高中物理比賽(力學(xué))試題解

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1、（本題20分）如圖6所示，宇宙飛船在距火星表面H高度處作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星半徑為R。當(dāng)飛船運(yùn)行到P點(diǎn)時(shí)，在極短時(shí)刻內(nèi)向外側(cè)點(diǎn)噴氣，使飛船獲得一徑向速度，其大小為原來速度的α倍。因α非常小，因此飛船新軌道不可能與火星表面交會(huì)。飛船噴氣質(zhì)量能夠別計(jì)。

（1）試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)A的高度h近和遠(yuǎn)火星點(diǎn)B的高度h遠(yuǎn)；

（2）設(shè)飛船原來的運(yùn)動(dòng)速度為v0,試計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期T。

2，(20分)有一具擺長(zhǎng)為l的擺（擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，擺線的質(zhì)量別計(jì)），

在過懸掛點(diǎn)的豎直線上距懸掛點(diǎn)O的距離為x處（x＜l）的C點(diǎn)有

一固定的釘子，如圖所示，當(dāng)擺擺動(dòng)時(shí)，擺線會(huì)受到釘子的阻擋．當(dāng)

l一定而x取別同值時(shí)，阻擋后擺球的運(yùn)動(dòng)事情將別同．現(xiàn)將擺拉到

位于豎直線的左方（擺球的高度別超過O點(diǎn)），然后放

手，令其自由擺動(dòng)，假如擺線被釘子阻擋后，擺球恰巧可以擊中釘子，試

求x的最小值．

3，（20分）如圖所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)剛性輕桿的兩端分不連結(jié)小球a和

b，它們的質(zhì)量分不為m

a

和mb.桿可繞距a球?yàn)長(zhǎng)/4處的水平

定軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．初始時(shí)桿處于豎直位置．小球b幾乎

接觸桌面．在桿的右邊水平桌面上，緊挨著細(xì)桿放著一具質(zhì)量為

m的立方體勻質(zhì)物塊，圖中ABCD為過立方體中心且與細(xì)桿共面

的截面．現(xiàn)用一水平恒力F作用于a球上，使之繞O軸逆時(shí)針

轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)a轉(zhuǎn)過角時(shí)小球b速度的大?。O(shè)在此過程中立方

體物塊沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，且小球b與立方體物塊始終接觸沒有分

離．別計(jì)一切摩擦．

4、把上端A封閉、下端B開口的玻璃管插入水中,放掉部分空氣后

放手,玻璃管能夠豎直地浮在水中(如下圖).設(shè)玻璃管的質(zhì)量m=40克,橫截面積S=2厘米2,水面以上部分的

長(zhǎng)度b=1厘米,大氣壓強(qiáng)P0=105帕斯卡.玻璃管壁厚度別計(jì),管內(nèi)空氣質(zhì)量別計(jì).

(1)求玻璃管內(nèi)外水面的高度差h.

(2)用手拿住玻璃管并緩慢地把它壓入水中,當(dāng)管的A端在水面下超過某一深度時(shí),放手后玻璃管

別浮起.求那個(gè)深度.

(3)上一小咨詢中,放手后玻璃管的位置是否變化?怎么變化?(計(jì)算時(shí)可以為管內(nèi)空氣的溫度別變)

5、一具光滑的圓錐體固定在水平的桌面上,其軸線沿豎直方向,母線與軸線之間的夾角θ=30°(如右

圖).一條長(zhǎng)度為l的繩(質(zhì)量別計(jì)),一端的位置固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處,另一端拴著一具質(zhì)量為

m的小物體(物體可看作質(zhì)點(diǎn),繩長(zhǎng)小于圓錐體的母線).物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻

速圓周運(yùn)動(dòng)(物體和繩在上圖中都沒畫出).

a

O

bA

BC

D

F

6、(13分)一輛車經(jīng)過一根跨過定滑輪的繩PQ提升井中質(zhì)量為m的物體,如圖所示.繩的P端拴在車

后的掛鉤上,Q端拴在物體上.設(shè)繩的總長(zhǎng)別變,繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略別計(jì).

開始時(shí),車在A點(diǎn),左右兩側(cè)繩都已繃緊同時(shí)是豎直的,左側(cè)繩長(zhǎng)為H.提升時(shí),車加速向左

運(yùn)動(dòng),沿水平方向從A通過B駛向C.設(shè)A到B的距離也為H,車過B點(diǎn)時(shí)的速度為vB.求在車由A移到B的過程中,繩Q端的拉力對(duì)物體做的功.

