì)，影響了圖像的視覺效果，而且對圖像進行進一步的處理也帶來了不利。傳統(tǒng)的線性去噪方法，雖然可以達到去除噪聲提高圖像質(zhì)量的目的，但是它已不能適合更高圖像質(zhì)量的要求，比如說在某些后續(xù)處理當中，要求原圖像要有很好的邊緣信息，但是經(jīng)線性濾波去噪后，在去除噪聲的同時也平滑模糊了圖像的邊緣特征。變分法的引入給計算機視覺和圖像圖形處理領(lǐng)域的研究提供了一個有力的工具。全變分圖像去噪模型的解屬于有界變差函數(shù)類，允許有不連續(xù)的點，在去噪的同時能有效的保持圖像的邊緣特征，因此在圖像去噪領(lǐng)域得到了更加廣泛的應(yīng)用和研究。圖像降噪方法有兩種，分別是時域和頻域的方法，但是歸根到底是利用噪聲和信號在頻域上的不同特性而進行的。如何在降低圖像噪聲和保留圖像細節(jié)上保持平衡是個兩難的問題，也就是在提高信噪比和提高空間分辨力兩項指標之間存在矛盾關(guān)系。雖然低通濾波能通過平滑抑制噪聲，但同時也會影響到圖像。另一方面，高通濾波可以使邊緣更加陡峭，但同時也會增加背景噪聲。在小波變換這種強有力的信號分析工具出現(xiàn)后，可以從更多的細節(jié)上區(qū)分信號和噪聲。比如說在圖像中邊緣對視覺起主要作用，便可以用圖像邊緣的信息來區(qū)分噪聲和信號。采用小波變換消除噪聲的方法是近年來研究比較熱的一種相對有效的降噪技術(shù)，不同的研究者分別提出各種不同的方法。Donoho和Johnstone等提出了稱為“小波閾值”的圖像降噪方法[2,3,4],后來人們對消除澡聲的閾值進行了優(yōu)化，Donoho等人將小波系數(shù)分為：主要系數(shù)和次要系數(shù)，主要系數(shù)數(shù)值較大，包括了小波分量的幾乎所有能量，決定了圖像的邊緣等細節(jié)；次要系數(shù)數(shù)值較小，大小分布在零值附近，對圖像影響不大，可看作噪聲系數(shù)，給予去除。主要系數(shù)和次要系數(shù)是通過閾值判別實現(xiàn)的，該方法使用時去除所有絕對值小于閾值的小波系數(shù)，保留所有絕對值大于閾值的小波系數(shù)，在較大程度上消除了圖像噪聲。但是，被去除的次要小波系數(shù)并非全是屬于噪聲，被保留下來的主要小波系數(shù)中還會含有相當數(shù)量的系數(shù)是屬于噪聲的。另一方面，噪聲的消除程度主要取決于閾值和閾值函數(shù)的選取。小波系數(shù)模型法[5,6,7]主要是基于圖像有用信號在各層相應(yīng)位置上的小波系數(shù)之間具有很強的相關(guān)性，而噪聲的小波系數(shù)則具有弱相關(guān)性或不相關(guān)的特點。在不同尺度空間下，圖像特征對應(yīng)著許多數(shù)值較大的小波系數(shù)，并且小波系數(shù)之間具有相關(guān)性，稱其為尺度間相關(guān)，這種相關(guān)性是小波變換分解過程中內(nèi)在固有的，反映了多尺度性。在相同的尺度空間下，重要的小波系數(shù)“聚集”在某一區(qū)域，就像圖像的邊沿常常是關(guān)鍵的小波系數(shù)出現(xiàn)的區(qū)域，這種相關(guān)性稱為尺度內(nèi)的相關(guān)。Xu等人正是利用相鄰尺度小波系數(shù)的相關(guān)程度，提出了一種SSNF方法來進行降噪，該方法是通過將相鄰尺度內(nèi)同一位置系數(shù)的相關(guān)量來構(gòu)成相關(guān)量圖像，在作適當?shù)幕叶壬炜s后，再和原來的小波圖像進行對比。其中較大的相關(guān)量被視為對應(yīng)于邊緣細節(jié)等的圖像特征，因而被抽取出來，并作為原信號小波變換的估計，然后經(jīng)反變換就得到降噪后的圖像。1998年，Crouse、Nowak和Baraniuk等人基于小波系數(shù)間的相關(guān)依存關(guān)系提出了隱馬爾可夫模型（HMM），HMM描述了不同分量系數(shù)和隱含狀態(tài)變量間的依存相關(guān)性，這種相關(guān)性是通過系數(shù)狀態(tài)變量之間的轉(zhuǎn)換概率來反映的。1999年Romberg和Choi等人把該模型用于消除圖像噪聲[5]，利用小波系數(shù)間的相關(guān)依存關(guān)系，對小波系數(shù)進行重新估計，使其逼近原始圖像的小波系數(shù)，從而抑制噪聲。1.3噪聲圖像模型及噪聲特性1.3.1含噪模型現(xiàn)實中的數(shù)字圖像在數(shù)字化和傳輸過程中，常受到成像設(shè)備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響，成為含噪圖像。