2021版新數(shù)學(xué)一輪：練案 （35） 等比數(shù)列及其前n項和含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021版新高考數(shù)學(xué)（山東專用）一輪：練案（35）等比數(shù)列及其前n項和含解析［練案35］第三講等比數(shù)列及其前n項和A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于（A）A．－24 B．0C．12 D．24[解析]由x，3x＋3，6x＋6成等比數(shù)列,知（3x＋3）2＝x·(6x＋6），解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比數(shù)列的前三項為－3，－6，－12。故第四項等于－24,故選A.2．（2020·廣東百校聯(lián)考)在等比數(shù)列{an｝中，a1＝2，公比q＝2。若am＝a1a2a3a4（m∈A．11 B．10C．9 D．8[解析］因為am＝a1a2a3a4＝aeq\o\al(4，1)q6＝24×26＝210＝2·2m－1＝23．（2020·貴州貴陽期中）設(shè)Sn為等比數(shù)列｛an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則eq\f(S5，S2)＝(C)A．11 B．5C．－11 D．－8[解析］設(shè)等比數(shù)列｛an}的公比為q，∵8a2＋a5∴q3＝－8，∴q＝－2，∴eq\f（S5，S2）＝eq\f(1－q5,1－q2）＝－11，故選C.4．（2020·陜西西安遠(yuǎn)東中學(xué)期中)已知等比數(shù)列｛an}的前n項和為Sn,S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1A．eq\f(1,3) B．－eq\f（1,3)C．eq\f(1，9） D．－eq\f(1，9)[解析]設(shè)數(shù)列｛an}的公比為q，∵S3＝a2＋10a1∴a3＝9a1，∴q2＝9，又a5＝9，∴a1q4∴a1＝eq\f(1,9），故選C。5．(2020·甘肅天水二中月考）已知數(shù)列{an｝的首項a1＝2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且bn＝eq\f（an＋1，an），若b10b11＝2,則a21＝（C)A．29 B．210C．211 D．212[解析］∵b10b11＝2，∴b1·b2·……·b10·b11·……·b19·b20＝210,又bn＝eq\f（an＋1,an），∴eq\f（a2,a1）·eq\f（a3,a2）·……·eq\f（a20，a19）·eq\f(a21,a20)＝210，∴eq\f（a21,a1）＝210,又a1＝2，∴a21＝211,故選C。6．(2020·河南省信陽高中、商丘一中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）設(shè)等比數(shù)列{an｝的公比為q〉0,且q≠1，Sn為數(shù)列｛an｝前n項和，記Tn＝eq\f（an,Sn），則（D）A．T3≤T6 B．T3<T6C．T3≥T6 D．T3>T6［解析]T6－T3＝eq\f(a61－q，a11－q6)－eq\f(a31－q，a11－q3)＝eq\f(q51－q,1－q6)－eq\f（q21－q，1－q3）＝eq\f(－q21－q，1－q6)，由于q>0且q≠1，所以1－q與1－q6同號，所以T6－T3〈0，∴T6<T3,故選D.二、多選題7．(2020·遼寧大連八中模擬改編）記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1＝2，S3＝6,則S4＝（AC)A．－10 B．－8C．8 D．10[解析］設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因為a1＝2，S3＝6,所以S3＝2＋2q＋2q2＝6，則q2＋q－2＝0,所以q＝1或q＝－2.當(dāng)q＝1時，S4＝S3＋2＝8;當(dāng)q＝－2時，S4＝S3＋a1q3＝6＋2×(－2)3＝－10，故選A、C.8．（2020·山西大同期中改編)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．"馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半,"打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是(BD)A．a(chǎn)＝eq\f（50，7)B．c＝eq\f(50，7）C．a(chǎn),b，c依次成公比為2的等比數(shù)列D．a(chǎn),b，c依次成公比為eq\f（1，2）的等比數(shù)列[解析]由題意得a，b，c依次成公比為eq\f(1，2)的等比數(shù)列，且c＋2c＋4c＝50，即c＝eq\f(50，7),故選B、D.三、填空題9．(2020·四川南充一診）數(shù)列｛an｝滿足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，則a8＝__320__.［解析］由題意知log2an＋1＝log2（2an)，∴an＋1＝2an,∴｛an}是公比為2的等比數(shù)列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320。10．已知數(shù)列｛an}是等比數(shù)列,a2＝2，a5＝eq\f（1，4)，則a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝eq\f(64，7）（1－2－3n）。［解析]設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q，則q3＝eq\f（a5,a2）＝eq\f（1，8)，解得q＝eq\f(1,2）,a1＝eq\f（a2，q）＝4。易知數(shù)列{anan＋1an＋2｝是首項為a1a2a3＝4×2×1＝8,公比為q3＝eq\f(1，8)的等比數(shù)列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝eq\f(81－\f（1，8n)，1－\f(1，8）)＝eq\f(64，7）(1－2－3n)．11．等比數(shù)列｛an｝的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝eq\f（7,4)，S6＝eq\f(63，4），則a8＝__32__。[解析]由題意知S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f（7，4），a4＋a5＋a6＝S6－S3＝eq\f(63，4)－eq\f(7，4)＝14＝eq\f（7，4）·q3，∴q＝2。又a1＋2a1＋4a1＝eq\f(7,4)，∴a1＝eq\f（1,4），∴a8＝eq\f(1,4)×27＝32.12．(2020·長春市高三一檢)等比數(shù)列｛an｝的首項為a1＝－1,前n項和為Sn，若eq\f(S10,S5）＝eq\f(31，32)，則公比q＝－eq\f（1,2)。［解析]由eq\f(S10,S5)＝eq\f（31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5，S5)＝－eq\f(1,32）.