名師教案 人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

課程基本信息課題2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（B版）出版社：人民教育出版社出版日期：2020年8月教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：在學(xué)習(xí)掌握橢圓的幾何定義的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)在解析幾何中用代數(shù)方法研究橢圓的幾何性質(zhì)，為后續(xù)其他圓錐曲線的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)教學(xué)重點：從方程的角度研究橢圓的幾何性質(zhì)教學(xué)難點：橢圓離心率概念的理解教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動一、從具體例子出發(fā)，由橢圓的方程來研究橢圓的幾何性質(zhì)問題一已知橢圓的方程為，根據(jù)這個方程完成下列任務(wù)：（1）觀察方程中與是否有取值范圍，由此指出橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的位置特征；（2）指出橢圓是否關(guān)于軸、軸、原點對稱；（3）指出橢圓與坐標(biāo)軸是否有交點，如果有，求出交點坐標(biāo).解：（1）因為實數(shù)的平方是一個非負(fù)數(shù)，所以在中，必有，即.同理可得，.因此，橢圓位于直線，，，所圍成的矩形內(nèi).（2）因為如果是方程的一組解，則不難看出，、、都是方程的解，這說明橢圓關(guān)于軸，軸，坐標(biāo)原點對稱.即軸，軸是橢圓的對稱軸，坐標(biāo)原點是橢圓的對稱中心.在方程中，令，得或，可知橢圓與軸有兩個交點，坐標(biāo)分別為，；令，得或，可知橢圓與軸有兩個交點，坐標(biāo)分別為，.二、把具體例子一般化，得到焦點在軸上的橢圓的幾何性質(zhì)問題二：一般地，如果橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，①我們可以根據(jù)方程得到橢圓什么樣的幾何性質(zhì)呢？（1）范圍由方程①可知，且，因此且.這說明，橢圓位于直線，，，所圍成的矩形內(nèi).（2）對稱性因為如果是方程①的一組解，則、、都是方程①的解，說明橢圓關(guān)于軸、軸、坐標(biāo)原點對稱.因此，軸、軸是橢圓的對稱軸，坐標(biāo)原點是橢圓的對稱中心.橢圓的對稱中心也稱為橢圓的中心.（3）頂點在方程①中，令，得或，可知橢圓與軸有兩個交點，記作，；令，得或，可知橢圓與軸有兩個交點，記作，.因此，橢圓與它的對稱軸共有個交點，即，和，，這四個點都稱為橢圓的頂點.我們可以發(fā)現(xiàn)，，，而且，所以線段稱為橢圓的長軸，線段稱為橢圓的短軸.顯然，橢圓的兩個焦點在它的長軸上，而且橢圓的長軸長為，短軸長為.于是，，分別是橢圓半長軸長和半短軸長，如果設(shè)橢圓的焦距為，則是橢圓的半焦距，由可知，長度分別為,,的三條線段構(gòu)成一個直角三角形，且長度為的線段是斜邊.這就說明，以橢圓的任意一個短軸的端點、任意一個焦點以及原點為頂點的三角形是一個直角三角形，而且短軸端點與焦點的連線長為.因此，有，，，而且.（4）離心率一般地，橢圓的半焦距與半長軸長之比稱為橢圓的離心率.問題三：（1）根據(jù)橢圓離心率的定義，判斷橢圓離心率的取值范圍;（2）猜想橢圓離心率的大小與橢圓的形狀有什么聯(lián)系，并嘗試證明.因為，所以，另外，注意到，這說明越趨近于，則的值越小，因此橢圓越扁；反之，越趨近于，則的值越大，這時橢圓就越接近與圓.當(dāng)固定不變時，橢圓的離心率與橢圓的形狀的關(guān)系可以從右圖中看出來，其中橙色、綠色、藍(lán)色橢圓的離心率分別為，，.三、類比探索，研究焦點在軸上的橢圓的幾何性質(zhì)問題四：如果橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，②那么這個橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率中，哪些與焦點在軸上的橢圓是有區(qū)別的？顯然，②式表示的橢圓，焦點坐標(biāo)為，，橢圓上的點的坐標(biāo)的取值范圍是且；長軸的兩個端點是，；短軸的兩個端點是，.除了這些以外，對稱性、焦距、長軸長、短軸長、離心率等都與焦點在軸上的橢圓是一致的.四、課堂小結(jié)焦點所在坐標(biāo)軸焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點坐標(biāo)，.，.焦距；半焦距；半焦距范圍且且對稱性關(guān)于軸、軸、坐標(biāo)原點對稱關(guān)于軸、軸、坐標(biāo)原點對稱頂點，；，.，；，.軸長軸,短軸長軸,短軸軸長長軸長,短軸長，半長軸長，半短軸長長軸長,短軸長，半長軸長，半短軸長五、布置作業(yè)人教社B版課本P134練習(xí)A1.分別求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)、離心率：（1）；（2）（3）.2.根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）長軸長和短軸長分別為和，且焦點在軸