去除或減輕在獲取數(shù)字圖像中的噪聲稱為圖像去噪[8,9],在圖像去噪之前我們先要建立一個含噪圖像的模型，為了簡便，我們研究如下的加性噪聲模型，即含噪圖像僅由原始圖像疊加上一個隨機噪聲形成:（1-1）在上式中表示圖像，為噪聲，含噪圖像記為。1.3.2噪聲特性在對這個含噪模型進行研究之前，我們有必要了解一下噪聲的一些特性。通常影響圖像質(zhì)量的噪聲源可分為三類，人們對其生成原因及相應(yīng)的模型作了大量研究[10]:1、電子噪聲。在阻性器件中由于電子隨機熱運動而造成的電子噪聲是三種模型中最簡單的一種，一般用零均值高斯白噪聲作為其模型，可用其標準差來完全表征。2、光電子噪聲。由光的統(tǒng)計本質(zhì)和圖像傳感器中光電轉(zhuǎn)換過程引起，在弱光照的情況下常用具有泊松分布的隨機變量作為光電噪聲的模型；在光照較強時，泊松分布趨向于更易描述的高斯分布。3、感光片顆粒噪聲。由于曝光過程中感光顆粒只有部分被曝光，而其余部分則未曝光，底片的密度變化就由曝光后的顆粒密集程度變化所決定，而算曝光顆粒的分布呈現(xiàn)一種隨機性。在大多數(shù)情況下，顆粒噪聲可用高斯白噪聲作為有效模型。通過以上分析可以看出，絕大多數(shù)的常見圖像噪聲都可用均值為零，方差不同的高斯白噪聲作為其模型，因而為了簡便和一般化，我們采用零均值的高斯白噪聲作為噪聲源。1.4數(shù)字圖像評價的原理數(shù)字圖像的評價方法包括三種客觀評價方法：均方誤差（MSE）、峰值信噪比(PSNR)、信息熵，以及主觀評價方法。用這些方法分別進行數(shù)字圖像評價，分析各種方法優(yōu)劣性，并基于人類視覺特性予以改進。以上三種方法是傳統(tǒng)的數(shù)字圖像評價的客觀評價標準，因為操作簡單，在計算機處理中得到廣泛的應(yīng)用。但是，通過定義客觀標準對數(shù)字圖像進行公式化的評價，并不絕對有效，因為這些標準沒有充分考慮人類視覺特性，即：幅度非線性特性，視覺敏感度帶通和多通道，掩蓋效應(yīng)。對于這三種特性，科學研究已經(jīng)有明確的解釋：視覺系統(tǒng)分辨細節(jié)的能力用分辨相鄰兩點的視角的倒數(shù)表示，其值與該兩點在視網(wǎng)膜上的成像位置有關(guān)，以黃斑區(qū)為中心向四周作非線性下降，它與亮度的關(guān)系取決于相對亮度的變化，而不是取決于整幅圖像的基底亮度。視覺敏感度帶通和多通道是指人眼視覺系統(tǒng)的響應(yīng)，主要依賴于背景亮度的局部變化，而不是絕對亮度值。認為HVS的對比度敏感性是空間頻率的函數(shù)，且具有帶通濾波器性質(zhì)，其對高低頻端敏感度下降。視覺皮層的細胞對不同的視覺信息或激勵，如顏色、頻率和方向等有不同的敏感性，而對目標識別、掩蓋與自適應(yīng)的研究認為所有這些特征激勵在人的視覺系統(tǒng)中，是在不同的通道中進行處理的，這是早期的多通道理論。而后進一步的理論得出，視覺機制的多通道之間并不是彼此孤立的，而是存在著相互的作用、判決與相互影響，以產(chǎn)生最佳視覺。對于靜止灰度圖像來說，圖像的多通道特性可以由它的空間頻率和方向性來表征，只要用足夠多的適當?shù)恼{(diào)諧部件，圖像在視覺皮層的整個方向帶和頻率帶都可以被完全覆蓋，即可以完全模擬視覺系統(tǒng)的通道，但多通道之間的相互作用機制尚不明確。一個激勵單獨存在時，是很容易辨識的。掩蓋效應(yīng)是指由于另一個激勵的存在導致它完全不能或者不容易被檢測到，即被掩蓋了。在描述多通道中激勵之間的相互作用時，掩蓋效應(yīng)是必須考慮的一種非常重要的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的圖象質(zhì)量評價方法沒有考慮視覺的心理特性。只是從低級的亮度(灰度)感知差異進行評價，造成了與主觀質(zhì)量評價不一致的情況。有研究成果表明人眼對圖像邊緣、輪廓信息的失真很敏感。人眼對圖像紋理細節(jié)的敏感度與它所處的背景亮度有關(guān)，對高、低亮度背景中的紋理細節(jié)人眼敏感度較低，而對中高亮度背景中的紋理細節(jié)敏感度較高。人眼對不同方向的圖像細節(jié)信息具有不同的敏感度，對水平方向上和垂直方向上的細節(jié)敏感度大于其他方向的敏感度。人眼對低頻端的敏感度高于高頻端。

