高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計部分知識點(diǎn)梳理

千里之行，始于腳下。第2頁/共2頁精品文檔推薦高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計部分知識點(diǎn)梳理高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計部分學(xué)問點(diǎn)梳理

一、概率：隨機(jī)大事A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.１．隨機(jī)大事

A的概率0()1PA≤≤，其中當(dāng)()1PA=時稱為必定大事；當(dāng)()0PA=時稱為不行能大事P(A)=0；

注：求隨機(jī)概率的三種辦法：（一）枚舉法

例1如圖1所示，有一電路AB是由圖示的開關(guān)控制，閉合a，b，c，d，e五個開關(guān)中的隨意兩個開關(guān)，使電路形成通路．則使電路形成通路的概率是．

分析：要計算使電路形成通路的概率，列舉出閉合五個開關(guān)中的隨意兩個可能浮現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，從中找出能使電路形成通路的結(jié)果數(shù)，按照概率的意義計算即可。解：閉合五個開關(guān)中的兩個，可能浮現(xiàn)的結(jié)果數(shù)有10種，分離是ab、ac、ad、

ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6種，所以p(通路)=

106=5

3評注:枚舉法是求概率的一種重要辦法,這種辦法普通應(yīng)用于可能浮現(xiàn)的結(jié)果比較少的大事的概率計算.（二）樹形圖法

例2小剛和小明兩位學(xué)生玩一種嬉戲．嬉戲規(guī)章為：兩人各執(zhí)“象、虎、鼠”三張牌，同時各出一張牌定勝敗，其中象勝虎、虎勝鼠、鼠勝象，若兩人所出牌相同，則為平局．例如，小剛出象牌，小明出虎牌，則小剛勝；又如，

兩人同時出象牌，則兩人平局．假如用A、B、C分離表示小剛的象、虎、鼠三張牌，用A1、B1、C1分離表示小明的象、虎、鼠三張牌，那么一次出牌小剛勝小明的概率是多少？

分析：為了清晰地看出小亮勝小剛的概率，可用樹狀圖列出全部可能浮現(xiàn)的結(jié)果，并從中找出小剛勝小明可能浮現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。

解：畫樹狀圖如圖樹狀圖。由樹狀圖（樹形圖）或列表可知，可能浮現(xiàn)的結(jié)果有9種，而且每種結(jié)果浮現(xiàn)的可能性相同，其中小剛勝小明的結(jié)果有3種．所以P（一次出牌小剛勝小明）=

31

點(diǎn)評:當(dāng)一大事要涉及兩個或更多的因素時，為了不重不漏地列出全部可能的結(jié)果，通過畫樹形圖的辦法來計算概率（三）列表法

例3將圖中的三張撲克牌背面朝上放在桌面上，從中隨機(jī)摸出兩張，并用這兩張撲克牌上的數(shù)字組成一個兩位數(shù)．請你用畫樹形（狀）圖或列表的辦法求：（1）組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率；（2）組成的兩位數(shù)是6的倍數(shù)的概率．

分析：本題可通過列表的辦法，列出全部可能組成的兩位數(shù)的可能狀況，然后再找出組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的可能狀況和組成兩位數(shù)是6的倍數(shù)的可能狀況。

解：列的表格如下：按照表格可得兩位數(shù)有：23，24，32，34，42，43．所以（1）兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為

23．（2）兩位數(shù)是6的倍數(shù)的概率為13

．點(diǎn)評：當(dāng)一大事要涉及兩個或更多的因素時，為了不重不漏地列出全部可能的結(jié)果，通過畫樹形圖的辦法來計算概率

2.等可能大事的概率（古典概率）：P(A)=

n

m

。

3、互斥大事：（A、B互斥，即大事A、B不行能同時發(fā)生）。計算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。

4、對立大事：（A、B對立，即大事A、B不行能同時發(fā)生，但A、B中必定有一個發(fā)生）。計

算公式是：P（A）+P(B)＝１；P(A)=1－P(A)；

5、自立大事：（大事A、B的發(fā)生互相自立，互不影響）P(A?B)＝P(A)?P(B)。提示：（1）假如大事A、B自立，那么大事A與B、A與B及大事A與B也都是自立大事；（2）假如大事A、B互相自立，那么大事A、B至少有一個不發(fā)生的概率是1－P（A?B）＝1－P(A)P(B)；（3）假如大事A、B互相自立，那么大事A、B至少有一個發(fā)生的概率是1－P（A?B）＝1

