名師教案 人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊2.2.3 兩條直線的位置關(guān)系

2.2.3兩條直線的位置關(guān)系

本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)兩條直線的位置關(guān)系。兩條直線的位置關(guān)系，學(xué)生在初中平面幾何已學(xué)習(xí)過，而在坐標(biāo)系下運(yùn)用代數(shù)方法即坐標(biāo)法，是一種新的觀點(diǎn)和方法，需要學(xué)生理解和感悟。兩直線平行和垂直都是由相應(yīng)的斜率之間的關(guān)系來確定的，并且研究討論的手段和方法也相類似，因此，在教學(xué)時采用對比方法，以便弄清平行與垂直之間的聯(lián)系與區(qū)別.值得注意的是，當(dāng)兩條直線中有一條不存在斜率時，容易得到兩條直線垂直的充要條件，這也值得略加說明.教學(xué)中應(yīng)充分體現(xiàn)坐標(biāo)法建立方程的一般思路，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎(chǔ)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.會求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)B.會根據(jù)直線的斜率和截距判斷兩條直線相交、平行、重合.C.理解通過方程組給出的兩條直線相交、平行、重合的條件.D.會利用法向量推導(dǎo)出兩條直線垂直的條件:A1A2+B1B2=0和k1k2=-1,并能熟練地運(yùn)用這兩個條件解決有關(guān)垂直問題.1.數(shù)學(xué)抽象：運(yùn)用向量法確定直線平行于垂直2.邏輯推理：判斷兩直線的位置關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)4.數(shù)學(xué)建模：靈活運(yùn)用兩種方法判斷直線位置關(guān)系重點(diǎn)：會判斷兩條直線相交、平行、重合難點(diǎn)：利用法向量推導(dǎo)出兩條直線垂直與平行條件多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué)從初中平面幾何中我們就已經(jīng)知道，兩條不重合的直線l1與l2；如果它們沒有公共點(diǎn)，那么l1與l2平行；否則，l1與l2相交，而且有唯一的交點(diǎn)。在平面直角坐標(biāo)系中，直線可以用直線的方程來表示，那么如何依據(jù)兩條直線的方程來判斷它們之間的位置關(guān)系呢？溫故知新嘗試與發(fā)現(xiàn)（1）已知直線l1：x-y+1=0,直線l2：x+y+3=0，判斷l(xiāng)1與l2之間的關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，如果不相交，說明理由。（2）總結(jié)怎樣依據(jù)兩條直線的方程來考察他們之間的位置關(guān)系。er二、探究新知1.兩條直線的交點(diǎn)幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)AA(a,b)直線l1,l2l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0點(diǎn)A在直線l1上A1a+B1b+C1=0直線l1與l2的交點(diǎn)是A

點(diǎn)睛：因為平面直角坐標(biāo)系中,一個點(diǎn)在直線上的充要條件是這個點(diǎn)的坐標(biāo)能滿足直線的方程,所以為了考察l1與l2之間的位置關(guān)系,只要看它們的方程組成的方程組的解的情況即可.2.兩條直線的相交、平行與重合(1)直線方程在斜截式形式下兩條直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置關(guān)系可用兩直線的斜率和在y軸上的截距來進(jìn)行判斷,具體判斷方法如下表所示.位置關(guān)系平行重合相交圖示k,b滿足條件k1=k2且b1≠b2k1=k2且b1=b2k1≠k2(2)直線方程在一般式形式下兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置關(guān)系,可以用方程組A1x+B1y+C方程組的解位置關(guān)系交點(diǎn)個數(shù)代數(shù)條件無解平等無交點(diǎn)有唯一解相交有一個交點(diǎn)A1B2≠A2B1有無數(shù)個解重合無數(shù)個交點(diǎn)存在實數(shù)λ,使得3.兩條直線的垂直(1)設(shè)直線l1,l2的方程分別為y=k1x+b1,y=k2x+b2,則l1⊥l2?k1k2=-1.(2)設(shè)直線l1,l2的方程分別為A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同時為零,A2,B2不同時為零),則l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.點(diǎn)睛：(1)過點(diǎn)(x0,y0)且與Ax+By+C=0平行的直線可表示為A(x-x0)+B(y-y0)=0;(2)過點(diǎn)(x0,y0)且與Ax+By+C=0垂直的直線可表示為B(x-x0)-A(y-y0)=0;(3)與直線y=kx+b(k≠0)垂直的所有直線可以表示為y=-1kx+m(4)與直線Ax+By+C=0垂直的所有直線可以表示為Bx-Ay+m=0;(5)當(dāng)直線l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)與l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交時,直線系(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)1.判斷：若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線相交.()答案:×2.直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3) D.(3,4)解析:由方程組3x+2y+6=0解得x=-4,答案:C3.判斷(1)若兩條直線的斜率相等,則這兩條直線平行.()(2)若l1∥l2,則k1=k2.()(3)若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合,則這兩條直線平行.()答案:(1)×(2)×(3)√4.下列直線與直線x-y-1=0平行的是()A.x+y-1=0 B.x-y+1=0C.ax-ay-a=0(a≠0) D.x-y+1=0或ax-ay-a=0(a≠0)答案:B5.若直線2x+y-1=0與y=ax+3相交,則a的取值范圍為.