2圖像去噪方法2.1傳統(tǒng)的去噪方法傳統(tǒng)的圖像去噪方法有空間域濾波和頻率域濾波兩類方法。空間域濾波是把圖像信號和濾波函數(shù)進行卷積來完成的，這個過程很多情況下可利用模板進行處理，不同的濾波函數(shù)得到不同的模板，比如均值濾波、中值濾波等；頻率域濾波是在頻率域內(nèi)用圖像的頻域信號與傳遞函數(shù)相乘來完成的，這個過程是通過傅里葉變換來處理的。傳統(tǒng)方法的缺點要么不能很好地去噪，要么去除噪聲的同時丟失大量細節(jié)。2.2圖像去噪方法概述圖像去噪的目的就是為了減少圖像噪聲，圖像噪聲來自于多方面。圖像噪聲來自于系統(tǒng)外部的干擾，如電磁波和經(jīng)電源竄入系統(tǒng)內(nèi)部而引起的外部噪聲。也有來自于系統(tǒng)內(nèi)部的干擾，如攝像機的熱噪聲，電器機械運動而產(chǎn)生的抖動噪聲等內(nèi)部噪聲。減少噪聲的方法可以在圖像空間域或在圖像變換域完成。圖像空間域去噪方法很多。鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法，圖像經(jīng)過鄰域平均法處理后會變得相對模糊，這是因為平均本來就是以圖像的模糊為代價來換取噪聲的減少。空間域低通濾波方法也可以平滑圖像的噪聲，它實際上是通過一個低通卷積模板在圖像空間域進行二維卷積來達到去除圖像噪聲的目的。多幅圖像平均法是利用對同一景物的多幅圖像取平均來消除噪聲的。中值濾波是一種空間域非線性濾波方法，由于它在實際運算過程中并不需要圖像的統(tǒng)計特性，所以比較方便。在一定的條件下，它可以克服線性濾波器所帶來的圖像細節(jié)模糊，而且對濾除脈沖干擾及圖像噪聲最為有效。圖像變換域去噪方法是對圖像進行某種變換，將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到變換域，再對變換域中的變換系數(shù)進行處理，再進行反變換，將圖像從變換域轉(zhuǎn)換到空間域來達到去除圖像噪聲的目的。將圖像從空間轉(zhuǎn)換到變換域的變換方法很多。如傅立葉變換、小波變換等。每種變換它的變換域得到的系數(shù)都有不同的特點，合理地處理變換系數(shù)再通過反變換，將圖像還原到空間域可以有效地達到去除噪聲的目的。2.3小波去噪方法近年來，小波理論得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學、應(yīng)用科學、社會科學等領(lǐng)域。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進行圖像去噪受到許多專家學者的重視，并取得了非常好的效果。到目前為止，小波去噪的方法大概可以分為三大類：第一類方法是基于小波變換模極大值原理的[11,12,13]，最初由Mallat提出，即根據(jù)信號和噪聲在小波變換各尺度上的不同傳播特性，剔除由噪聲產(chǎn)生的模極大值點，保留信號所對應(yīng)的模極大值點，然后利用所余模極大值點重構(gòu)小波系數(shù)，進而恢復(fù)信號；第二類方法是對含噪信號作小波變換之后，計算相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性，根據(jù)相關(guān)性的大小區(qū)別小波系數(shù)的類型，從而進行取舍，然后直接重構(gòu)信號；第三類方法是Donoho提出的閾值方法，該方法認為信號對應(yīng)的小波系數(shù)包含有信號的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)是一致分布的，個數(shù)較多，但幅值小?；谶@一思想，Donoho等人提出軟閾值和硬閾值去噪方法，即在眾多小波系數(shù)中，把絕對值較小的系數(shù)置為零，而讓絕對值較大的系數(shù)保留或收縮，分別對應(yīng)于硬閾值和軟閾值方法，得到估計小波系數(shù)，然后利用估計小波系數(shù)直接進行信號重構(gòu)，達到去噪的目的。

3小波變換基本理論3.1小波變換發(fā)展歷程小波變換(WaveletTransform)的概念是1984年法國地球物理學家J．Morlet在分析處理地球物理勘探資料時提出來的。小波變換的數(shù)學基礎(chǔ)是19世紀的傅立葉變換，其后理論物理學家A．Grossman采用平移和伸縮不變性建立了小波變換的理論體系。1985年，法國數(shù)學家Y．Meyer第一個構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑小波。1988年，比利時數(shù)學家I．Daubechies證明了緊支撐正交標準小波基的存在性，使得離散小波分析成為可能。1989年S．