－P(

A)P(

B)。

6、自立大事重復(fù)實(shí)驗(yàn)：大事A在n次自立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生了．．．．．k次．

的概率()(1)kknknnPkCpp-=-(是二項綻開式[(1)]npp-+的第k+1項)，其中p為在一次自立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中大事A發(fā)生的概率。

提示：（1）探求一個大事發(fā)生的概率，關(guān)鍵是分清大事的性質(zhì)。在求解過程中常應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想

處理，把所求的大事：轉(zhuǎn)化為等可能大事的概率(經(jīng)常采納羅列組合的學(xué)問)；轉(zhuǎn)化為若干個互斥大事中有一個發(fā)生的概率；利用對立大事的概率，轉(zhuǎn)化為互相自立大事同時發(fā)生的概率；看作某一大事在n次試驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率，但要注重公式的使用條件。（2）大事互斥是大事自立的須要非充分條件，反之，大事對立是大事互斥的充分非須要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：①先設(shè)大事A=“…”，B=“…”；②列式計算；③作答。二、隨機(jī)變量.

1.隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)是不確定的.實(shí)驗(yàn)假如滿足下述條件：

①實(shí)驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)舉行；②實(shí)驗(yàn)的全部可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次實(shí)驗(yàn)總是恰好浮現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次實(shí)驗(yàn)之前卻不能絕對這次實(shí)驗(yàn)會浮現(xiàn)哪一個結(jié)果。它就被稱為一個隨機(jī)實(shí)驗(yàn).

2.離散型隨機(jī)變量：假如對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若ξ是一個隨機(jī)變量，a，b是常數(shù).則ba+=ξη也是一個隨機(jī)變量.普通地，若ξ是隨機(jī)變量，)(xf是延續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則)(ξf也是隨機(jī)變量.也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為：,,,,21ixxx

ξ取每一個值),2,1(1=ix的概率iipxP==)(ξ，則表稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.

ξ

1x2x…ix…P

1p

2p

…

ip

…

有性質(zhì)：①,2,1,01=≥ip；②121=++++ippp.

注重：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做延續(xù)型隨機(jī)變量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).

3.⑴二項分布：假如在一次實(shí)驗(yàn)中某大事發(fā)生的概率是P，那么在n次自立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中這個大事恰好發(fā)生k次的概率是：

k

nkknqpCk)P(ξ-==[其中pqnk-==1,,,1,0]于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ聽從二項分布，記作ξ～B（n·p），其中n，p為參數(shù)，并記p)nb(k;q

pCknkkn?=-.⑵二項分布的推斷與應(yīng)用.

①二項分布，實(shí)際是對n次自立重復(fù)實(shí)驗(yàn).關(guān)鍵是看某一大事是否是舉行n次自立重復(fù)，且每次實(shí)驗(yàn)惟獨(dú)兩種結(jié)果，假如不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不聽從二項分布.

②當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又惟獨(dú)兩種實(shí)驗(yàn)結(jié)果，此時可以把它看作自立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，利用二項分布求其分布列.

4.幾何分布：“k=ξ”表示在第k次自立重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，大事第一次發(fā)生，假如把k次實(shí)驗(yàn)時大事A發(fā)生記為kA，事A不發(fā)生記為q)P(A,Akk=，那么)AAAAP(k)P(ξk1k21-==.按照互相自立大事的概率乘法分式：

))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξk1k21-==),3,2,1(1

==-kpqk于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列.

ξ

123…k

…P

q

qp

pq2

…

pq1k-

…

我們稱ξ聽從幾何分布，并記pq

p)g(k,1

k-=，其中3,2,1.1=-=kpq

5.⑴超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取)Nnn(1≤≤件，則其中的次品數(shù)ξ是一離散型隨機(jī)變量，分布列為)MNknM,0k(0CCCk)P(ξn

N

knM

NkM-≤-≤≤≤??=

=--.〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取

法數(shù)，假如規(guī)定m＜r時0Cr

m=，則k的范圍可以寫為k=0，1，…，n.〕

⑵超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1≤n≤a+b），則次品數(shù)ξ的分布列為

n.,0,1,kCCCk)P(ξnb

ak

nb

ka=?=

=+-.

⑶超幾何分布與二項分布的關(guān)系.

設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)ξ聽從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)η的分

布列可如下求得：把ba+個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有nba)(+個可能結(jié)果，等可能：k)(η=含k

nkknbaC-個結(jié)果，故

n,0,1,2,k,)b

aa(1)

baa(

Cb)(ab

aCk)P(ηk

nkknn

k

nkkn=+-+=+=

=--，即η～)(baanB+?.[我們先為k個次品選定位置，共knC種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法]可以證實(shí)：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.