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5,故q5＝－eq\f(1,32），所以q＝－eq\f(1,2）。四、解答題13．(2019·全國卷Ⅱ)已知{an｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2（1）求｛an｝的通項公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列｛bn｝的前n項和．[解析］（1)設(shè)｛an｝的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16,即q2－2q－8＝0。解得q＝－2（舍去）或q＝4.因此｛an}的通項公式為an＝2×4n－1＝22n－1。(2）由（1)得bn＝（2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列｛bn｝的前n項和為1＋3＋…＋（2n－1)＝n2。14．(2020·安徽聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和，且滿足Sn－2an＝n－4.（1）證明:{Sn－n＋2｝為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn.［解析］(1）證明：由題意知Sn－2（Sn－Sn－1）＝n－4（n≥2），即Sn＝2Sn－1－n＋4,所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2］，又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1）知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝（22＋23＋…＋2n＋1）＋（1＋2＋…＋n）－2n＝eq\f（41－2n，1－2)＋eq\f(nn＋1，2）－2n＝eq\f(2n＋3＋n2－3n－8,2）。B組能力提升1．(2020·安徽六安一中調(diào)研）已知1,a1,a2，4成等差數(shù)列,1,b1，b2，b3,4成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a2，b2)的值是(C）A．eq\f（5,2)或－eq\f(5,2) B．－eq\f(5,2)C。eq\f（5,2） D．eq\f(1，2）［解析］由題意得a1＋a2＝5，beq\o\al（2，2)＝4,又b2與第一項的符號相同，所以b2＝2.所以eq\f（a1＋a2，b2）＝eq\f(5，2）。故選C.2．(2020·湖北省部分重點中學(xué)高三調(diào)考）《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日,長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍,問幾何日而長等?”意思是：今有蒲第一天長高3尺,莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍，若蒲、莞長度相等，則所需時間約為（C)參考數(shù)據(jù)：lg2≈0。3010，lg3≈0。4771，結(jié)果精確到0。1.A．2.2天 B．2。4天C．2。6天 D．2.8天[解析］設(shè)蒲每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列｛an},其首項為a1＝3,公比為eq\f（1,2)，前n項和為An。設(shè)莞每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列{bn}，其首項為b1＝1，公比為2，前n項和為Bn。則An＝eq\f(31－\f(1,2n),1－\f（1,2）），Bn＝eq\f（1－2n,1－2).設(shè)蒲、莞長度相等時所需時間為x天，則eq\f（31－\f(1，2x），1－\f(1,2）)＝eq\f（1－2x，1－2），化簡得2x＋eq\f（6，2x)＝7，計算得出2x＝6，2x＝1（舍去）．所以x＝eq\f（lg6,lg2）＝1＋eq\f（lg3,lg2）≈2.6。則估計2.6天后蒲、莞長度相等．故選C。3．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n＝（B)A．80 B．30C．26 D．16［解析］由等比數(shù)列的性質(zhì)知Sn、S2n－Sn、S3n－S2n成等比數(shù)列,∴(S2n－2)2＝2（14－S2n），∴S2n＝6或－4（舍去),又S2n－Sn、S3n－S2n、S4n－S3n成等比數(shù)列,∴82＝4(S4n－14），∴S4n＝30.故選B.另解：（特殊化）不妨令n＝1,則a1＝S1＝2，S3＝eq\f（21－q3,1－q)＝14，∴q2＋q－6＝0,∴q＝2或－3(舍去)∴S4＝eq\f(21－q4,1－q)＝30。故選B。4．（2020·河北唐山四校聯(lián)考)已知a1，a2，a3，a4依次成等比數(shù)列，公比q為正數(shù)且不為1。將此數(shù)列刪去一個數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列，則q的值為（B)A．eq\f(1＋\r（5),2) B．eq\f(±1＋\r（5),2）C。eq\f(±1＋\r(3），2) D．eq\f(－1＋\r(3），2）［解析]因為公比q不為1,所以刪去的不是a1，a4。①若刪去a2，則由2a3＝a1＋a4，得2a1q2＝a1＋a1q3，因為a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2（q－1)＝（q－1）（q＋1),又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，所以q＝eq\f(1＋\r(5),2);②若刪去a3,則由2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3,因為a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1）＝q－1，又q≠1，所以q(q＋1)＝1,又q>0，所以q＝eq\f(－1＋\r(5），2）。綜上，q＝eq\f（±1＋\r（5)，2）,故選B.5．（2020·3月份北京市高考適應(yīng)性測試）已知｛an｝是公比為q的無窮等比數(shù)列，其前n項和為Sn，滿足a3＝12，______。是否存在正整數(shù)k，使得Sk>2020？若存在,求k的最小值；若不存在,說明理由．從①q＝2，②q＝eq\f(1，2）,③q＝－2這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分。[解析]當(dāng)q＝2時,a1＝3，an＝3·2n－1，Sn＝eq\f(3－3·2n,1－2)＝3·2n－3.由3·2k－3〉2020得2k>674eq\f（1,3)，∵29＝512，210＝1024，k∈N＋,kmin＝10。當(dāng)q＝eq\f(1,2）時，a1＝48,an＝48·（eq\f（1,2）)n－1，Sn＝eq\f(48－48·\f(1，2）n，1－\f（1,2）)＝96－96·(eq\f（1,2)）n。由96－96·（eq