Mallat提出了多分辨率分析概念，統(tǒng)一了在此之前的各種構(gòu)造小波的方法，特別是提出了二進小波的快速算法，使得小波變換完全走向?qū)嵱眯浴?.2小波變換的特點小波變換是通過縮放母小波的寬度來獲得信號的頻率特征，通過平移母小波來獲得信號的時間信息。母小波的縮放和平移操作時為了計算小波系數(shù)，這小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關(guān)程度。變換劇烈的信號，用不規(guī)則的小波進行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信號的局部特征。連續(xù)小波變換（CWT）用下式表示：(3-1)這說明小波變換是信號與被縮放和平移的小波函數(shù)之積在信號存在的整個期間里求和的結(jié)果。CWT的變換結(jié)果是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子（scale）和平移參數(shù)（position）的函數(shù)。在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)，其計算量相當大，將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多無用的數(shù)據(jù)。在實際的應(yīng)用中，只選擇部分的縮放因子和平移參數(shù)來進行計算，從而能夠大大減少分析的數(shù)據(jù)量。這就是離散小波變換，執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器。該方法是Mallat在1988年提出的，稱之為Mallat算法。這種方法實際是一種信號的分解，在處理數(shù)字信號中稱之為雙通道子帶編碼。3.3從傅立葉變換到小波變換傅立葉變換是一個強有力的數(shù)學工具，它具有重要的物理意義，即信號的傅立葉變換表示信號的頻譜。正是傅立葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅立葉變換在信號分析和信號處理中的獨特地位。傅立葉變換在兩個方向上都無限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)，把周期函數(shù)展成傅立葉級數(shù)，把非周期函數(shù)展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對函數(shù)作頻譜分析，反映了整個信號的時間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號的特征。從數(shù)學角度來看，傅立葉變換是通過一個基函數(shù)的整數(shù)膨脹而生成任意一個周期平方可積函數(shù)。通過傅立葉變換，在時域中連續(xù)變化的信號可轉(zhuǎn)化為頻域中的信號，因此傅立葉變換反映的是整個信號在全部時間下的整體頻域特征，但不能反映信號的局部特征。傅立葉變換有如下不足：（1）當我們將一個信號變換到頻域的時候，其時間上的信息就失去了。當觀察一個信號的傅立葉變換，我們不可能知道特定的事件何時發(fā)生；（2）為了從模擬信號中提取頻譜信息，需要取無限的時間量，使用過去的和將來的信號信息只是為了計算單個頻率的頻譜；（3）因為一個信號的頻率與它的周期長度成反比，對于高頻譜的信息，時間間隔要相對較小以給出比較好的精度。而對于低頻譜的信息，時間間隔要相對較寬以給出完全的信息，亦即需要一個靈活可變的時間—頻率窗，使在高“中心頻率”時自動變窄，而在低“中心頻率”時自動變寬，傅立葉變換無法達到這種要求，它只能作全局分析，而且只對平穩(wěn)信號的分析有用。但是，在實際應(yīng)用中，常常有些非平穩(wěn)信號，如音樂、語音信號等它們的頻域特性都隨著時間的變化而改變，這時傅立葉變換明顯表現(xiàn)出了其中的不足。為此，D.Gabor于1946年提出了著名的Gabor變換，之后又進一步發(fā)展為短時傅立葉變換(ShortTimeFourierTrans-form)，簡記為STFT，又稱窗口傅立葉變換。窗口傅立葉變換(STFT)克服了傅立葉變換不能同時進行時間頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號的分析中起到了很好的作用。其主要特點是：用一窗口函數(shù)對信號作乘積運算，實現(xiàn)在τ附近平穩(wěn)和開窗，然后再進行傅立葉變換。其變換如下：(3-2)由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無關(guān)而保持不變，在實際應(yīng)用中也存在其局限性。