三、數(shù)學(xué)期望與方差.

1.期望的含義：普通地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξ1x2x(i)

x

…

P

1p2p

…

ip

…

則稱++++=nnpxpxpxE2211ξ為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

2.⑴隨機(jī)變量ba+=ξη的數(shù)學(xué)期望：baEbaEE+=+=ξξη)(①當(dāng)0=a時，bbE=)(，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身.

②當(dāng)1=a時，bEbE+=+ξξ)(，即隨機(jī)變量ξ與常數(shù)之和的期望等于ξ的期望與這個常數(shù)的和.③當(dāng)0=b時，ξξaEaE=)(，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積.⑵單點(diǎn)分布：ccE=?=1ξ其分布列為：cP==)1(ξ.

⑶兩點(diǎn)分布：ppqE=?+?=10ξ，其分布列為：（p+q=1）⑷二項分布：∑=?-?=

-npqp

knknkEknk

)!(!!

ξ其分布列為ξ～),(pnB.

（P為發(fā)生ξ的概率）

⑸幾何分布：p

E1

=

ξ其分布列為ξ～),(pkq.（P為發(fā)生ξ的概率）3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為),2,1()(===kpxPkkξ時，則稱

+-++-+-=nnpExpExpExD2222121)()()(ξξξξ為ξ的方差.明顯0≥ξ

D，故σξξσξ.D=為ξ的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量ξ

的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.ξD越小，穩(wěn)定性越高，波動越?。?．

4.方差的性質(zhì).

⑴隨機(jī)變量ba+=ξη的方差ξξηDabaDD2

)()(=+=.（a、b均為常數(shù)）

⑵單點(diǎn)分布：0=ξD其分布列為pP==)1(ξ⑶兩點(diǎn)分布：pqD=ξ其分布列為：（p+q=1）⑷二項分布：npqD=ξ⑸幾何分布：2

pqD=

ξ

5.期望與方差的關(guān)系.

⑴假如ξE和ηE都存在，則ηξηξEEE±=±)(

⑵設(shè)ξ和η是相互自立的兩個隨機(jī)變量，則ηξηξηξξηDDDEEE+=+?=)(,)(

⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化：22)(ξξξEED-=⑷)()()(ξξξξEEEEE-=-（由于ξE為一常數(shù)）0=-=ξξEE.四、正態(tài)分布.（基本不列入考試范圍）

1.密度曲線與密度函數(shù)：對于延續(xù)型隨機(jī)變量ξ，位于x軸上方，ξ落在任一區(qū)間),[ba內(nèi)的概率等于它與x軸.直線ax=與直線

bx=所圍成的曲邊梯形的面積

（如圖陰影部分）的曲線叫ξ的密度曲線，以其作為

圖像的函數(shù))(xf叫做ξ的密度函數(shù)，因?yàn)椤?,(+∞-∞∈x”是必定大事，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.

2.⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線：假如隨機(jī)變量ξ的概率密度為：2

22)(21)(σμσ

π--

=

xe

xf.（σμ,,Rx∈為常數(shù)，且0σ），稱ξ服

從參數(shù)為σμ,的正態(tài)分布，用ξ～),(2σμN(yùn)表示.)(xf的表達(dá)式可簡記為),(2

σμN(yùn)，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.⑵正態(tài)分布的期望與方差：若ξ～),(2σμN(yùn)，則ξ的期望與方差分離為：2

,σξμξ==DE.

⑶正態(tài)曲線的性質(zhì).

①曲線在x軸上方，與x軸不相交.②曲線關(guān)于直線μ=x對稱.

③當(dāng)μ=x時曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時，曲線不斷地降低，展現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.

④當(dāng)x＜μ時，曲線升高；當(dāng)x＞μ時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延長時，以x軸為漸近線，向x軸無限的逼近.

⑤當(dāng)μ一定時，曲線的外形由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越簇?fù)恚沪以叫?，曲線越“瘦高”，表示總體

ξ01P

q

p

ξ01P

q

p

▲

y

x

a

b

y=f(x)

的分布越集中.

3.⑴標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：假如隨機(jī)變量ξ的概率函數(shù)為)(21)(2

2

+∞-∞=

-

xe

xxπ

?，則稱ξ聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即ξ～)1,0(N有