7.在兩端封閉、內(nèi)徑均勻的直玻璃管內(nèi),有一段水銀柱將兩種理想氣體a和b隔開.將管豎立著,達(dá)到平衡時(shí),若溫度為T,氣柱a和b的長(zhǎng)度分不為la和lb;若溫度為T＇,長(zhǎng)度分不為l抋和l抌.然后將管平放在水平桌面上,在平衡時(shí),兩段氣柱長(zhǎng)度分不為l攁和l攂.已知T、T挕

8．如圖所示，質(zhì)量為KgM

9=的小車放在光滑的水平面上，其中

AB部分為半徑R=0.5m

的光滑

4

1

圓弧，BC部分水平且別光滑，長(zhǎng)為L(zhǎng)=2m，一小物塊質(zhì)量m=6Kg，由A點(diǎn)靜止釋放，剛好滑到C點(diǎn)靜止（取g=102sm），求：

①物塊與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)

②物塊從A滑到C過程中，小車獲得的最大速度

9.．如圖所示，在光滑水平面上放一質(zhì)量為M、邊長(zhǎng)為l的正方體木塊，木塊上擱有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)光滑棒，棒的一端用光滑鉸鏈連接于地面上O點(diǎn)，棒可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定一質(zhì)量為m的均質(zhì)金屬小球．開始時(shí)，棒與木塊均靜止，棒與水平面夾角為α角．當(dāng)棒繞O點(diǎn)向垂直于木塊接觸邊方向轉(zhuǎn)動(dòng)到棒與水平面間夾角變?yōu)棣碌乃矔r(shí)，求木塊速度的大?。?/p>

10如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)．在環(huán)上套有一珠子．今逐漸增大圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω，試求在別同轉(zhuǎn)動(dòng)速度下珠子能靜止在環(huán)上的位置．以珠子所停處的

半徑與豎直直徑的夾角θ表示．

11如圖所示，一木塊從歪面AC的頂端A點(diǎn)自靜止起滑下，通過水平面CD后，又滑上另一具歪面DF，到達(dá)頂端F點(diǎn)時(shí)速度減為零。兩歪面傾角別同，但木塊與所有接觸面間的摩擦系數(shù)相同，若AF連線與水平面夾角為θ，試求木塊與接觸面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)μ。

12.圖中的AOB是游樂場(chǎng)中的滑道模型，它位于豎直平面內(nèi),由兩個(gè)半徑基本上R的1/4圓周連接

而成，它們的圓心1O、2O與兩圓弧的連接點(diǎn)O在同一豎直線上．BO2沿水池的水面．一小滑塊可由弧

AO的任意點(diǎn)從靜止開始下滑．

1．若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個(gè)圓弧上滑過的弧長(zhǎng)相等，則小滑塊開始下滑時(shí)應(yīng)在圓弧

AO上的何處？（用該處到1O的連線與豎直線的夾角表示）

．2．凡能在O點(diǎn)脫離滑道的小滑塊，其降水點(diǎn)到2O的距離怎么？

參考解答1參考解答

：對(duì)圓軌道應(yīng)用動(dòng)力學(xué)，有：v0=

H

RGM

+①

則橢圓軌道上P點(diǎn)的速度：vP=XXX)v(vα+=2

1α

+H

RGM

+②

對(duì)P→A過程，機(jī)械能守恒：21m2Pv?HRGmM+=21m2Av?

A

rGmM

③比較P、A兩點(diǎn)，用開普勒第二定律（此處特殊注意，P點(diǎn)的速度取垂直矢徑的分

m

R

ω

θr

mg

圖2.11AFCB

θD

E

速度）：v0rP=vArA④

解①②③④四式可得：rA=

α

++1H

R同理，對(duì)P和B用能量關(guān)系和開普勒第二定律，可得：rB=α

-+1H

R橢圓的長(zhǎng)半軸：a=

2rrBA+=2

1H

Rα-+最終對(duì)圓軌道和橢圓軌道用開普勒第三定律可得橢圓運(yùn)動(dòng)的周期。

答：h近=α+α-1RH，h遠(yuǎn)=α-α+1RH；T=0v)HR(2+π23

2

)11(α

-。2.參考解答

擺線受阻后在一段時(shí)刻內(nèi)擺球作圓周運(yùn)動(dòng)，若擺球的質(zhì)量為m，則擺球受重力mg和擺線拉力T的作用，設(shè)在這段時(shí)刻內(nèi)任一時(shí)間的速度為

v，如圖預(yù)解20-5所示。用α表示此刻擺線與重力方向之間的夾角，則

有方程式

2

cosmvTmglx

α+=-（1）

運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，令θ表示擺線在起始位置時(shí)與豎直方向的夾角，取O點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則有關(guān)系