主要有兩方面：一是因為高頻信號一般持續(xù)時間短，而低頻信號持續(xù)時間長，因此需對高頻信號采用小時窗，對低頻信號采用大時窗。二是在進行數(shù)值計算時，為了便于計算，需對基函數(shù)進行離散化，但Gabor基無論怎樣離散都不能組成一組正交基，因此會給計算帶來不便。為了克服這些缺陷，使窗口具有自適應(yīng)特性和平穩(wěn)功能，1984年，法國地球物理學家J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)時提出將地震波通過一個確定函數(shù)的伸縮和平移來展開。之后，他與A.Grossman共同研究，發(fā)展了連續(xù)小波變換的幾何體系，將任意一個信號可分解成對空間和尺度的貢獻。1985年，YMeyer,A.G.rossman與Daubechies共同尋找了連續(xù)小波空間的一個離散子集，得到了一組離散的小波基(稱為小波框架)。1986年，由Y.Meyer發(fā)現(xiàn)了構(gòu)成希爾伯特空間的規(guī)范正交基，從而證明了小波正交系的存在。1987年，Mallat將計算機視覺領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了相應(yīng)的分解和重構(gòu)快速算法—Mallat算法，從而統(tǒng)一了以前所有具體正交小波基的構(gòu)造。小波變換是一種新的變換分析方法，它的主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，因此，小波變換在許多領(lǐng)域都得到了成功地應(yīng)用，特別是小波變換的離散數(shù)字算法已被廣泛用于許多問題的變換研究中。從此，小波變換越來越受到人們的重視，其應(yīng)用領(lǐng)域來越來越廣泛，如：信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別等，并取得了可喜成果。3.4連續(xù)小波變換小波(wavelet)，即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限、平均值為零的波形[14]。小波函數(shù)的確切定義為：設(shè)(t)為一平方可積函數(shù)，即，若其傅立葉變換滿足條件：(3-3)則稱為一個基本小波或小波母函數(shù)[15]，稱式(3-3)為小波函數(shù)的可容許條件。由小波的定義可知其有兩個特點：一是“小”，即在時域都具有緊支集或近似緊支集。二是正負交替的“波動性”，也即直流分量為零。將小波母函數(shù)進行伸縮和平移，就可以得到函數(shù)：(3-4)式中a為伸縮因子，b為平移因子，稱依賴于參數(shù)a、b的小波基函數(shù)。由于尺度因子a和平移因子b是連續(xù)變化的值，因此稱為連續(xù)小波函數(shù)基。它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)序列。將任意空間中的函數(shù)在小波基下展開，稱這種展開為函數(shù)的連續(xù)小波變換(ContinueWaveletTransform，簡稱為CWT)[16]，其表達式為(3-5)由以上定義可以看出，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，為小波變換系數(shù)。但它不同于傅里葉變換的地方是，小波基具有尺度a和平移b兩個參數(shù)，所以函數(shù)一經(jīng)小波變換，就意味著將一個時間函數(shù)投影到二維的時間——尺度相平面上，這樣有利于提取信號函數(shù)的某些本質(zhì)特征?？梢宰C明，若采用的小波滿足容許條件，則連續(xù)小波變換存在著逆變換，逆變換公式為：(3-6)式中，為對提出的容許條件。3.5離散小波變換在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間t的。這一點與我們以前的習慣不同。在公式(3-4)中，a,b∈R;a≠0是容許的。為方便起見，在離散化中，a只取正值。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化公式分別取作，這里，擴展步長是固定值，為方便起見，總是假定。所以對應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫作：(3-7)而離散化小波變換系數(shù)則可表示為：(3-8)其重構(gòu)公式為：(3-9)C是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。