答案:(-∞,-2)∪(-2,+∞)6.應(yīng)用斜率判斷兩條直線的位置關(guān)系時應(yīng)注意什么?提示:(1)當(dāng)k1≠k2時,l1與l2相交.當(dāng)兩直線斜率都不存在時,兩直線平行或重合.當(dāng)一條直線斜率存在而另一條直線斜率不存在時,兩直線相交.(2)當(dāng)k1=k2時,不能判斷兩直線平行,還可能重合.7.判斷若兩條直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則這兩條直線垂直.()答案:×8.已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于()A.2B.1C.0D.-1解析:兩條直線的斜率分別為a和a+2,且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1.答案:D9.若直線x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,則a等于.

解析:若a=0時,直線x+ay+2=0即為直線x+2=0,與x軸垂直,而直線2x+3y+1=0的斜率為-23,此時兩直線不垂直;若a≠0,則直線x+ay+2=0的斜率是-1a.由兩直線垂直的條件得-1a·-答案:-2三、典例解析例1判斷下列各組直線的位置關(guān)系,若相交,求出交點(diǎn)的坐標(biāo).(1)l1:4x+3y-2=0與l2:x+2y+2=0;(2)l1:x+2y-12=0與l2:2x+4y-1=(3)l1:x-3y=0與l2:y=13x+1分析:判斷兩直線位置關(guān)系的解法有三種:一是根據(jù)方程組的解的個數(shù)判定;二是根據(jù)方程的系數(shù)間的關(guān)系判定;三是化成斜截式方程判定.解:(方法一)(1)解方程組4①×2-②×3得5x-10=0,所以x=2.將x=2代入①得y=-2,所以兩直線相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).(2)解方程組x①×2-②得0=0,即此方程組有無數(shù)多個解,所以兩直線重合.(3)解方程組x由①得x=3y,代入②得y=y+1,即0=1不成立,所以方程組無解,所以兩直線平行.(方法二)(1)因為A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,所以A1B2-A2B1=4×2-1×3=5≠0,所以兩直線相交.解方程組4所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).(2)因為A1=1,B1=2,C1=-12,A2=2,B2=4,C2=-1,所以A1B2-A2B1=1×4-2×2=0,A1C2-A2C1=1×(-1)-2×-12=-1+1=(3)因為A1=1,B1=-3,C1=0,A2=13,B2=-1,C2=1,所以A1B2-A2B1=1×(-1)-13×(-3)=-1+1=0,A1C2-A2C1=1×1-13×0=1-0=(方法三)(1)l1:y=-43x+23,l2:y=-12因為k1≠k2,所以兩直線相交,可得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).(2)l1:y=-12x+14,l2:y=-12x+14.因為k1=k2且b1=b(3)l1:y=13x,l2:y=13x+因為k1=k2且b1≠b2,所以兩直線平行.1.判斷兩條直線平行:(1)如果斜率都存在,那么需要判斷其斜率相等,即k1=k2.兩條直線斜率相等,則兩條直線可能平行也可能重合,還需要進(jìn)一步判斷截距不相等,即b1≠b2.如果兩條直線的斜率不存在,兩條直線的方程為x=a1,x=a2,只需a1≠a2即可;(2)利用A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或A2C1≠A1C2判斷.2.判斷兩條直線垂直:(1)如果斜率都存在,那么只需k1k2=-1,如果一條直線的斜率不存在,那么另一條直線的斜率必等于零,從斜率的角度判斷,應(yīng)注意上面的兩種情況;(2)利用A1A2+B1B2=0判斷.3.根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩直線位置關(guān)系,當(dāng)x,y的系數(shù)是未知數(shù)時不好用;利用方程的系數(shù)間的關(guān)系判定難記憶;化成斜截式易操作.跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(1,2),B(0,-4),C(-2,6),D(0,18),試判斷直線AB和直線CD的位置關(guān)系.解:kAB=-4-20-1=6,又因為B(0,-4),D(0,18),所以直線AB的方程為y=6x-4,直線CD的方程為y=6x+18.因為兩條直線的斜率相等,在y軸上的截距不相等,所以直線AB和直線CD平行.