矩陣的初等變換與逆矩陣的求法

矩陣的初等變換與逆矩陣的求法第一頁(yè)，共27頁(yè)。1.2矩陣的初等變換與逆矩陣的求法第二頁(yè)，共27頁(yè)。本節(jié)內(nèi)容1.線性方程組的同解變換；2.矩陣的初等變換；3.初等矩陣；4.用初等行變換求逆矩陣.第三頁(yè)，共27頁(yè)。線性方程組的同解變換同解變換，就是變換后的線性方程組與原線性方程組同解。初等變換就是線性方程組的同解變換。定理：設(shè)方程組經(jīng)過(guò)某一初等變換后變?yōu)榱硪粋€(gè)方程組，則新方程組與原方程組同解。（證明看課本第9頁(yè)）第四頁(yè)，共27頁(yè)。矩陣的初等變換定義：以下三種變換稱為矩陣的初等變換：1.對(duì)換矩陣的兩行（或兩列）； 記為2.以任意數(shù)乘以矩陣的某一行（或列）每個(gè)元； 記為3.某一行（或列）的每個(gè)元乘以同一常數(shù)加到另一行（或列）的對(duì)應(yīng)元上去.

記為矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換化為矩陣B表示為A→B。習(xí)慣上在箭頭的上面寫(xiě)出行變換，下面寫(xiě)出列變換。第五頁(yè)，共27頁(yè)。消元法解線性方程組消元法的基本思想是：反復(fù)利用同解變換將方程組化為階梯形狀。在消元法求解過(guò)程中，只涉及到對(duì)方程組的系數(shù)與常數(shù)的運(yùn)算。因此只考慮對(duì)方程組的系數(shù)與常數(shù)組成的矩陣進(jìn)行變換即可。相應(yīng)的，對(duì)矩陣進(jìn)行類似的變換叫做矩陣的初等變換。第六頁(yè)，共27頁(yè)。矩陣的初等行變換的定義，完全對(duì)應(yīng)著方程組的同解變換。因此，對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換使其成為階梯形矩陣的過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)方程組進(jìn)行同解變換使其變?yōu)殡A梯形狀的過(guò)程。例：解線性方程組第七頁(yè)，共27頁(yè)。先將方程組的系數(shù)與等式右邊的常數(shù)組成一個(gè)3×4的矩陣，然后對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換。第八頁(yè)，共27頁(yè)。變?yōu)殡A梯型矩陣之后就得到了原方程組的同解方程組?；蜃⒁猓涸趯?duì)矩陣進(jìn)行初等變換時(shí)，只能進(jìn)行行變換，不能進(jìn)行列變換！因?yàn)榫仃嚵凶儞Q對(duì)應(yīng)的并不是線性方程組的同解變換。第九頁(yè)，共27頁(yè)。初等矩陣定義：由單位矩陣I經(jīng)過(guò)一次初等變換的矩陣稱為初等矩陣。由于初等變換有三種類型，所以對(duì)應(yīng)的初等矩陣就有三種類型。（1）對(duì)調(diào)I的兩行（或兩列）；（2）非零數(shù)乘以I中的某行（或某列）；（3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。初等矩陣都是可逆的，并且根據(jù)逆矩陣的定義，容易驗(yàn)證以上各式。同時(shí)，上面等式表明：初等矩陣的逆仍然是初等矩陣。第十頁(yè)，共27頁(yè)。初等矩陣的性質(zhì)※定理1.2有限個(gè)初等矩陣的乘積必可逆.※用初等矩陣左乘某矩陣，相當(dāng)于對(duì)該矩陣進(jìn)行相應(yīng)的初等行變換；用初等矩陣右乘矩陣，相當(dāng)于對(duì)該矩陣進(jìn)行相應(yīng)的初等列變換；反之亦然?！艟仃嘊是矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換得到的，那么可以記為B＝PAQ，其中P、Q為初等矩陣的乘積※定理1.3可逆矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換仍可逆.※定理1.4可逆矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等行變換可以化為單位矩陣.※定理1.5方陣P為可逆矩陣的充要條件是P可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積。證明1.3，1.4，1.5第十一頁(yè)，共27頁(yè)。用初等行變換求逆矩陣原理：可逆矩陣A可以分解為若干初等矩陣的乘積， 設(shè) 則 上式表明，對(duì)矩陣A與I進(jìn)行相同的行變換， 在把A化為單位陣的同時(shí)，就把I化為了A的逆 矩陣。做法：將A與I按照行的方向組合成一個(gè)大矩陣，對(duì) 大矩陣進(jìn)行行變換，在A部分成為I的時(shí)候， 原來(lái)的I部分就成為A的逆。第十二頁(yè)，共27頁(yè)。例題設(shè)，求解：第十三頁(yè)，共27頁(yè)。小結(jié)本節(jié)要求掌握內(nèi)容1.矩陣初等變換的記號(hào)，初等矩陣的記號(hào)；2.初等矩陣的性質(zhì)；3.用初等行變換求逆矩陣.第十四頁(yè)，共27頁(yè)。作業(yè)P34 1.7（2）（5）

1.10第十五頁(yè)，共27頁(yè)。初等變換線性方程組的初等變換有三種：1.互換兩個(gè)方程的位置；2.把某個(gè)方程兩邊同乘以一個(gè)非零常數(shù)；3.將某個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍.初等變換是可逆的，即用同類型的變換可將新方程組變?yōu)樵匠探M。注意：變換過(guò)程中方程組中方程的個(gè)數(shù)不變。返回第十六頁(yè)，共27頁(yè)?；Q兩個(gè)方程的位置返回第十七頁(yè)，共27頁(yè)。方程兩邊同乘以一個(gè)非零常數(shù)c返回第十八頁(yè)，共27頁(yè)。一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍返回第十九頁(yè)，共27頁(yè)。對(duì)調(diào)I中的兩行（或兩列）對(duì)調(diào)I的兩行對(duì)調(diào)I的兩列返回第二十頁(yè)，共27頁(yè)。非零數(shù)乘以I中的某行（或某列）非零數(shù)乘以I的行非零數(shù)乘以I的列返回第二十一頁(yè)，共27頁(yè)。某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）返回第二十二頁(yè)，共27頁(yè)。初等矩陣左乘相當(dāng)于行變換

初等矩陣右乘相當(dāng)于列變換第二十三頁(yè)，共27頁(yè)。返回第二十四頁(yè)，共27頁(yè)。矩陣的初等變換定義：以下三種變換稱為矩陣的初等變換：1.對(duì)換矩陣的兩行（或兩列）； 記為2.以任意數(shù)乘以矩陣的某一行（或列）每個(gè)元； 記為3.某一行（或列）的每個(gè)元乘以同一常數(shù)加到另一行（或列）的對(duì)應(yīng)元上去.

記為矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換化為矩陣B表示為A→B。習(xí)慣上在箭頭的上面寫(xiě)出行變換，下面寫(xiě)出列變換。返回第二十五頁(yè)，共27頁(yè)。初等矩陣的性質(zhì)※定理1.2有限個(gè)初等矩陣的乘積必可逆.※用初等矩陣左乘某矩陣，相當(dāng)于對(duì)該矩陣進(jìn)行相應(yīng)的初等行變換；用初等矩陣右乘矩陣，相當(dāng)于對(duì)該矩陣進(jìn)行相應(yīng)的初等列變換；反之亦然。※若矩陣B是矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換得到的，那么可以記為B＝PAQ，其中P、Q為初等矩陣的乘積※定理1.3可逆矩陣經(jīng)過(guò)有限