如何選擇和，才能保證重構(gòu)信號的精度呢?顯然，網(wǎng)絡(luò)點應(yīng)盡可能密(即和盡可能的小)，因為如果網(wǎng)絡(luò)點越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越小，信號重構(gòu)的精確度也就會越低。由于圖像是二維信號，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令表示一個二維信號，分別是其橫坐標和縱坐標，表示二維的基本小波，對應(yīng)的尺度函數(shù)為。若尺度函數(shù)可分離，即：。令是與對應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二維的二進小波可表示為以下三個可分離的正交小波基函數(shù)：（3-10）（3-11）（3-12）這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進行。先沿方向分別用和做分析，把分解成平滑和細節(jié)兩部分，然后對這兩部分再沿方向用和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級平滑逼近，其它三路輸出，，都是細節(jié)函數(shù)。如果把和的對應(yīng)頻譜，設(shè)想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波器，則反映的是,兩個方向的低頻分量，反映的是水平方向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方向的低頻分量，反映的是兩個方向的高頻分量。對圖像進行小波變換就是用低通濾波器和高通濾波器對圖像的行列進行濾波（卷積），然后進行二取一的下抽樣。這樣進行一次小波變換的結(jié)果便將圖像分解為一個低頻子帶（水平方向和垂直方向均經(jīng)過低通濾波）和三個高頻子帶，即用表示水平高通、垂直低通子帶，用表示水平低通、垂直高通子帶，用表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率為原來的1/2，頻率范圍各不相同。第二次小波變換時只對子帶進行，進一步將子帶分解為，，和，分辨率為原來的1/4,頻率范圍進一步減半，以此類推。所以，進行一次小波變換得到4個子帶，進行M次分解就得到3M+1個子帶，如圖3-1。圖3-1圖像的三級小波分解圖

4小波閾值去噪及MATLAB仿真4.1小波閾值去噪的簡介1992年，斯坦福大學的DonohoDL和Johnstone教授提出一種具有良好的統(tǒng)計優(yōu)化特性的去噪方法，稱作“WaveletShrinkage”（即閾值收縮法）。該方法的主要思想是：基于圖像和噪聲在經(jīng)小波變換后具有不同的統(tǒng)計特性：圖像本身的能量對應(yīng)著幅值較大的小波系數(shù),主要集中在低頻（）；噪聲能量則對應(yīng)著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。根據(jù)該特征，設(shè)置一個閾值門限，認為大于該閾值的小波系數(shù)的主要成份為有用的信號，給予收縮后保留；小于該閾值的小波系數(shù)，主要成份為噪聲，予以剔除，這樣就可以達到去噪的目的。去噪時，通常認為低通系數(shù)含有大量的圖像能量，一般不作處理，只對剩余三個高通部分進行處理。因此，一次閾值去噪并不能完全去除噪聲，還需要對未作處理的低頻部分（）再次進行小波分解和閾值去噪，直到實際圖像與估計圖像的偏差達到最小值。但是，隨著分解和去噪次數(shù)的增加，小波系數(shù)中的噪聲能量越來越少，并且趨于分散，去噪的效果將逐漸降低。一般來說，進行3-4層小波分解和去噪就可以達到滿意的去噪效果。4.2小波閾值去噪方法1992年，Donoho和Johostone提出了小波閾值收縮去噪法(WaveletThresholding或WaveletShrinkage)，該方法在最小均方誤差意義下可達近似最優(yōu)，并且取得了較好的視覺效果，因而得到了深入廣泛的研究和應(yīng)用，他們采用的是正交離散小波變換(DWT)，因此把它稱為DWT小波閾值去噪方法。