例2(1)直線l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,求m的值;(2)直線l1:ax+(1-a)y=3與l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.分析：既可以用直線的一般式方程形式判斷,也可以用斜率的關(guān)系求解,但需考慮斜率不存在的情況.解:(1)(方法一)當(dāng)l1,l2的斜率都存在時,由l1∥l2,得-m+2m2解得m=-4;當(dāng)l1,l2的斜率不存在時,m=3,l1與l2的方程分別為x=-45,x=1顯然l1∥l2.故m=-4或m=3.(方法二)若l1∥l2,則有(解得m=-4或m=3.(2)(方法一)當(dāng)a=1時,l1為x=3,l2為y=25,故l1⊥l2當(dāng)a=-32時,l1的方程為-32x+52y=3,l2的方程為-52x=2,顯然l1,當(dāng)a≠1且a≠-32時,由k1·k2=-1,得aa-1×1綜上所述,a=1或a=-3.(方法二)利用A1A2+B1B2=0,即a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3.利用兩直線的位置關(guān)系求字母參數(shù)取值時,提倡直接根據(jù)兩直線平行、相交或垂直的系數(shù)整式條件列方程或不等關(guān)系,這樣不易丟解或增解;若用比例式求解,一定要對特殊情況單獨(dú)討論.本例中方法一體現(xiàn)了分類討論的條理性,方法二體現(xiàn)了適用兩條直線方程的所有情況,具有統(tǒng)一性.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線l1:ax+2y+6=0與l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,則實數(shù)a的取值是()A.-1或2 B.0或1C.-1 D.2(2)若直線l1:(2a+5)x+(a-2)y+4=0與直線l2:(2-a)x+(a+3)y-1=0垂直,則a的取值是()A.2 B.-2C.2或-2 D.2或0或-2解析:(1)∵l1∥l2,∴a(a-1)-2=0,∴a=-1或2.當(dāng)a=2時,l1與l2重合,∴a=-1.(2)由題意,得(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=±2.答案:(1)C(2)C(3)已知△ABC的頂點(diǎn)為A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC為直角三角形,求m的值.解:若∠A為直角,則AC⊥AB,∴kAC·kAB=-1,即m+12-5·若∠B為直角,則AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1,即1+11-5·m若∠C為直角,則AC⊥BC,∴kAC·kBC=-1,即m+12-5·m-12-1=-1,解得m=±2.例3已知點(diǎn)A(2,2)和直線l:3x+4y-20=0.求:(1)過點(diǎn)A和直線l平行的直線方程;(2)過點(diǎn)A和直線l垂直的直線方程.分析本題可根據(jù)兩條直線平行與垂直時斜率間的關(guān)系,求出所求直線的斜率后用點(diǎn)斜式求解,也可利用直線系方程來求解.解:(1)(方法一)利用直線方程的點(diǎn)斜式求解.由l:3x+4y-20=0,得直線l的斜率kl=-34設(shè)過點(diǎn)A且平行于l的直線為l1,則直線l1的斜率kl1=kl=-所以l1的方程為y-2=-34(x-2),即3x+4y-14=0(方法二)利用直線系方程求解.設(shè)過點(diǎn)A且平行于直線l的直線l1的方程為3x+4y+m=0(m≠-20).由點(diǎn)A(2,2)在直線l1上,得3×2+4×2+m=0,解得m=-14.故直線l1的方程為3x+4y-14=0.即4x-3y-2=0.(2)(方法一)設(shè)過點(diǎn)A與l垂直的直線為l2,直線l的斜率為kl,直線l2的斜率為kl2.因為klkl2=-故直線l2的方程為y-2=43(x-(方法二)設(shè)過點(diǎn)A且垂直于直線l的直線l2的方程為4x-3y+m=0.因為l2經(jīng)過點(diǎn)A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2.故l2的方程為4x-3y-2=0.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知直線l過點(diǎn)(1,1)且平行于直線4x+y-8=0,則直線l的方程是()A.x-4y+3=0 B.x-4y-5=0C.4x+y+5=0 D.4x+y-5=0(2)以A(1,3),B(-5,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是()A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=0解析:(1)設(shè)與直線4x+y-8=0平行的直線方程為4x+y+c=0(c≠-8),∵直線4x+y+c=0過(1,1),∴4+1+c=0,即c=-5,則直線方程為4x+y-5=0,故選D.