21

cos[()cos)]2

mglmvmgxlxθα-=（2）

擺受阻后，假如后來擺球能擊中釘子，則必然在某位置時(shí)擺線開始松弛，此刻T＝0，此后擺球僅在重力作用下作歪拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)在該位置時(shí)擺球速度0vv=，擺線與豎直線的夾角0α

α=，由式（1）得

2

00()cosvglxα=-，（3）

代入（2）式，求出

02cos3()cos2lxlxθα=-+（4）

要求作歪拋運(yùn)動(dòng)的擺球擊中C點(diǎn)，則應(yīng)滿腳下列關(guān)系式：

000()sincoslxvtαα-=，（5）

20001

()cossin2

lxvtgtαα-=-+（6）

利用式（5）和式（6）消去t，得到

220

()sin2cosglxvαα-=（7）

由式（3）、（7）得到03

cos3

α=

（8）代入式（4），求出

4

3lα

F

a

O

b

A

BCD

(23)3arccos2xllθ??

+-=?

???

（9）

θ越大，cosθ越小，x越小，θ最大值為/2π，由此可求得x的最小值：

(23)3xl+=，

因此

(233)0.464xtl=-=（10）

3..參考答案：如圖所示，用bv表示a轉(zhuǎn)過α角時(shí)b球速度的大小，v表示此刻立方體速度的大小，則有

vv=αcosb（1）

由于b與正立方體的接觸是光滑的，相互

作用力總是沿水平方向，而且兩者在水平方向的位移相同，所以相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符號(hào)相反，做功的總和為0．所以在整個(gè)過程中推力F所做的功應(yīng)等于球a、b和正立方體機(jī)械能的增量．現(xiàn)用av表示此刻a球速度的大小，

因?yàn)閍、b角速度相同，lOa41=，lOb4

3

=，

因此得

bavv3

1

=（2）

依照功能原理可知

2222

1cos434321cos4421sin4vvvmllgmmllgmmlFbbbaaa+?????-++?????--=?ααα（3）

將（1）、（2）式代入可得

2

22

)cos(2

1cos434321cos443121sin4ααααbbbbabamllgmmllgmmlFvvv+?????-++?????--?????=?解得()()[]α

αα2

cos18182cos13sin9mmmgmmFlbabab++--+=

v

4.玻璃管A端浮在水面上方時(shí),管受力平衡.設(shè)管中空氣壓強(qiáng)為P1,則管所受內(nèi)外空氣壓力之差(豎直方

向)是

f=(P1-P0)S0

(a)

用ρ表示水的密度,

P1=P0+ρgh,(b)

則:f=ρghS.(c)

f應(yīng)與管所受重力平衡:

ρghS=mg.(d)

(2)管豎直沒入水中后,設(shè)管A端的深度為H,管內(nèi)氣柱長(zhǎng)度為l,則A端所在處水內(nèi)壓強(qiáng)為:

PA=P0+Hρg,(f)

管內(nèi)氣壓,由管內(nèi)水面在水下的深度可知:為:

P2=P0+Hρg+lρg.(g)

管所受兩者壓力之差(豎直方向)為:

f＇=(P2-PA)S=lρgS.(h)

隨著管的下落,管內(nèi)水面也必下落,即管內(nèi)水面在水下的深度增大〔若管內(nèi)水面的深度別變(或減小),則P2別變(或減小),而因管A端的下落,管內(nèi)空氣的體積卻減小了,這與玻-馬定律別

符〕.所以,P2增大,l減小,故f＇減小.當(dāng)管A端到達(dá)某一深度H0時(shí),f＇與管所受重力相等,超過這一深度后,f＇小于重力,放手后管別浮起.由此,當(dāng)H=H0時(shí),

f＇=lρgS=mg,(i)

這時(shí),由玻-馬定律:

P2lS=P1(b+h)S.(k)

代入數(shù)值后,

(3)由上一小咨詢解答的分析可知,當(dāng)管A端的深度超過H0時(shí),f＇vb時(shí),物體別再與錐面接觸.

或:T=1.03mg.

只受重力和繩子拉力作用(如圖2所示).用α表示繩與圓錐體軸線之間的夾角,將力沿水平方向和豎直方向分解,按牛頓定律得:

Tcosα=mg.(e)

2T2-3mgT-2m2g2=0

解此方程,取合理值,得