小波閾值收縮法的主要理論依據(jù)，小波變換特別是正交小波變換具有很強的數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號的能量在小波域集中在一些大的小波系數(shù)中；而噪聲的能量卻分布于整個小波域內(nèi)，因此，經(jīng)小波分解后，信號的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的系數(shù)幅值，可以認為，幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲。于是，采用閾值的辦法可以把信號系數(shù)保留，而使大部分噪聲系數(shù)減少至零。小波閾值收縮法去噪的具體處理過程為：將含噪信號在各尺度上進行小波分解，保留大尺度低分辨率下的全部小波系數(shù)；對于各尺度高分辨率下的小波系數(shù)，可以設(shè)定一個閾值，幅值低于該閾值的小波系數(shù)置為零，高于該閾值的小波系數(shù)或者完整保留，或者做相應(yīng)的收縮處理。最后將處理后獲得的小波系數(shù)利用逆小波變換進行重構(gòu)，恢復(fù)出有效的信號。小波閾值收縮法去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對超過和低于閾值的小波系數(shù)模的不同處理策略以及不同估計方法。設(shè)為原始小波系數(shù)，為估計小波系數(shù)，T是閾值。常用的閾值函數(shù)有硬閾值(Hard—thresho1ding)函數(shù)和軟閾值(Soft—thresholding)函數(shù)。硬閾值函數(shù)為：(4-1)軟閾值函數(shù)為：(4-2)其中sgn()為符號函數(shù)。除了閾值函數(shù)的選取，小波閾值收縮法另一個關(guān)鍵因素是對閾值的具體估計。如果閾值過小，去噪后的圖像仍然有噪聲存在；相反地，如果閾值過大，重要的圖像特征將被濾掉，引起偏差。從直觀上看，對給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。目前主要使用的閾值可以分為全局閾值和局部閾值兩類。其中，全局閾值采用統(tǒng)一的閾值對各層所有的小波系數(shù)進行處理；而局部適應(yīng)閾值根據(jù)當前系數(shù)周圍的局部信息來確定。全局閾值主要有：1、統(tǒng)一閾值：。2、零均值正態(tài)分布的置信區(qū)間閾值：。3、BayeShrink閾值。4、MapShrink閾值。5、最小最大準則閾值和理想閾值等等。[17]4.3基于MATLAB的小波去噪函數(shù)簡介常用的圖像降噪方式是小波閾值降噪方法。這是一種實現(xiàn)簡單而效果較好的降噪方法。閾值降噪方法的思想很簡單，就是對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計方法。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真等現(xiàn)象。而軟閾值處理相對較光滑，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。小波閾值降噪方法處理閾值選取的另一個關(guān)鍵因素是閾值的具體估計。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲；相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。MATLAB中實現(xiàn)圖像的降噪，主要是閾值獲取和圖像降噪實現(xiàn)兩個方面。1、閾值獲取MATLAB中實現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有ddencmp、select、wbmpen和wdcbm2。這里主要介紹函數(shù)ddencmp。函數(shù)ddencmp的功能是獲取降噪或壓縮的默認值。該函數(shù)是降噪和壓縮的導向函數(shù)，它給出一維或二維信號使用小波或小波包進行降噪和壓縮一般過程的所有默認值。其語法格式為：[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（IN1，IN2，X）[THR,SORH,KEEPAPP]=ddencmp（IN1，‘wv’，X）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（IN1，‘wp’，X）2、閾值降噪MATLAB中實現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有wden、wdencmp、wpdencmp、wthresh、wpthcoef和wthcoef2。