所以所求直線方程為y-2=-3(x+2),化簡為3x+y+4=0.答案:(1)D(2)B(2)因為kAB=1-3-5-1(3)求過直線l1:3x+4y-2=0與直線l2:2x+y+2=0的交點(diǎn)且平行于直線5x+4y=0的直線方程.解:由題意得3②×4-①得5x+10=0,解得x=-2.將x=-2代入②得2×(-2)+y+2=0,所以y=2.所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2).設(shè)與直線5x+4y=0平行的直線方程為5x+4y+c=0(c≠0),代入(-2,2)得5×(-2)+4×2+c=0,所以c=2.故所求直線方程為5x+4y+2=0.例4如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OPQR的頂點(diǎn)坐標(biāo)按逆時針順序依次為O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.試判斷四邊形OPQR的形狀.分析利用兩直線的斜率關(guān)系,來研究平行或垂直,對于四邊形而言,可以先選取一組對邊研究,再選取一組鄰邊研究,最后下結(jié)論.解:由斜率公式得kOP=t-01-0=t,kQR=2-(2+t)-2t-(1-2t)=-t-1=t,kOR=從而OP∥QR,OR∥PQ.所以四邊形OPQR為平行四邊形.又kOP·kOR=-1,所以O(shè)P⊥OR.又|OP|=1+t2,|OR|=(-2t∴|OP|≠|(zhì)OR|.故四邊形OPQR為矩形.變式將例4中的四個點(diǎn),改為“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)”,順次連接A,B,C,D四點(diǎn),試判斷四邊形ABCD的形狀.解:由題意A,B,C,D四點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖.由斜率公式可得kAB=5-32-(-4)kAD=0-3-3-(-4)=-3,所以kAB=kCD,由圖可知AB與CD不重合,所以AB∥CD,由kAD≠kBC,知AD與BC不平行.又因為kAB·kAD=13×(-3)=-所以AB⊥AD,故四邊形ABCD為直角梯形.通過對本例題的探究可以看出,研究直線平行或垂直的方法除了前面向量的方法還可以利用直線的斜率進(jìn)行,利用斜率判斷時要注意先對斜率的存在與否進(jìn)行檢驗,其次要注意幾何圖形的內(nèi)在聯(lián)系,從而判斷幾何形狀.跟蹤訓(xùn)練4已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四邊形ABCD為直角梯形,求A點(diǎn)坐標(biāo).(A,B,C,D按逆時針方向排列)解:(1)若∠A=∠D=90°,如圖①,由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).圖①(2)若∠A=∠B=90°,如圖②.設(shè)A(a,b),則kBC=-3,kAD=b-2a-1,kAB=b+1a-6.由AD∥BC,得k由AB⊥BC,得kAB·kBC=-1,即b+1a-6(-3)由①②得a=125,綜上所述,A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)或125圖②通過對初中平面幾何兩直線位置關(guān)系的復(fù)習(xí)，開門見山，提出直角坐標(biāo)系下判斷直線位置關(guān)系的問題。通過直線方程的解得情況及直線的斜率，獲得判斷兩直線位置關(guān)系的方法。同時運(yùn)用向量方法，獲得一般的判斷兩直線位置關(guān)系的方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉判斷兩直線位置關(guān)系的方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉判斷兩直線位置關(guān)系的方法，并提高綜合分析能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.直線l1與l2為兩條不重合的直線,則下列命題:①若l1∥l2,則斜率k1=k2;②若斜率k1=k2,則l1∥l2;③若傾斜角α1=α2,則l1∥l2;④若l1∥l2,則傾斜角α1=α2.其中正確命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析:①錯,②③④正確.答案:C2.若點(diǎn)A(3,-4)與點(diǎn)A'(5,8)關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程是()A.x+6y+16=0 B.6x-y-22=0C.6x+y+16=0 D.x+6y-16=0答案:D3.過點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0解析:因