這里主要介紹函數(shù)wdencmp。其語法格式為：[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp('gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP)[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp('lvd',X,'wname',N,THR,SORH)[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp('lvd',C,L,'wname',N,THR,SORH)函數(shù)wdencmp的功能是使用小波進行降噪。該函數(shù)是二維小波降噪的導向函數(shù)。它使用小波對信號或圖像執(zhí)行降噪過程。wname是所用的小波函數(shù)。gbl（global）表示每層都采用同一個閾值進行處理。lvd表示每層用不同的閾值進行處理。N表示小波分解的層數(shù)。THR為閾值向量，長度為N。SORH表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為‘s’和‘h’）。參數(shù)KEEPAPP取值為1時，低頻系數(shù)不進行閾值量化；反之，則低頻系數(shù)要進行閾值量化。XC是降噪后的信號，[CXC,LXC]是XC的小波分解結(jié)構(gòu)，PHRF0和PERFL2是恢復(fù)和壓縮L2的范數(shù)百分比。如果[C，L]是x的小波分解結(jié)構(gòu)，則PERFL2=100（CXC向量的范數(shù)/C向量的范數(shù)）2；如果X是一維信號，小波wname是一個正交小波，則PERFL2=。4.4編程實現(xiàn)圖像去噪圖像信號的小波去噪步驟與一維信號的去噪步驟完全相同，只是使用二維小波分析工具代替了一維小波分析工具，如果用固定閾值形式，則選擇的閾值用代替了一維信號中的n。其編程分為三步：1、二維信號的小波分解。選擇一個小波基和小波分解的層次N,然后計算信號S到第N層的分解。2、對高頻系數(shù)進行閾值量化。對于從一到N的每一層，選擇一個閾值，并對這一層的高頻系數(shù)進行軟閾值化處理。3、二維小波的重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過修改的從第一層到第N層的高頻系數(shù)，來計算二維信號的小波重構(gòu)。下面就通過具體實例來說明利用小波分析進行圖像去噪的問題。對給定圖像進行去噪的二維小波去噪程序：clear;%清理工作空間loadwbarb;%裝載原始圖像subplot(221);%新建窗口image(X);%顯示圖像colormap(map);%設(shè)置色彩索引圖title('原始圖像');%設(shè)置圖像標題axissquare;%設(shè)置顯示比例,生成含噪圖像并圖示init=2055615866;%初始值randn('seed',init);%隨機值XX=X+8*randn(size(X));%添加隨機噪聲subplot(222);%新建窗口image(XX);%顯示圖像colormap(map);%設(shè)置色彩索引圖title('含噪圖像');%設(shè)置圖像標題axissquare;%顯示圖像[c,l]=wavedec2(XX,2,'coif2');%用小波函數(shù)coif2對圖像XX進行2層分解n=[1,2];%設(shè)置尺度向量p=[10.28,24.08];%設(shè)置閾值向量nc=wthcoef2('h',c,l,n,p,'s');nc=wthcoef2('v',c,l,n,p,'s');X1=waverec2(nc,l,'coif2');%圖像的二維小波重構(gòu)subplot(223);%新建窗口image(X1);%顯示圖像colormap(map);%設(shè)置色彩索引圖title('第一次消噪后的圖像');%設(shè)置圖像標題axissquare;%設(shè)置顯示比例，再次對高頻小波系數(shù)進行閾值處理mc=wthcoef2(h',nc,l,n,p,'s');mc=wthcoef2('v',nc,l,n,p,'s');mc=wthcoef2('d',nc,l,n,p,'s');X2=waverec2(mc,l,'coif2');%圖像的二維小波重構(gòu)subplot(224);%新建窗口image(X2);%顯示圖像colormap(map);